1、1.2.1任意角的三角函數(shù)(一) 自主探究1任意角三角函數(shù)的定義(1)在平面直角坐標系中，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：y叫做的正弦，記作sin_，即sin y；x叫做的余弦，記作cos_，即cos x；叫做的正切，記作，即tan (x0)對于確定的角，上述三個值都是唯一確定的故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2)設(shè)角終邊上任意一點的坐標為(x，y)，它與原點的距離為r，則sin ，cos ，tan .2正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號3誘導公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即：sin(k2

2、)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_，其中kZ.利用任意角三角函數(shù)的定義推導特殊角的三角函數(shù)值.角0sin 0101cos 1010tan 01無10無解以為例，其余略設(shè)P(x，y)為上一點，易知點P(x，y)在y軸負半軸上x0，y0.sin 1；cos 0；tan ，無意義 名師點撥1對三角函數(shù)定義的理解(1)三角函數(shù)也是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從一個角的集合(弧度制)到一個比值的集合的對應(yīng)，并且對任意一個角，在比值集合中都有唯一確定的象與之對應(yīng)，三角函數(shù)的自變量是角，比值是角的函數(shù)(2)三角函數(shù)是用比值來定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范

3、圍如在求正切時，若點P的橫坐標x等于0，則tan 無意義(3)三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角的終邊位置確定即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)(4)符號sin 、cos 、tan 是一個整體，離開“”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意義，更不能把“sin ”當成“sin”與“”的乘積2誘導公式一的理解及其應(yīng)用(1)公式一的實質(zhì)是說終邊相同的角的三角函數(shù)值相等(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：左、右為同一三角函數(shù)；公式左邊的角為k2，右邊的角為.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求02(或0360)角的三角函數(shù)值 典例剖析一、利用

4、定義求任意角的三角函數(shù)值例1已知角的終邊上一點P(15a,8a) (aR且a0)，求的各三角函數(shù)值解x15a，y8a.r17|a| (a0)(1)若a0，則r17a，于是sin ，cos ，tan .(2)若a0，則r17a，于是sin ，cos ，tan .點撥已知角終邊一點求三角函數(shù)值，關(guān)鍵在確定該點的坐標，根據(jù)三角函數(shù)定義求解，同時應(yīng)注意一些字母符號二、判斷三角函數(shù)值的符號例2若為第一象限角，則能確定為正值的是()Asin Bcos Ctan Dcos 2答案C解析為第一象限角，2k2k，kZ.kk，kZ.當k2n (nZ)時，2n0，cos 0，tan 0.當k2n1 (nZ)時，2n

5、2n (nZ)為第三象限角，sin 0，cos 0，從而tan 0，而4k24k，kZ，cos 2有可能取負值點撥根據(jù)三角函數(shù)值的符號判斷角所在的象限時，可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶三、誘導公式一的應(yīng)用例3求下列各式的值(1)cos tan；(2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495.解(1)原式cos tancostancos tan 1.(2)原式sin(4360120)cos(336030)cos(336060)sin(236030)tan(360135)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 1

6、3510.點撥利用誘導公式一可把負角的三角函數(shù)化為0到2間的三角函數(shù)，也可把大于2的角的三角函數(shù)化為0到2間的三角函數(shù)，即實現(xiàn)了“負化正，大化小”同時要熟記特殊角的三角函數(shù)值 變式訓練1已知角終邊上一點P(，y)，且sin y，求cos 和tan 的值解sin y.當y0時，sin 0，cos 1，tan 0.當y0時，由，解得：y.當y時，P，r.cos ，tan .當y時，cos ，tan .2若sin 0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析sin 0，是第一、三象限角，故是第三象限角3求下列各式的值(1)costan ；(2)sin 630tan 1 1

7、25tan 765cos 540.解(1)原式costancos tan 1.(2)原式sin(360270)tan(336045)tan(236045)cos(360180)sin 270tan 45tan 45cos 18011110.一、選擇題1sin 210等于()A. B C. D答案D2若cos 0且sin 20，則角的終邊所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D3點A(x，y)是300角終邊上異于原點的一點，則的值為()A. B C. D答案B4角的終邊經(jīng)過點P(b,4)且cos ，則b的值為()A3 B3 C3 D5答案A解析r，cos .b3.二、填空

8、題5代數(shù)式：sin 2cos 3tan 4的符號是_答案負號解析20，3，cos 30，40.sin 2cos 3tan 40，cos 0，則a的取值范圍為_答案20，cos 0，位于第二象限或y軸正半軸上，3a90，a20，20時，r10|t|10t.sin ，cos ，sin cos .當t0時，r10|t|10t.sin ，cos ，sin cos .8若角的終邊與直線y3x重合且sin 0，又P(m，n)是終邊上一點，且|OP|，則mn_.答案2解析y3x，sin 0，點P(m，n)位于y3x在第三象限的圖象上，且m0，n0，是第一或第二象限角，當為第一象限角時，sin ，tan 3；當為第二象限角時，sin ，