1、第三章 行列式,3.1 線性方程組和行列式,3.2 排列,3.3 n階行列式,3.4 子式和代數(shù)余子式 行列式依行(列)展開,3.5 克拉默法則,課外學(xué)習(xí)6：行列式計算方法 課外學(xué)習(xí)7：q_行列式及其性質(zhì),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。 龐加萊(Poincare，18541921) 一個數(shù)學(xué)家，如果他不在某種程度上成為一個詩人，那么他就永遠不可能成為一個完美的數(shù)學(xué)家。 外爾斯特拉斯（Weierstrass，18151897）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.1 線性方程組和行列

2、式,一、內(nèi)容分布 3.1.1 二階、三階行列式的計算(對角線法則) 3.1.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用 二、教學(xué)目的： 1.了解二階、三階行列式的定義。 2.會利用對角線法則計算二階、三階行列式。 三、重點難點： 利用對角線法則計算二階、三階行列式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.1.1 二階、三階行列式的計算(對角線法則),二階行列式,我們用記號,表示代數(shù)和,稱為二階行列式, 即,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,三階行列式,我們用記號,表示代數(shù)和,稱為三階行列式, 即,主對角線法,三元素乘積取“+”號； 三元素乘積取“-”號.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.1

3、.2 行列式在線性方程組中的應(yīng)用,(1) 如果含有兩個未知量兩個方程的線性方程組(1),它的系數(shù)作成的二階行列式,那么方程組(1)有解,(2) 如果含有三個未知量三個方程的線性方程組(2),他的系數(shù)作成的三階行列式,那么方程組(2)有解,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這里,我們的目的是要把二階和三階行列式推廣到n階行列式,然后利用這一工具來解答含有n個未知量n個方程的線性方程組.,例題選講,解:由階行列式的定義有:,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.2 排列,一、內(nèi)容分布 3.2.1 排列、反序與對換 3.2.2 奇、偶排列的定義及性質(zhì) 二、教學(xué)目的 了解排列、反序、對換的定義

4、 三、重點難點 求反序數(shù),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.2.1 排列、反序與對換,例如: 1234，2314都是四個數(shù)碼的排列。,n個數(shù)碼的不同排列共有n！個,例如：1，2，3這三個數(shù)碼的全體不同的排列一共有3！= 6個，它們是：123，132，231，213，312，321。,定義2 在一個排列里，如果某一個較大的數(shù)碼排在某一個較小的數(shù)碼前面，就說這兩個數(shù)碼構(gòu)成一個反序。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,一個排列的反序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)。有偶數(shù)個反序的排列叫做一個偶排列；有奇數(shù)個反序的排列叫做奇排列。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.2.2 奇、偶排列的定義

5、及性質(zhì),定義3 看n個數(shù)碼的一個排列，如果把這個排列里的任意兩個數(shù)碼i與j交換一下，而其余數(shù)碼保持不動，那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的這樣一個變換叫做一個對換，并且用符號（i，j）來表示。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定理3.2.2 任意一個排列經(jīng)過一個對換后的奇偶性改變.,證明: 我們首先看一個特殊的情形，就是被對 換的兩個數(shù)碼是相鄰的。設(shè)給定的排列為,A B,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,A B,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,（1）,（2）,但（2）正是對（1）施行 對換而得到的排列。因此，對（1）施行對換 相當于連續(xù)施行2s+1次相鄰數(shù)碼的對換。由1。

6、，每經(jīng)過一次相鄰兩數(shù)碼的對換，排列都改變奇偶性。由于2s+1是一個奇數(shù)，所以（1）與（2）的奇偶性相反。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,證明：設(shè)n個數(shù)碼的奇排列共有p個，而偶排列共有q個，對這p個奇排列施行同一個對換,那么由定理3.2.2,我們得到p 個偶排列.由于對這p個偶排列各不相等.又可以得到原來的p個奇排列,所以這p個偶排列各不相等.但我們一共只有q個偶排列,所以,例題選講,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.3 n階行列式,一、 內(nèi)容分布 3.3.1 n階行列式的定義 3.3.2 行列式的性質(zhì) 二、教學(xué)目的： 1.掌握和理解n階行列式的定義。 2.會利用定義計算一些特殊

7、的行列式。 3.掌握和理解行列式的性質(zhì)。 4.熟練掌握利用性質(zhì)計算及證明行列式的技巧。 三、重點難點： 利用定義計算行列式 利用性質(zhì)熟練計算及證明行列式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.3.1 n階行列式的定義,稱為n階行列式,其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.,(1),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,考察位于(1)的不同的行與不同的列上的n個元素的乘積.這種乘積可以寫成下面的形式:,(2),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定義2 用符號,表示的n階行列式指的是n!項的代數(shù)和,這些項是一切可能的取自(1)的不同的行與不同的列上的n個元素的乘積,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課

8、程組制作,例1 我們看一個四階行列式,根據(jù)定義,D是一個4! = 24項的代數(shù)和。然而在這個行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg這四項外，其余的項都至少含有一個因子0，因而等于0，與上面四項對應(yīng)的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一個和第三個是偶排列,第二個和第四個是奇排列.因此,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,轉(zhuǎn)置,一個n階行列式,如果把D的行變?yōu)榱?就得到一個新的行列式,叫D的轉(zhuǎn)置行列式。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,（3）,這n個數(shù)碼的排列。那么這一項在行列式中的符號是,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)

9、課程組制作,3.3.2 行列式的性質(zhì),命題3.3.2 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,命題3.3.3 交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號。,證 設(shè)給定行列式,交換D的第i行與第j行得,（旁邊的i和j表示行的序數(shù)）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,D的每一項可以寫成,（5）,因為這一項的元素位于 的不同的行與不同的列，所以它也是 的一項，反過來， 的每一項也是D的一項，并且D的不同項對應(yīng)著 的不同項，因此D與 含有相同的項。,交換行列式兩列的情形，可以利用命題3.3.2歸結(jié)到交換兩行的情形。,由命題3.3.2推知，凡是行列式的對于行成立的性

10、質(zhì)對于列也成立，反過來也是如此。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,推論3.3.4 如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零。,證 設(shè)行列式D的第i行與第j行(ij)相同，由命題3.3.3，交換這兩行后，行列式改變符號，所以新的行列式等于D，但另一方面，交換相同的兩行，行列式并沒有改變由此得D=D或2D=0，所以D=0。,命題3.3.5 用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k 乘此行列式。即如果設(shè)，則,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,D的每一項可以寫作,（6）,中對應(yīng)的項可以寫作,（7）,（6）在D中的符號與（7）在 中的符號都是,因此，,推論3.3.6 如果行列式

11、的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,推論3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么這個行列式等于零。,推論3.3.8 如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零。,證 設(shè)行列式D的第i行與第j行的對應(yīng)元素成比例，那么這兩行的對應(yīng)元素只差一個因子k，即,因此,由推論3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符號的外邊，于是得到一個有兩行完全相同的行列式；由推論3.3.4，這個行列式等于零。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,命題3.3.9 如果將行列式中的某一行（列）的每 一個元素都寫成兩個數(shù)的和，則此行

12、列式可以寫 成 兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個數(shù)為所在行（列）對應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果,則,。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,行列式,因此,推論 如果將行列式的某一行（列）的每個元素都寫成m 個數(shù)（m 為大于2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成m 個行列式的和。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,命題3.3.10 將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k 后加于另一行（列）對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。,證 設(shè)給定行列式,把D的第j行的元素乘以同一個數(shù)k后,加到第i行的對應(yīng)元素上,我們得到行列式:,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由命

13、題3.3.9，,此處,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例2 計算行列式,解： 根據(jù)例題3.3.10,從D的第二列和第三列的元素減去第一列的對應(yīng)元素(即把D的第一列的元素同乘以后,加到第二列和第三列的對應(yīng)元素上),得,這個行列式有兩列成比例,所以根據(jù)推論3.3.8,D=0.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例3 計算n階行列式,解: 我們看到,D的每一列的元素的和都是n把第二，第三，第n行都加到第一行上，得,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,根據(jù)推論.,提出第一行的公因子n,得,由第二,第三,第n行減去第一行,得,由行列式定義,易見后一行列式等于對角線上元素的乘積,所以,寧波工程

14、學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,練習(xí)選講：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.4 子式和代數(shù)余子式 行列式依行(列)展開,一、內(nèi)容分布 3.4.1子式和代數(shù)余子式 3.4.2行列式的依行依列展開定理 3.4.3拉普拉斯定理 二、教學(xué)目的： 1.掌握和理解子式和代數(shù)余子式的定義 2.熟練掌握利用行列式的依行依列展開定理計算及證明行列式的技巧。 三、重點難點： 利用行列式的依行依列展開定理熟練計算及證明行列式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.4.1余子式與代數(shù)余子式,定義1 在一個n階行列式D中任意取定k行

15、和k列. 位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式D的一個k階子式.,例1 在四階行列式,中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個二階子式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定義2 n (n1)階行列式,例2 例1的四階行列式的元素 的余子式是,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例3 例1中的四階行列式D的元素 的代數(shù)余子式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定理3.4.1 若在一個n階行列式,中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么這個行列式等于 與它的代數(shù)余子式 的乘積:,證 我們只對行來證明這個定理,1) 先假定D

16、和第一行的元素除 外都是0，這時,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,我們要證明：,也就是說：,子式 的每一項都可以寫作,（1）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這一乘積的元素位在D的不同的行與不同的列上，因此它是D的一項，反過來，由于行列式D的每一項都含有第一行的一個元素，而第一行的元素除 外都是零，因此D的每一項都可以寫成（2）的形式。這就是說，D的每一項都是 與它的子式 的某一項的乘積，又 的不同項是D的不同項，因此D與 有相同的項。,乘積（2）在D中的符號是,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,是由D

17、經(jīng)過（i1）+(j1)次換行換列的步驟而得到的。由命題3.3.3，交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號，因此,這樣，定理得到證明。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.4.2行列式的依行依列展開,定理3.4.2 n階行列式 等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和, 即,證 我們只對行來證明，即證明（3），先把行列式D寫成以下形式：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,也就是說，把D的第i行的每一元素寫成n項的和。根據(jù)命題3.3.9，D等于n個行列式的和：,在這n個行列式的每一個中，除了第i行外，其余的行都與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代數(shù)余子式與

18、D的第i行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理3.4.1，,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定理3.4.3 n階行列式 的某一行(列)的元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零, 即,（5）,（6）,證 我們只證明等式（5）?？葱辛惺?寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,的第i行與第j行完全相同，所以 =0。另一方面， 與D僅有第j行不同，因此 的第j行的元素的代數(shù)余子式與D的第j行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同，把 依第j行展開，得,因而,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例4 計算四階行列式,在這個行列式里，第三行已有一個元素是零，由第一列減去第三列的二倍，再把第三

19、列加到第四列上，得：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,根據(jù)定理3.4.1,把所得的三階行列式的第一行加到第二行，得：,所以 D = 40,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例5 計算n階行列式,按第一行展開，得：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,但 ,所以,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例6 計算四階行列式,這個行列式叫做一個n階范德蒙德(Vandermonde)行列式.,由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以 ，得,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由定理3.4.1,提取每列的公因子后，得,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,最后的因子是一個n-1階的范

20、德蒙德行列式。我們用 代表它：,同樣得,此處 是一個n-2階的范德蒙德行列式。如此繼續(xù)下去，最后得,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,練習(xí)題：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.5 克拉默法則,一、內(nèi)容分布 3.5.1齊次與非齊次線性方程組的概念 3.5.2克萊姆法則 3.5.3齊次線性方程組解的定理 二、教學(xué)目的： 1.掌握和理解齊次與非齊次線性方程組的概念。 2.熟練掌握克萊姆法則。 3熟練掌握齊次線性方程組解的定理 三、重點難點： 利用克萊姆法則求線性方程組的解及證明一些相關(guān)問題。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院

21、高等代數(shù)課程組制作,3.5.1.齊次與非齊次線性方程組的概念,含有n 個方程的n 元線性方程組的一般形式為,（1.9）,它的系數(shù) 構(gòu)成的行列式,（1.10）,稱為方程組（1.9）的系數(shù)行列式。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,如果線性方程組（1.9）的常數(shù)項為零，即,稱為齊次線性方程組。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.5.2克萊姆法則,定理3.5.1 (克萊姆法則) 線性方程組(1.9)當其系數(shù)行列式 時,有且僅有唯一解,此處 是將系數(shù)行列式中第j列的元素對應(yīng)地換為方程組的常數(shù)項 后得到的n 階行列式.,證 時是顯然的.設(shè) .令是整數(shù)1，2，中的任意一個.分別以 乘方程組（1

22、）的第一，第二，第個 方程，然后相加，得,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由定理3.4.2和3.4.3， 的系數(shù)等于D而 的系數(shù)都是零；因此等式左端等于 ，而等式右端剛好是 階行列式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這樣，我們得到,令 我們得到方程組,（3）,方程組（1）的每一解都是方程組（3）的解.事實上，設(shè) 是方程組（1）的一個解。那么在（1）中把 代以 ，就得到一組等式。對于這一組等式施以由方程組（1）到方程組（3）的變換，顯然得到下面的一組等式：,這就是說， 也是方程組（3）的一解。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,當 時，方程組（3）有唯一解，就是（2）。因此方程組

23、（1）也最多有這一個解。 我們證明（2）是（1）的解。為此，把（2）代入方程組（1），那么（1）的第 個方程的左端變?yōu)?而,計算出來，我們得到,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這里我們應(yīng)用了定理3.4.2和3.4.3。這就是說， （2）是方程組（1）得解。,因此，當 時，方程組（1）有且僅有一個解，這個解由公式（2）給出。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例 解線性方程組,解：這個方程組的行列式,因為 ，我們可以應(yīng)用克拉默規(guī)則。再計算以下的行列式：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由克拉默規(guī)則，得方程組的解是,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,3.5.3齊次線性方程組解的

24、定理,定理3.5.2 如果齊次線性方程組(1.13)的系數(shù)行列式 ,則它僅有零解.,第四章 線性方程組,4.1 消元法 4.2 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法 4.3 線性方程組的公式解 4.4 結(jié)式和判別式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為同等重要而緊密相關(guān)。 克萊因（Klein F，18491925）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.1 消元法,1.內(nèi)容分布 4.1.1 線性方程組的初等變換 4.1.2 矩陣的初等變換 階梯形矩陣 4.1.3 線性方程組有解的判別 2.教學(xué)目的: 會用消元法解線性方程組 3.重點

25、難點: 線性方程組的消元解法,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個數(shù)的方程和未知量，并且方程組的系數(shù)行列式不等于零，在這一章我們要討論一般的線性方程組：,在實際的解線性方程組時，比較方便的方法是消元法.,（1）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例1 解線性方程組：,從第一和第三個方程分別減去第二個方程的1/2倍和2倍，來消去這兩個方程中的未知量,（2）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,得到：,為了計算的方便，把第一個方程乘以 -2 后，與第二 個方程交換，得：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,現(xiàn)在很容易求出方程組（2）

26、的解. 從第一個方程 減去第三個方程的3倍，再從第二個方程減去第三 個方程，得,再從第一個方程減去第二個方程的5/3倍，得：,這樣我們就求出方程組的解.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,交換兩個方程的位置； 用一個不等于零的數(shù)某一個方程； 用一個數(shù)乘某一個方程后加到另一個方程.,4.1.1 線性方程組的初等變換,線性方程的初等變換： 對方程組施行下面三種變換：,這三種變換叫作線性方程組的初等變換.,定理4.1.1 初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與 它同解的線性方程組,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個表：,而利用（1）的系數(shù)和常數(shù)項又可以排

27、成下表：,（3）,（4）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.1.2矩陣的初等變換,叫做一個s行t列（或st）的矩陣，,叫做這個矩陣的元素.,注意：矩陣和行列式在形式上有些類似，但有完全不同的意義，一個行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個矩陣僅僅是一個表.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系 數(shù)矩陣和增廣矩陣. 一個線性方程組的增廣矩陣顯 然完全代表這個方程組.,定義2 矩陣的行（列）初等變換指的是對一個矩陣 施行的下列變換：,3) 用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一 個元素后加到另一行（列）

28、的對應(yīng)元素上.,1) 交換矩陣的兩行（列）,2) 用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即 用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一 個元素；,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,顯然，對一個線性方程組施行一個初等變換，相當于對它的增廣矩陣施行一個對應(yīng)的行初等變換，而化簡線性方程組相當于用行初等變換化簡它的增廣矩陣. 因此我們將要通過化簡矩陣來討論化簡方程組的問題.下我們給出一種方法，就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次把未知量寫出.,在對于 一個線性方程組施行初等變換時，我們的目的是消去未知量，也就是說，把方程組的左端化簡. 因此我們先來研究，利用三種行初等變換來

29、化簡一個線性方程組的系數(shù)矩陣的問題. 在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換. 后一種初等變換相當于交換方程組中未知量的位置，這不影響對方程組的研究.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,在例1中，我們曾把方程組（2）的系數(shù)矩陣,先化為,然后，進一步化為,定理4.1.2 設(shè)A是一個 m行n列的矩陣：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為 以下形式：,(5),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,進而化為以下形式，,（6）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的

30、適 當倍數(shù)，矩陣A化為,若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,那么B 已有（5）的形式. 設(shè)B 的后m 1 行中有 一個元素b 不為零，把b 換到第二行第二列的 交點位置，然后用上面同樣的方法，可把B 化為,如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個形如（5）的矩陣.,形如（5）的矩陣可以進一步化為形如（6）的矩陣是,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,顯然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行 分別減去第r 行的適當倍數(shù)，再由第一，第二， 第r 2行分別減去第r 1行的適當倍數(shù)，等等.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.1.3用消元法解線性方程組,

31、考察方程組（1）的增廣矩陣（4）. 由定理4.1.2，我們可以對（1）的系數(shù)矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）. 對增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（4）化為以下形式的矩陣：,(7),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,與（7）相當?shù)木€性方程組是,（8）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由于方程組（8）可以由方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程組（8）與方程組（1）同解. 因此，要解方程組（1），只需解方程組（8）. 但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出.,情形1，,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,情形

32、2，,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,當r n 時，方程組（9）可以改寫成,(10),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,叫做自由未知量，而把（10）叫做方程組（1）的 一般解.,例2 解線性方程組,這樣，線性方程組（1）有沒有解，以及有怎樣的解，都可以從矩陣（7）看出. 因此，我們完全可以就方程組（9）的增廣矩陣來解這個方程組.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,施行行初等變換，并且注意，我們是要把其中所含 的系數(shù)矩陣先化為（5），再化為（6）的形式. 由 第一和第二行分別減去第三行的5 倍和2 倍，然后 把第三行換到第一行的位置，得,解：對

33、增廣矩陣,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由第二行減去第三行的2倍，得,雖然我們還沒有把增廣矩陣化成（5）的形式，但已 可看出，相當于最后矩陣的線性方程組中的一個方程是 0 = 5 所以原方程無解.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,例3 解線性方程組,解：這里的增廣矩陣是,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為,這個矩陣本質(zhì)上已有（5）的形式，這一點只要交換 矩陣的第二和第三兩列就可以看出. 進一步由第一 行減去第二行的三倍，得出相當于（6）型的矩陣,把第一行的適當倍數(shù)加到其它各行，得,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,對應(yīng)的線性方程組是,寧

34、波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.2 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法,1.內(nèi)容分布 4.2.1 k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩 陣的秩 4.2.2 線性方程組可解的判別法 2.教學(xué)目的: 1)理解矩陣秩的定義 2)會用初等變換求矩陣的秩 3)會用消元法解線性方程組 3.重點難點: 矩陣秩的定義 線性方程組的可解的判別法,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.2.1 k階子式、 矩陣秩的定義 用初等變換求矩陣的秩,在上一節(jié)課講述了用消元法來解線性方程組：,(1),這個方法在實際解方程組是比較方便的，但是我們還有幾個問題沒解決。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,簡化為以下形

35、式一個矩陣,（甲） 利用初等變換把方程組（1）的系數(shù)矩陣,（2）,（3）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,并且看到，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r在討論中占有重要的地位. 但是我們對這個整數(shù)還沒有什么了解. r 和系數(shù)矩陣（2）究竟有什么關(guān)系？它是由系數(shù)矩陣（2）所唯一決定的，還是依賴于所用的初等變換？因為我們可以用不同的初等變換，把系數(shù)矩陣（2）化為形如（3）的矩陣.,（乙） 方程組（1）有解時，它的系數(shù)應(yīng)該滿足什么條件？,（丙） 我們沒有得出，用方程組的系數(shù)和常數(shù)項來表示解的公式，而解的公式在理論上有重要的意義.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,矩陣的秩 利用一個矩陣的元素可以構(gòu)成

36、一系列的行列式.,. 位于這些行列交點處的元素（不改變元素相對的位置）所構(gòu)成的k 階行列式叫作這個矩陣的一個k階子式. 我們看一看，在矩陣（3）中出現(xiàn)的整數(shù)r和這個矩陣的子式之間有些什么關(guān)系. 假定r0 . 這時，矩陣（3）含有一個r 階的子式：,定義1 在一個s行t列的矩陣中，任取k行k列,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定義2 一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個矩陣的秩. 若一個矩陣沒有不等于零的子式，就認為這個矩陣的秩是零. 按照定義，一個矩陣的秩的不能超過這個矩陣的行的個數(shù)，也不能超過它的列的個數(shù). 一個矩陣A的秩用秩A來表示. 顯然，只有當一個矩陣的元素都為零是，這個矩

37、陣的秩才能是零.,這個子式不等于零. 但矩陣（3）不含階數(shù)高于r的不等于零的子式. 這是因為；在r = m 或r = n 時，矩陣（3）根本不含階數(shù)高于r的子式；而當r m ， r n 時，矩陣（3）的任何一個階數(shù)高于r的了式都至少含有一個元素全為零的行，因而必然等于零. 這樣，r等于矩陣（3）中的不等于零的子式的最大階數(shù).,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,證明 我們先說明以下事實：若是對一個矩陣A施行某一行或列的初等變換而等到矩陣B，那么對B施行同一種初等變換又可以得到A. 事實上，若是交換A的第i行與第j行而得到B，那么交換B 的第i行與第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零

38、的數(shù)a而得到B，那么將B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以數(shù)k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 k加到第i行就得到A. 列的初等變換的情形顯然完全一樣. 現(xiàn)在我們就用第三種行初等變換來證明定理.,定理4.2.1 初等變換不改變矩陣的秩.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,并且A 的秩是r . 我們證明，B 的秩也是r . 先證明，B 的秩不超過r . 設(shè)矩陣B 有s 階子式D，而 s r . 那么有三種可能的情形: D不含第i 行的元素，這時D也是矩陣A的一個s階子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0.,設(shè)把一矩陣的第j 行乘以k加到第i行而得到矩陣B：,寧波工程學(xué)

39、院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,因為后一行列式是矩陣A的一個s階子式., D含第i行的元素，也含第j行的元素. 這時，由命題3.3.10,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這里,D含第i行的元素，但不含第j行的元素，這時,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,但我們也可以對矩陣B 施行第三種行初等變換而得到 矩陣A. 因此，也有,因此，在矩陣B有階數(shù)大于r的子式的情形，B 的任何 這樣的子式都等于零，而B的秩也不超過r . 這樣，在任何情形，都有,這樣，我們也就證明了，秩A = 秩B ，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩. 對于其它的初等變換來說，我們可以完全類似地證明定理成立. 這樣，我們就解

40、決了前面的第一個問題（甲）.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.2.2 線性方程組可解的判別法,定理4.2.2 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,那么 的前n 列作成的矩陣 A 就是（1）的系數(shù)矩陣. 利用定理4.1.2所指出的那種初等變換把 化為,并且用B表示 的前n列作成的矩陣. 那么由定理4.2.1得：,（4）,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,故定理得證.,現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1）有解. 那么或者r = m，或者r m ，而 ，這兩種

41、情形都有秩 .于是由（4）得， .,反過來，設(shè) ，那么由（4）得，的秩也是r ，由此得，或者r = m ，或者r m 而 ，因而方程組（1）有解.,定理4.2.3 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那么當r 等于方程組所含的未知量的個數(shù)n時，方程組有唯一解；當r n 時，方程組有無窮多解.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,1.內(nèi)容分布 4.3.1 線性方程組的公式解 4.3.2 齊次線性方程組及其非零解的概念 4.3.3 齊次線性方程組有非零解的條件 2.教學(xué)目的 1)會用公式解法解線性方程組 2)掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件 3.重點難點 齊次線性方程組有非零解的充要

42、條件,4.3 線性方程組的公式解,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.3.1 線性方程組的公式解,例1 考察線性方程組,(1),(2),考慮線性方程組,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,那么在這三個方程間有以下關(guān)系：,這就是說，第三個方程是前兩個方程的結(jié)果。因此由中學(xué)代數(shù)知道，第三個方程可以舍去，亦即方程組和由它的前兩個方程所組成的方程組,同解。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,證 由于方程組（1）的系數(shù)矩陣A的秩是r，所以A至 少含有一個r階子式 。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,現(xiàn)在我們證明，方程組（1）的后 m -r 個方程中的每 一個都是（1）的前r 個方程,(

43、3),的結(jié)果.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,亦即使,(4),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,方程組（4）的增廣矩陣是,而 的前r列作成（4）的系數(shù)矩陣B，我們要計算矩陣B和 的秩。注意， 的列剛好是方程組（1）的增廣矩陣 的某些行。這樣，矩陣 的左上角的 r階子,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,式剛好是 子式D 的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等于零：,由于 也是矩陣B的子式，所以矩陣B和 的秩都至少是r，另一方面，矩陣 的任一個r +1階子式 都是 的某一個r +1階子式的轉(zhuǎn)置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r +1階子式都等于零，由此得 必然等于零。但 沒有階數(shù)高于r +1的

44、子式，所以B和 的秩都是r，而方程組（4）有解。這樣我們就證明了，方程組（1）的后m -r個方程都是（1）的前r個方程的結(jié)果，而解方程組（1）歸結(jié)為解方程組（3）。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,假定方程組（1）滿足定理4.3.1的條件，于是由定理4.3.1，解方程組（1），只需解方程組（3）。我們分別看 的情形。,方程組（1）的公式解：,現(xiàn)在設(shè) ,這時方程組(3)的前r個未知量的系數(shù)所構(gòu)成的行列式 ，在方程組（3）中把含未知量 的項移到右邊，,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,方程組（3）可以寫成：,(3),暫時假定 是數(shù)，那么（3）變成r 個未知量 的r 個方程。用克拉默規(guī)則解

45、出 得,(5),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這里,把（5）中的行列式展開，（5）可以寫成,(6),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這里 都是可以由方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)項表示的數(shù)?，F(xiàn)仍舊把（6）中 看成未知量，那么（6）是一個線性方程組，從以上的討論容易看出，方程組（6）與方程組（3）同解，因而和方程組（1）同解。正如用消元法解線性方程組的情形一樣，方程組（6）給出方程組（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程組（1）的一個解，只需給予自由未知量 任意一組數(shù)值，然后由（6）算出未知量 的對應(yīng)值，并且（1）的所有解都可以這樣得到。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,由于（

46、6）的系數(shù)和常數(shù)項都可以由方程組（1）的 系數(shù)和常數(shù)項表出，所以（6）或它的前身（5）都 給出求方程組（1）的解的公式。,求解這個方程組的公式，并求出一個解。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,即：,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,用公式來求數(shù)字線性方程組的解是比較麻煩的，因為需要計算許多行列式。因此在實際求線性方程組的解的時候，一般總是用消元法。但是在數(shù)學(xué)問題中遇到線性方程組時，常常不需要真正求出它們的解，而是需要對它們進行討論，在這種情況下，我們有時要用到（5）式或（6）式。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.3.2 齊次線性方程組及

47、其非零解的概念,定義 若是一個線性方程組的常數(shù)項都等于零，那么 這個方程組叫做一個齊次線性方程組.,我們來看一個齊次線性方程組,(8),寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這個方程組永遠有解：顯然,就是方程組（8）的一個解，這個解叫做零解。如果方程組（8）還有其它解，那么這些解就叫作非零解。,齊次線性方程組永遠有解.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.3.3 齊次線性方程組有非零解的條件,定理4.3.2 一個齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n。,證 當 時，方程組只有唯一解，它只能是零解。 當 時，方程組有無窮多解，因而它除零解 外，必

48、然還有非零解。,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,推論4.3.3 含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。,因為在這一種情況，方程組系數(shù)行列式等于零就是說，方程組的系數(shù)矩陣的秩小于n.,推論4.3.4 若在一個齊次線性方程組中，方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù)n，那么這個方程組一定有解。 因為在這一情況，方程組的系數(shù)矩陣的秩r不能超過m，因而一定小于n .,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,1.內(nèi)容分布 4.4.1結(jié)式與多項式的公根 4.4.2多項式的判別式 2.教學(xué)目的: 了解多項式有公根的判別 了解多項式的判別式的定義 3.重點難點:

49、 多項式有公根的判別,4.4 結(jié)式和判別式,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,4.4.1結(jié)式與多項式的公根,假設(shè) 在C 內(nèi)有公根,依次用 乘第一個等式,用 乘第二個等式,我們得到以下 個等式:,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,這就表明, 是一個含有 個未知量, 個方程的齊次線性方程組的非零解,因此系數(shù)行列式:,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,必須等于零.,行列式D叫做多項式 的結(jié)式,并且用符號 來表示. 結(jié)式 不但 有公根時等于零,而且當 時顯然也等于零.于是就得到,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,定理4.4.1 如果多項式,定理4.4.2 設(shè),(1),有公根,或者 ,那么它們的結(jié)式等于零.,是復(fù)數(shù)域C上多項式. 是它們的結(jié)式.,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,(ii) 如果 ,而 的全部根,那么,(2),證 我們對m 作數(shù)學(xué)歸納法來證明公式(1)。先看m=1的情形，這時,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,因此,寧波工程學(xué)院理學(xué)院高等代數(shù)課程組制作,假設(shè)當 時公式（1）成立。我們看