1、學案55曲線與方程導學目標： 了解曲線的方程與方程的曲線的對應關(guān)系自主梳理1曲線的方程與方程的曲線在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)_都是這個方程的_(2)以這個方程的解為坐標的點都是_，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2平面解析幾何研究的兩個主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)3求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示_；(2)寫出適合條件p的

2、點M的集合P_；(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為_；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在_自我檢測1(2011湛江月考)已知動點P在曲線2x2y0上移動，則點A(0，1)與點P連線中點的軌跡方程是()Ay2x2 By8x2C2y8x21 D2y8x212一動圓與圓O：x2y21外切，而與圓C：x2y26x80內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是()A雙曲線的一支 B橢圓C拋物線 D圓3(2011佛山模擬)已知直線l的方程是f(x，y)0，點M(x0，y0)不在l上，則方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲線是()A直線l B與l垂直的一條直

3、線C與l平行的一條直線 D與l平行的兩條直線4若M、N為兩個定點且|MN|6，動點P滿足0，則P點的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線5(2011江西)若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：y(ymxm)0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，) B(，0)(0，)C， D(，)(，)探究點一直接法求軌跡方程例1動點P與兩定點A(a,0)，B(a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線變式遷移1已知兩點M(2,0)、N(2,0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|0，則動點P(x，y)的軌跡方程為_探究點二定義法求軌跡方程例2(2011包頭模擬)已知兩

4、個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線變式遷移2在ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動點A的軌跡方程是()A.1 (y0)B.1 (x0)C.1 (y0)的左支D.1 (y0)的右支探究點三相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程例3如圖所示，從雙曲線x2y21上一點Q引直線xy2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點P的軌跡方程變式遷移3已知長為1的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且.求點P的軌跡C的方程分

5、類討論思想的應用例(12分)過定點A(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點M，l2與y軸交于點N，如圖所示，求線段MN的中點P的軌跡方程多角度審題要求點P坐標，必須先求M、N兩點，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點且垂直，只要l1的斜率存在，設一參數(shù)k1即可求出P點坐標，再消去k1即得點P軌跡方程【答題模板】解(1)當l1不平行于y軸時，設l1的斜率為k1，則k10.因為l1l2，所以l2的斜率為，l1的方程為ybk1(xa)，l2的方程為yb(xa)，在中令y0，得M點的橫坐標為x1a，4分在中令x0，得N點的縱坐標為y1b，6分設MN中點P的坐標為(x，y)

6、，則有消去k1，得2ax2bya2b20 (x)8分(2)當l1平行于y軸時，MN中點為，其坐標滿足方程.綜合(1)(2)知所求MN中點P的軌跡方程為2ax2bya2b20.12分【突破思維障礙】引進l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出M、N的坐標，求出點P的坐標，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線l1的斜率是否存在【易錯點剖析】當AMx軸時，AM的斜率不存在，此時MN中點為，易錯點是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點.1求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表達成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方

7、法稱之為直接法用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點，列式，代換，化簡，證明五個步驟，但最后的證明可以省略(2)定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程(3)代入法：動點所滿足的條件不易表達或求出，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x，y表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、

8、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程2本節(jié)易錯點：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時，應考慮是否符合曲線的定義(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓的一個動點，如果M是線段F1P的中點，則動點M的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線的一支 D拋物線2(2011唐山模擬)已知A、B是兩個定點，且|AB|3，|CB|CA|2，則點C的軌跡為()A雙曲線 B雙曲線的一支C橢圓 D線段3長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，2，則點C的軌跡是()A線段 B圓 C橢圓 D雙曲線4(2011銀

9、川模擬)如圖，圓O：x2y216，A(2，0)，B(2,0)為兩個定點直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準線，則拋物線焦點所在的軌跡是()A雙曲線 B橢圓C拋物線 D圓5已知F1、F2是橢圓1的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M滿足|MF1|MF2|2，則動點M的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線的一個分支C兩條射線 D一條射線二、填空題(每小題4分，共12分)6已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于_7(2011泰安月考)已知ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點A的軌跡方程為_

10、8平面上有三點A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動點C的軌跡方程為_三、解答題(共38分)9 (12分)已知拋物線y24px (p0)，O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OAOB，如果OMAB于點M，求點M的軌跡方程10(12分)(2009寧夏，海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程；(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線11(14分)(2011石家莊模擬)在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，)和F2(0，)為焦點、離心率

11、為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸，y軸的交點分別為A，B，且.求：(1)點M的軌跡方程；(2)|的最小值學案55曲線與方程自主梳理1(1)曲線上的點的坐標解(2)曲線上的點3.(1)曲線上任意一點M的坐標(2)M|p(M)(4)最簡形式(5)曲線上自我檢測1C2.A3.C4.A5BC1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)當m0時，C2：y0，此時C1與C2顯然只有兩個交點；當m0時，要滿足題意，需圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩交點，當圓與直線相切時，m，即直線處于兩切線之間時滿足題意，則m0或0m.綜上知m0或0mB0，表示

12、焦點在x軸上的橢圓；2AB0，表示圓；30A0B，表示焦點在x軸上的雙曲線；5A0B，表示焦點在y軸上的雙曲線；6A，B0，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點)若k0，(*)式可化為1.1當1k0時，點P的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去A、B兩點)；2當k1時，(*)式即x2y2a2，點P的軌跡是以原點為圓心，|a|為半徑的圓(除去A、B兩點)；3當k1時，點P的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去A、B兩點)變式遷移1y28x解析由題意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|0，(x2)4y00，移項兩邊平方，化簡得y28x.例2解題導引(1)由于動點M到兩定點O1、O2的距離的

13、差為常數(shù)，故應考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標轉(zhuǎn)化；(2)求動點的軌跡或軌跡方程時需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)解如圖所示，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)設動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|34.點M的軌跡是以O1、O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支a，c2

14、，b2c2a2.點M的軌跡方程為1 (xb0)連接MO，由三角形的中位線可得|F1M|MO|a (a|F1O|)，則M的軌跡為以F1、O為焦點的橢圓2BA、B是兩個定點，|CB|CA|24|AB|.根據(jù)橢圓的定義知，焦點F的軌跡是一個橢圓5D因為|F1F2|2，|MF1|MF2|2，所以軌跡為一條射線64解析設P(x，y)，由題知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法設A(x，y)，y0，則D，|CD| 3.化簡得(x10)2y236，A、B、C三點構(gòu)成三角形，A不能落在x軸上，即y0

15、.方法二定義法如圖所示，設A(x，y)，D為AB的中點，過A作AECD交x軸于E，則E(10,0)|CD|3，|AE|6，A到E的距離為常數(shù)6.A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，即(x10)2y236.又A、B、C不共線，故A點縱坐標y0.故A點軌跡方程為(x10)2y236 (y0)8y28x解析，.，0，得2x0，得y28x.9解設M(x，y)，直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為ykxb.由OMAB得k.設A、B兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，由y24px及ykxb消去y，得k2x2x (2kb4p)b20，所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0，所以y1y2.(4分)由OAOB，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入，得x2y24px0 (x0)(10分)AB斜率不存在時，經(jīng)驗證也符合上式故M的軌跡方程為x2y24px0 (x0)(12分)10解(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由已知得解得又b2a2c2，b，所以橢圓C的方程為1.(4分)(2)設M(x，y)，其中x4,4，由已知2及點P在橢圓C上可得2，整理得(1629)