1、高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí) 教案 第五編 平面向量、解三角形 總第25期5.5 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用基礎(chǔ)自測(cè)1.在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60,C點(diǎn)的俯角為70，則BAC= .答案 1302.從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則、的大小關(guān)系為 .答案 =3.在ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,則ABC是 三角形.答案 等邊4.已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測(cè)得ABC=120，則A、C兩地的距離為 km.答案 10 5.線段AB外有一點(diǎn)C，ABC=60,AB=200 km,汽車

2、以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始 h后，兩車的距離最小.答案 例題精講 例1 要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距 km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之間的距離.解 如圖所示，在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC=.ABC中，由余弦定理，得AB2=()+()-2cos75=3+2+-=5，AB=(km).A、B之間的距離為 km. 例2沿一條小路前進(jìn)，從A到B，方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)

3、到AB方向所成的角）是50，距離是3 km，從B到C方位角是110，距離是3 km，從C到D,方位角是140，距離是（9+3）km.試畫出示意圖，并計(jì)算出從A到D的方位角和距離（結(jié)果保留根號(hào)）.解 示意圖如圖所示，連接AC，在ABC中，ABC=50+(180-110)=120,又AB=BC=3，BAC=BCA=30.由余弦定理可得AC= =3(km)，在ACD中，ACD=360-140-(70+30)=120, CD=3+9.由余弦定理得AD= =(km) 由正弦定理得sinCAD=. CAD=45,于是AD的方位角為50+30+45=125,所以，從A到D的方位角是125，距離為km. 例3

4、 如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.解 設(shè)POB=，四邊形面積為y，則在POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.y=SOPC+SPCD=12sin+（5-4cos）=2sin(-)+.當(dāng)-=，即=時(shí)，ymax=2+.所以四邊形OPDC面積的最大值為2+.鞏固練習(xí) 1.某觀測(cè)站C在A城的南偏西20的方向.由A城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40，在C處測(cè)得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到

5、達(dá)D處，此時(shí)CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達(dá)A城？解 設(shè)ACD=，CDB=.在BCD中，由余弦定理得cos=-，則sin=,而sin=sin(-60)=sincos60-cossin60=+=,在ACD中，由正弦定理得=,AD=15(千米).答 這個(gè)人再走15千米就可到達(dá)A城.2.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得BCD=，BDC=，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解 在BCD中，CBD=-，由正弦定理得=，所以BC=在RtABC中，AB=BCtanACB=.3.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架.三角形

6、支架如圖所示，要求ACB=60，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米.為了使廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時(shí)，BC長度為多少米？解 設(shè)BC=a（a1）,AB=c，AC=b，b-c=.c2=a2+b2-2abcos60，將c=b-代入得(b-)=a2+b2-ab, 化簡得b(a-1)=a2-.由a1,知a-10. b=(a-1)+ +2+2,當(dāng)且僅當(dāng)a-1=時(shí)，取“=”號(hào)，即a=1+時(shí)，b有最小值2+.答 AC最短為(2+)米，此時(shí)，BC長為(1+)米.回顧總結(jié) 知識(shí)方法思想課后作業(yè) 一、填空題1.海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成

7、60的視角，從B島望C島和A島成75視角，則B、C的距離是 海里.答案 52.為測(cè)量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30，測(cè)得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+)3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為 km. 答案 a4.一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為 海里/小時(shí).答案 5.如圖所示，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，圖中

8、所標(biāo)的數(shù)據(jù)a，b，c，是可供測(cè)量的數(shù)據(jù).下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對(duì)測(cè)量河寬較適宜的是 （填序號(hào)）.c和c和bc和b和答案 6.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15,與燈塔S相距20海里,隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后,又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為 海里/小時(shí).答案 20(-)7.在ABC中，若C=60，則+= .答案 18.（2008蘇州模擬）在ABC中，邊a,b,c所對(duì)角分別為A,B,C，且=,則A= .答案 二、解答題9.在ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2.（1）f（1）=0且B-C=，求角C

9、的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范圍.解 （1）f（1）=0，a2-(a2-b2)-4c2=0，b2=4c2，b=2c，sinB=2sinC，又B-C=.sin(C+)=2sinC，sinCcos+cosCsin=2sinC，sinC-cosC=0，sin(C-)=0，又-C-，C=.（2）若f（2）=0，則4a2-2(a2-b2)-4c2=0，a2+b2=2c2，cosC=，又2c2=a2+b22ab，abc2，cosC，又C（0，），0C.10.（2008泰安模擬）在ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對(duì)邊.已知a=1,b=2,cosC=.(1)求邊c的值；（2）求sin(C

10、-A)的值.解（1）c2=a2+b2-2abcosC=12+22-212=2，c=.（2）cosC=，sinC=.在ABC中，=,即=.sinA=,ab,A為銳角，cosA=.sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA=-=.11.如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60，半徑為2，在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C，設(shè)AOP=，求POC面積的最大值及此時(shí)的值.解 CPOB，CPO=POB=60-，OCP=120.在POC中，由正弦定理得=，=，CP=sin.又=，OC=sin（60-）.因此POC的面積為S（）=CPOCsin120=sin（60-）=sinsin（60-）=sin(cos-sin)=2sincos-sin2=sin2+cos2-=sin(2+)-.=時(shí)，S（）取得最大值為.12.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A（-1）n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D處相遇，則可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.設(shè)緝私船用t