1、高三數(shù)學（理）一輪復習 教案 第九編 解析幾何總第49期9.7 雙曲線基礎(chǔ)自測1.已知雙曲線的離心率為2，焦點是（-4，0），（4，0），則雙曲線方程為 .答案 =12.過雙曲線x2-y2=8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則PF2Q的周長是 .答案 14+83.已知橢圓=1（ab0）與雙曲線=1（m0,n0）有相同的焦點（-c，0）和（c，0）.若c是a與m的等比中項，n2是m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率等于 .答案 4.設(shè)F1、F2分別是雙曲線=1的左、右焦點.若雙曲線上存在點A，使F1AF2=90且|AF1|=3|AF2|,則雙曲線的離心率為

2、 .答案 5.（2008上海春招）已知P是雙曲線=1右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0,設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.若|PF2|=3，則|PF1|= .答案 5例題精講 例1 已知動圓M與圓C1：（x+4）2+y2=2外切，與圓C2：（x-4）2+y2=2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程.解 設(shè)動圓M的半徑為r， 則由已知|MC1|=r+，|MC2|=r-，|MC1|-|MC2|=2.又C1（-4，0），C2（4，0），|C1C2|=8，2|C1C2|.根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1（-4，0）、C2（4，0）為焦點的雙曲線的右支.a=，c=4，b2=c2-a2=1

3、4，點M的軌跡方程是=1（x）.例2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程.（1）與雙曲線=1有共同的漸近線，且過點（-3，2）；（2）與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）.解 （1）設(shè)所求雙曲線方程為=(0),將點（-3,2）代入得=,所以雙曲線方程為=，即=1.(2)設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點（3，2），-=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.例3 雙曲線C：=1 (a0,b0)的右頂點為A，x軸上有一點Q（2a，0），若C上存在一點P，使=0，求此雙曲線離心率的取值范圍.解 設(shè)P點坐標為（x,y），則由=0，得APPQ，則P

4、點在以AQ為直徑的圓上，即+y2=又P點在雙曲線上，得=1由，消去y,得 (a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.即（a2+b2）x2-（2a3-ab2）（x-a）=0.當x=a時，P與A重合，不符合題意，舍去.當x=時，滿足題意的P點存在，需x=a,化簡得a22b2,即3a22c2,.離心率e=.例4 已知雙曲線C：-=1（01）的右焦點為B，過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定的范圍，使=0，其中點O為坐標原點.解 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0），當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，設(shè)M（1，y0），N（1，-y0）（y00），由=

5、0，得y0=1，M（1，1），N（1，-1）.又M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上，-=12+-1=0=，因為01,所以=.當MN不垂直于x軸時，設(shè)MN的方程為y=k(x-1).由,得-(1-)k2x2+2(1-)k2x-(1-)(k2+)=0,由題意知：-(1-)k20,所以x1+x2=,x1x2=,于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=,因為=0,且M、N在雙曲線右支上，所以.由，知.鞏固練習 1.由雙曲線=1上的一點P與左、右兩焦點F1、F2構(gòu)成PF1F2，求PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點坐標.解 由雙曲線方程知a=3,b=2,c=.如右圖，根據(jù)從圓外一點引圓的兩條切線長

6、相等及雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=2a.由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.|NF1|+|NF2|=2c.由得|NF1|=a+c.|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3.故切點N的坐標為（3，0）.根據(jù)對稱性，當P在雙曲線左支上時，切點N的坐標為（-3，0）.2.已知雙曲線的漸近線的方程為2x3y=0,（1）若雙曲線經(jīng)過P（，2），求雙曲線方程；（2）若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；（3）若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程.解 方法一 （1）由雙曲線的漸近線方程y=x及點P（，2）的位置可判斷出其焦點在y軸上，（a0,b0）故可設(shè)雙曲線方程為

7、.依題意可得故所求雙曲線方程為.(2)若焦點在x軸上，可設(shè)雙曲線方程為.依題意此時所求雙曲線方程為=1.若焦點在y軸上，可設(shè)雙曲線方程為.依題意此時所求雙曲線方程為.故所求雙曲線方程為=1或.（3）若焦點在x軸上，則a=3,且=.a=3,b=2,雙曲線方程為=1.若焦點在y軸上，則a=3,且=.a=3,b=,雙曲線方程為.故所求雙曲線方程為=1或.方法二 由雙曲線的漸近線方程=0,可設(shè)雙曲線方程為(0).(1)雙曲線經(jīng)過點P（，2），=,即=-,故所求雙曲線方程為=1.(2)若0，則a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.由題設(shè)2c=2,則13=13,即=1.此時，所求雙曲線方程為=1.若

8、0，則a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.由題設(shè)2c=2,得=-1.此時，所求雙曲線方程為=-1.故所求雙曲線方程為=1或=1.（3）若0，則a2=9,由題設(shè)知2a=6.=1，此時所求雙曲線方程為=1.若0，則a2=-4,由題設(shè)知2a=6,知=-.此時所求雙曲線方程為.故所求雙曲線方程為=1或.3.已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為,且過點P（4，-）.（1）求雙曲線方程；（2）若點M（3，m）在雙曲線上，求證：=0；（3）求F1MF2的面積.（1）解 e=，可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=(0).過點（4，-），16-10=，即=6.雙曲線方程為x2-y2=

9、6.（2）證明 方法一 由（1）可知，雙曲線中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,=,=-.點（3，m)在雙曲線上，9-m2=6,m2=3,故=-1,MF1MF2，=0.方法二 =（-3-2，-m），=（2-3，-m），=（3+2）（3-2）+m2=-3+m2.M點在雙曲線上，9-m2=6，即m2-3=0,=0.（3）解 F1MF2的底|F1F2|=4,F1MF2的高h=|m|=,=6.4.（2008天津理，21）已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(-3,0),一條漸近線的方程是x-2y=0.(1)求雙曲線C的方程;(2)若以k(k0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩

10、個不同的點M,N且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍.解 （1）設(shè)雙曲線C的方程為=1（a0,b0）.由題設(shè)得 解得所以雙曲線C的方程為=1.（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m (k0).點M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標滿足方程組 將式代入式，得-=1,整理得 (5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有兩個不等實根，于是5-4k20,且=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)0,整理得m2+5-4k20.由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點坐標（x0,y0）滿足x0=,y0=kx0+m=.從而線段MN的垂直平分線的方程為y-.此直

11、線與x軸、y軸的交點坐標分別為,.由題設(shè)可得=.整理得m2=,k0.將上式代入式得+5-4k20,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)0,k0.解得0|k|或|k|.所以k的取值范圍是(-,- )(-,0)(0, )(,+).回顧總結(jié) 知識方法思想課后作業(yè) 一、填空題1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍，則m= .答案 -2.雙曲線=1和橢圓=1 (a0,mb0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a,b,m為邊長的三角形是 三角形.答案 直角3.（2008重慶理）已知雙曲線=1（a0,b0）的一條漸近線為y=kx（k0）,離心率e=k，則雙曲線方程為 .答案 =14.已知雙曲線=1的右

12、焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是 .答案 5.如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線=1(a0,b0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 .答案 1+6.設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點.若點P在雙曲線上，且=0,則|+|= .答案 27.若雙曲線x2-y2=1右支上一點P（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b的值是 .答案 8.（2008安徽文，14）已知雙曲線=1的離心率為,則n= .答案 4二、解答題9.求與雙曲線=1共漸近線，且過點A（2，-3）

13、的雙曲線方程.解 方法一 雙曲線=1的漸近線方程為y=x，分兩種情況討論：(1)設(shè)所求雙曲線方程為=1，=，A（2，-3）在雙曲線上，=1聯(lián)立，得方程組無解，(2)設(shè)雙曲線方程為=1，=點A（2，-3）在雙曲線上，=1 由聯(lián)立方程組，解得a2=，b2=4.雙曲線方程為：=1.方法二 由題意，設(shè)雙曲線方程為=t（t0），點A（2，-3）在雙曲線上，=t，t=-，雙曲線方程為：=1.10.已知定點A（0，7）、B（0，-7）、C（12，2），以C為一個焦點作過A、B的橢圓，求另一焦點F的軌跡方程.解 設(shè)F（x，y）為軌跡上的任意一點，A、B兩點在以C、F為焦點的橢圓上，|FA|+|CA|=2a，|

14、FB|+|CB|=2a（其中a表示橢圓的長半軸長），|FA|+|CA|=|FB|+|CB|，|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2.|FA|-|FB|=2.由雙曲線的定義知，F(xiàn)點在以A、B為焦點，2為實軸長的雙曲線的下半支上，點F的軌跡方程是y2-=1(y-1).11.已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線x2-=1于A、B兩點，且=（+）.（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線交雙曲線于C、D兩點，且=0，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？解 （1）由題意知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)

15、2-2=0.(*)令A（x1,y1）,B(x2,y2),則x1、x2是方程（*）的兩根，2-k20且x1+x2=.=（+），N是AB的中點，=1,k（2-k）=-k2+2,k=1,直線AB的方程為y=x+1.（2）將k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,不妨設(shè)A（-1，0），B（3，4）.=0，CD垂直平分AB，CD所在直線方程為y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入雙曲線方程整理得x2+6x-11=0,令C（x3,y3）,D(x4,y4)及CD中點M（x0,y0）則x3+x4=-6,x3x4=-11,x0=-3，y0=6，即M(-3,6).|CD|=|x3-x4|=4；|MC|=|MD|=|CD|=2， |MA|=|MB|=2，即A、B、C、D到M距離相等，A、B、C、D四點共圓.12.直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B.（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.解 （1）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故