1、高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí) 教案 第五編 平面向量、解三角形 總第24期5.4 正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)自測1.（2008陜西理，3）ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若c=，b=，B=120,則a= .答案 2.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，則角B的值為 .答案 或3.下列判斷中不正確的結(jié)論的序號(hào)是 .ABC中，a=7，b=14，A=30,有兩解,ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解ABC中，a=6,b=9，A=45，有兩解,ABC中，b=9,c=10,B=60,無解答案 4.在ABC中，A=6

2、0，AB=5，BC=7，則ABC的面積為 .答案 105.（2008浙江理，13）在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，則cosA= .答案 例題精講 例1 在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60或120.當(dāng)A=60時(shí)，C=180-(A+B)=75,c=.當(dāng)A=120時(shí)，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例2 在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且=-.（1）求角B的大

3、?。唬?）若b=，a+c=4，求ABC的面積.解 （1）由余弦定理知：cosB=， cosC=.將上式代入=-得: =-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B為三角形的內(nèi)角，B=.（2）將b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例3 （14分）ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大??；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.解 （1）cosA=-,又A（0，180），A=120（2）由a=,得b2+c2=3

4、-bc,又b2+c22bc（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)），3-bc2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)）.即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí)，bc取得最大值為1. （3）由正弦定理得：2R, = = = 例4 在ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.解 方法一 已知等式可化為a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正弦定理可知上式可化為： sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA

5、-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB,由正、余弦定理,可得a2b= b2aa2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC為等腰或直角三角形.鞏固練習(xí)1.（1）ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;（2）ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a.解 （1）由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30

6、C150,C=90A=180-(B+C)=60,a=4.2.已知ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解 依題意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2,化簡得：tan=2.從而tanC=-.3.（2008遼寧理，17）在ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長分別是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面積等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=

7、2sin2A,求ABC的面積.解 （1）由余弦定理及已知條件，得a2+b2-ab=4.又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absinC=，所以ab=4.聯(lián)立方程組 解得.（2）由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,當(dāng)cosA=0時(shí)，A=，B=，a=，b=.當(dāng)cosA0時(shí)，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,聯(lián)立方程組 解得所以ABC的面積S=absinC=.4.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷ABC的形狀.解 方法一 2cos2

8、B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差數(shù)列，a+c=2b.cosB=，化簡得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等邊三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a,b,c成等差數(shù)列，a+c=2b.由正弦定理得si

9、nA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=，sinA+sin-cos=.化簡得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC為等邊三角形.回顧總結(jié) 知識(shí)方法思想課后作業(yè) 一、填空題1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC一定是 三角形.答案 等腰2.在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，則的值為 .答案 3.已知ABC的三邊長分別為a,b,c,且面積SABC=（b2+c2-a2），則A= .答案 454.在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面積為，則tanC為 .答案 5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,則C= .答案 606.ABC

10、中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),則C= .答案 45或1357.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=1,b=,c=,則B= .答案 8.某人向正東方向走了x千米，他右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，那么x的值是 .答案 或2二、解答題9.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求證：A=2B；（2）若a=b,判斷ABC的形狀.（1）證明 因?yàn)閍2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因?yàn)閍=b,所以=,由a

11、2=b(b+c)可得c=2b, cosB=,所以B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC為直角三角形.10.（2008全國理，17）在ABC中，cosB=-，cosC=.（1）求sinA的值；（2）ABC的面積SABC=，求BC的長.解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得ABACsinA=.由(1)知sinA=,故ABAC=65.又AC=AB,故AB2=65,AB=.所以BC=.11.已知a、b、c是ABC的三邊長，關(guān)于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的兩根

12、之差的平方等于4，ABC的面積S=10，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.解 （1）設(shè)x1、x2為方程ax2-2x-b=0的兩根，則x1+x2=，x1x2=-.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.a2+b2-c2=ab.又cosC=,又C(0,180),C=60.(2)由S=absinC=10，ab=40. 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60).72=(a+b)2-240.a+b=13.又ab 由，得a=8,b=5.12.（2008廣東五校聯(lián)考）在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大?。唬?）求ABC