1、第1章 矢量分析,1.1 標(biāo)量場和矢量場,1.4 標(biāo)量場的梯度,1.2 矢量場的通量 散度,1.3 矢量場的環(huán)流 旋度,1.5 亥姆霍茲定理,1.1 標(biāo)量場和矢量場,空間某一區(qū)域定義一個標(biāo)量函數(shù),其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場。,例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場,如溫度場,電位場,高度場等。,矢量場,如速度場,電場、磁場等。,空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù),其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。,(1)矢量場函數(shù)的表示法,直角坐標(biāo)系下,坐標(biāo)：,基矢：,分量：,單位矢量：,(2)矢量的代數(shù)運算：,矢量的加法、減法運算平行四

2、邊形法則,滿足結(jié)合律和交換律,積的形式：,1）點積,性質(zhì)：,分量式：,(3)矢量的乘法運算矢量的積,結(jié)論：,1）點積的結(jié)果是標(biāo)量。,2）點積滿足乘法交換律。,3）點積的結(jié)果表示矢量 和矢量 的投影的乘積,2）叉積（矢性積）,分量式：,用行列式表示：,結(jié)論：,1、叉積的結(jié)果是矢量。,2、叉積不滿足乘法交換率。,3、叉積的結(jié)果可用行列式表示。,3）三矢量的積：,積的形式：,（1）混合積：,混合積的結(jié)果是標(biāo)量。大小為以 三矢量為棱邊的平行六面體的體積。,混合積用行列式表示：,證明：,（2）矢性二重積：,結(jié)果：,證明,而,（4）三種常用正交坐標(biāo)系,1）直角坐標(biāo)系,基本變量：,單位矢量：,矢量表示：,位

3、置矢量：,體積元：,2）圓柱坐標(biāo)系,基本變量：,單位矢量：,圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的變換關(guān)系：,矢量表示：,位置矢量：,體積元：,圓柱坐標(biāo)系下矢量運算,3）球坐標(biāo)系,基本變量：,單位矢量：,球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的變換關(guān)系：,或者,矢量表示：,位置矢量：,體積元：,圓柱坐標(biāo)系下矢量運算,三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系,（1）直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)系的關(guān)系,（2）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系的關(guān)系,（3）柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系,1.2 矢量場的通量 散度,一、 矢量場的通量,n的指向有兩種情況： （1）對開曲面上的面元， 的取法要求圍成開表面的邊界走向與 滿足右手螺旋法則 （2）對閉合面上的面元， 一般取外法線

4、方向,空間面元矢量：,面元大小,與面元垂直的單位矢量,空間中的面元,矢量場的通量,若S 為閉合曲面,二、散度,如果包圍點P 的閉合面S 所圍區(qū)域 以任意方式縮小為點P 時, 通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場A 在P 點的散度。即,直角坐標(biāo)系中散度的計算公式,柱坐標(biāo)系中散度的計算公式,球標(biāo)系中散度的計算公式,哈密頓算符,在直角坐標(biāo)系下定義,算符的雙重性質(zhì),矢量性,微分性,算符稱為矢性微分算符。,三、散度的物理意義, 散度代表矢量場的通量源的分布特性。,= 0 (無源）,在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。, 矢量的散度是

5、一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。,= 0 (正源), A = 0 (負(fù)源),四、高斯定理(散度定理),高斯定理,對于有限大體積 ，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小體積元有,式中S為 的外表面,該公式表明了區(qū)域 中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。,例1 點電荷 位于球坐標(biāo)原點，此電荷的電場強(qiáng)度在空間中分布如下,（1）計算在 的球面上，電場強(qiáng)度 穿出的通量。 （2）計算空間各點（ ）電場強(qiáng)度 的散度。 解：位于坐標(biāo)原點的電荷的電場，電場強(qiáng)度的方向總在 方向上，呈發(fā)散狀分布。 在 球面上任取一面元 ，則 在 球面上的通量為 對于 的空間各點，電場強(qiáng)度 的散度為,點電荷的電場與,1.3 矢量場的環(huán)流

6、旋度,一、環(huán)流,在力場中，某一質(zhì)點沿著指定的曲線c運動時，力場所做的功可表示為力場F沿曲線c的線積分，即,二、旋度,1. 環(huán)流密度, 該極限值與S 的形狀無關(guān)，但與S的方向n 有關(guān)。稱為矢量場 A 在P 點沿n 方向的環(huán)流密度,2. 旋度,旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用 表示, 過點P 作一微小曲面S,它的邊界曲線記為C,面的法線方與曲線繞向成右手 螺旋關(guān)系。當(dāng)S 收縮至P 點附近時,存在極限,它與環(huán)流密度的關(guān)系為,直角坐標(biāo)系中旋度計算公式,柱坐標(biāo)系中旋度的計算公式,球標(biāo)系中旋度的計算公式,三、旋度的物理意義, 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。,

7、 點P的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。, 點P的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。,四、斯托克斯定理,由旋度的定義,對于有限大面積S，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有,斯托克斯定理,注意：旋度有一個重要的性質(zhì)，就是它的散度恒等于零。,證明：,例2 已知,求 在 處的旋度,1.4 標(biāo)量場的遞度,標(biāo)量場的等值面,標(biāo)量場(x, y, z)的等值面方程為,標(biāo)量場的等值面,曲面上的各點,雖然坐標(biāo) 不 同,但函數(shù)值相等,方向性導(dǎo)數(shù), 考慮標(biāo)量場中兩個等值面,梯度,為標(biāo)量場 在P點沿 方向的方向性導(dǎo)數(shù)。其大小與方向 有關(guān)。, 定義標(biāo)量函數(shù) 沿給定方向 的變化率。,可得, 由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可

8、知：沿等值面法線 的方向性導(dǎo)數(shù)最大。,故,在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式,在圓柱坐標(biāo)系中梯度的計算公式,在球坐標(biāo)系中梯度的計算公式,注意：梯度的旋度恒等于零。,證明：,引入算符后，梯度、散度、旋度公式：,補(bǔ)充：1、關(guān)于散度和旋度的一些定理：,（1）標(biāo)量場的梯度必為無旋場：,推論：無旋場必可表示為某一標(biāo)量場的梯度,若,則,（2）矢量場的旋度必為無源場：,推論：無源場必可表示為某一矢量場的旋度,若,則,補(bǔ)充2： 算符的運算公式：,（1）算符一次作用,空間存在標(biāo)量場,空間存在矢量場,積的形式：,算符作用：,結(jié)果：,（2）算符二次作用,其中,解：,例1：,標(biāo)量場與矢量場,證明,證：,例2,證：,例3,補(bǔ)

9、充3、曲面正交坐標(biāo)系,由三個正交的曲面建立的坐標(biāo)系，稱為曲面正交坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系是其中之一。,討論：直角坐標(biāo)系；柱坐標(biāo)系；球坐標(biāo)系,1。曲面正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)和體元：,設(shè)任一曲面正交坐標(biāo)系的三個單位基矢為,正交坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)為,令沿三個單位矢量方向，坐標(biāo)產(chǎn)生一個增量,則,相應(yīng)的體元增量：,其中 稱為拉梅系數(shù)，一般是坐標(biāo)的函數(shù),不同的坐標(biāo)系，單位矢量不同；坐標(biāo)不同；拉梅系數(shù)不同，但坐標(biāo)構(gòu)成方式相同。,1）直角坐標(biāo)系,2）柱坐標(biāo)系,3）球坐標(biāo)系,四、亥姆霍茲定理,一個標(biāo)量場的性質(zhì)完全由它的梯度表示。,一個矢量場的性質(zhì)完全由它的散度和旋度表示。,上述性質(zhì)稱為亥姆霍茲定理。,證明1）：,已知標(biāo)量場 的梯度為,則，滿足,是無旋場（保守場），保守場力做功與路徑無關(guān)，只與起點、終點位置有關(guān)。,其中，任意常數(shù) 由參考點的選擇確定。,證明2）：,任意矢量場總可以表示為無旋場 和無散場 的矢量和。,其中,說明：當(dāng)矢量 的散度源