1、17.4一元二次方程的 根與系數(shù)的關(guān)系,韋達,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(4) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-,-2,算一算：,（3）3x2-4x+1=0,1,-,若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的兩根為x1、x2, 則,.,.,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,證明：設(shè)ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1、x2,則,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 =,-,注：能用公

2、式的前提條件為=b2-4ac0,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 時， 注意“ ”不要漏寫。,如果方程x2+px+q=0的兩根是 X1 ，X2，那么 X1+X2= , X1X2= .,P,q,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是 法國數(shù)學(xué)家“韋達”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又 稱之為韋達定理.,說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：,(1) x2 - 2x - 1=0,(3) 2x2 - 6x =0,(4) 3x2 = 4,(2) 2x2 - 3x + =0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x

3、1x2= -,說一說：,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值.,解法一：,設(shè)方程的另一個根為x2.,由根與系數(shù)的關(guān)系，得,2 x2 = k+1,2 x2 = 3k,解這方程組，得,x2 =3,k =2,答：方程的另一個根是3 , k的值是2.,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。,解法二：,設(shè)方程的另一個根為x2.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解這方程，得 k= - 2,由根與系數(shù)的關(guān)系，得2 x23k,即2 x26, x2 3,答：方程的另一個根是3 , k的值是2.,例2、方

4、程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2， 不解方程，求： （1） ; （2) ; ; (4) .,另外幾種常見的求值:,1、已知方程3x219x+m=0的一個根是1， 求它的另一個根及m的值。,2、設(shè)x1,x2是方程2x24x3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值.,解：設(shè)方程的另一個根為x2,則x2+1= , x2= ,又x21= , m= 3x2 = 16,解：,由根與系數(shù)的關(guān)系,得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,試一試：,4,1,14,12,則：,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時

5、, 一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和, 兩根之積的形式,再整體代入.,4.已知方程的兩個實數(shù)根 是且 ， 求k的值.,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 當k=4時， =-80 k=4(舍去） 當k=-2時，=40 k=-2,解得：k=4 或k=2,探究：,6.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)根x1、x2. （1）求實數(shù)m的取值范圍； （2）當x12-x22=0時，求m的值.,6.（2013荊州）已知：關(guān)

6、于x的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0 （1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根； （2）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2, 且x1x2=2,求k的值.,2、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系； 3、靈活運用根與系數(shù)關(guān)系解決問題.,1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？,小結(jié)：,17.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,（第二課時）,下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？ .X23X+1=0 .3X22X=2 .2X2+3X=0 .3X2=1,基本知識,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 時， 注意“ ”不要漏寫.,練習(xí)1,已知關(guān)于x的方程,當m= 時,此方程

7、的兩根互為相反數(shù).,當m= 時,此方程的兩根互為倒數(shù).,1,1,分析:1.,2.,練習(xí)2,設(shè) 的兩個實數(shù)根 為 則: 的值為( ) A. 1 B. 1 C. D.,A,以 為兩根的一元二次方程 (二次項系數(shù)為1)為:,二、已知兩根求作新的方程,題5 以方程X2+3X-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程是（ ） A、y23y-5=0 B、 y23y-5=0 C、y23y5=0 D、 y23y5=0,B,分析:設(shè)原方程兩根為 則:,新方程的兩根之和為,新方程的兩根之積為,求作新的一元二次方程時: 1.先求原方程的兩根和與兩根積. 2.利用新方程的兩根與原方程的兩根之 間的關(guān)系,求新方程的兩根和與兩根

8、積. (或由已知求新方程的兩根和與兩根積) 3.利用新方程的兩根和與兩根積, 求作新的一元二次方程.,練習(xí): 1.以2和 為根的一元二次方程 （二次項系數(shù)為）為：,題6 已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩 個數(shù)是 。,2和-1,解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:,解得:,x=2 y=1,或,1 y=2,解法(二):設(shè)兩數(shù)分別為一個一元二次方程 的兩根則:,求得,兩數(shù)為2,三已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù),題7 如果1是方程 的一個根，則另一個根是_=_。,（還有其他解法嗎？),-3,四求方程中的待定系數(shù),小結(jié)： 1、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系； 2、靈活運用根與系數(shù)關(guān)系解決問題； 3、探索解題思路，歸

9、納解題思想方法。,8、已知關(guān)于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0) (1)此方程有實數(shù)根嗎？ （2）如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=m，求m的值。,拓廣探究,題9 方程 有一個正根，一個負根，求m的取值范圍。,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,一正根，一負根,0 X1X20,兩個正根,0 X1X20 X1+X20,兩個負根,0 X1X20 X1+X20,請閱讀下列材料： 問題：已知方程x 2x10，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍 解：設(shè)所求方程的根為y，則y2x，所以x 把x 代入已知方程，得( )2 10 化簡，得y 22y40 故所求方程為y 22y40 這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法” 請用閱讀材料提供的“換