1、41空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí)42空間圖形的公理(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)長(zhǎng)方體這一常見(jiàn)的空間圖形，體會(huì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.2.會(huì)用符號(hào)表達(dá)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.3.掌握空間圖形的三個(gè)公理及其推論知識(shí)點(diǎn)一空間圖形的基本位置關(guān)系對(duì)于長(zhǎng)方體有12條棱和6個(gè)面思考112條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？思考2棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？思考3六個(gè)面之間有哪幾種位置關(guān)系梳理位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)A在直線a外Aa點(diǎn)B在直線a上Ba點(diǎn)與平面的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面內(nèi)A點(diǎn)B在平面外B直線與直線的位置關(guān)系平行ab相交異面a與b異面直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)線面相交線面平行平面與平面的位

2、置關(guān)系面面平行面面相交異面直線不同在_的兩條直線，叫作異面直線知識(shí)點(diǎn)二空間圖形的公理思考1照相機(jī)支架只有三個(gè)腳支撐說(shuō)明什么？思考2一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？思考3教室的墻面與地面有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)有什么規(guī)律？梳理(1)空間圖形的公理公理內(nèi)容圖形符號(hào)作用公理1如果一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上_都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在_內(nèi))_，_，且_，_l用來(lái)證明直線在平面內(nèi)公理2過(guò)_ _的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的使A，B，C用來(lái)確定一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條_，_l，且Pl用來(lái)證明空間的點(diǎn)

3、共線和線共點(diǎn)(2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面(圖)推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面(圖)推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面(圖)類型一文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.反思與感悟(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)

4、的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)成圖形(1)直線l經(jīng)過(guò)平面內(nèi)兩點(diǎn)A，B；(2)直線l在平面外，且過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P；(3)直線l既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)；(4)直線l是平面與的交線，平面內(nèi)有一條直線m與l平行類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用例2如圖，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求證：PQ.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)反思與感悟在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來(lái)證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)(2)重合法：先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平

5、面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)例3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)求證：CE、D1F，DA三線交于一點(diǎn)反思與感悟(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線

6、與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足ABP，BCQ，ACR，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面外”，正確的是()A.Al，l B.Al，l C.Al，l D.Al，l 2滿足下列條件，平面平面AB，直線a，直線b且aAB，bAB的圖形是()3下列推理錯(cuò)誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABC.l ，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線與重合4如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過(guò)()A點(diǎn)A B點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M

7、 D點(diǎn)C和點(diǎn)M5如圖，在ABC中，若AB，BC在平面內(nèi)，判斷AC是否在平面內(nèi)1解決立體幾何問(wèn)題首先應(yīng)過(guò)好三大語(yǔ)言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語(yǔ)言描述圖形語(yǔ)言，將圖形語(yǔ)言用文字語(yǔ)言描述出來(lái)，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語(yǔ)言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛2在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問(wèn)題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用，突出先部分再整體的思想答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1相交，平行，既不平行也不相交思考2棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交思考3平行和相交梳理abOaaAaa任何一個(gè)

8、平面內(nèi)知識(shí)點(diǎn)二思考1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面思考2直尺在桌面上思考3這些公共點(diǎn)在同一直線上梳理(1)兩點(diǎn)所有的點(diǎn)平面AlBlAB不在一條直線上通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線PP題型探究例1解(1)點(diǎn)P直線AB.(2)點(diǎn)C直線AB.(3)點(diǎn)M平面AC.(4)點(diǎn)A1平面AC.(5)直線AB直線BC點(diǎn)B.(6)直線AB平面AC.(7)平面A1B平面AC直線AB.跟蹤訓(xùn)練1解(1)A，B，Al，Bl，如圖(2)l ，Pl，P.如圖(3)l，l.如圖(4)l，m，ml.如圖例2證明因?yàn)镻Qa，所以PQ與a確定一個(gè)平面，所以直線a，點(diǎn)P.因?yàn)镻b，b，所以P.又因?yàn)閍，所以與重合，所以PQ.引申探究解已知：

9、abc，laA，lbB，lcC.求證：a，b，c和l共面證明：如圖，ab，a與b確定一個(gè)平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b與c確定一個(gè)平面，同理l.平面與都包含l和b，且blB，由公理2的推論知：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，平面與平面重合，a，b，c和l共面跟蹤訓(xùn)練2證明方法一(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個(gè)平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.Bl3，Cl3，l3.直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)方法二(輔助平面法)l1l2A，l1和l2確定一個(gè)平面.l2l3B，l2，l3確定一個(gè)平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C

10、，C.不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)例3證明如圖，連接EF，D1C，A1B.E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)又平面A1D1DA平面ABCDDA，根據(jù)公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練3證明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面的交線上P