1、2.6 三角函數(shù)在電工學中的應用舊課復習：正弦定理、余弦定理: . ; ; 新課引入：1.分析正弦交流電流的變化規(guī)律舉例我們知道,正弦交流電的電流強度隨時間變化的規(guī)律為 .其中-電流強度的最大值,稱為幅值(或峰值); -稱為角頻率(或圓頻率),它表示電流變化的快慢,其單位是“弧度/秒”;-稱為初相位(或初位相或初相);稱為時刻的相位(或位相),它是發(fā)電機轉子的繞組面在時刻所在位置與定子磁場方向所成的角(圖2-12).這里,關于是正弦型函數(shù),因此我們可以利用正弦型函數(shù)的圖象(正弦波形)和性質來具體分析正弦交流電流隨時 間的變化情況.例1 圖2-13畫出了兩種正弦交流電的電流強度隨時間變化在一個周

2、期里的圖象,其中橫坐標表示.根據(jù)圖2-13,回答下列問題:(1)與的幅值各為多少?(2) 與的周期相等嗎?是多少?(3) 與哪個先達到最大值? 解: (1)從圖2-13中可以看出, 的幅值為30,的幅值為20.(2) 圖2-13中,橫軸代表,從圖中看出, 每增加(減少) , 與函數(shù)值都不變.因此與的周期相同,都等于.(3) 從圖2-13中看出,當時,達到最大值; 當時, 達到最大值.因此先達到最大值.從圖2-13中還可以看出, 的初相位是,的初相位是.根據(jù)上述分析,可以寫出與的解析表達式如下: , ,(可以確定的值,這里從略)正弦交流電完成一次周期性變化所需的時間稱為周期(單位:秒,記作s),

3、用表示,根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性,:單位時間內交流電完成周期性變化的次數(shù)稱為頻率(單位:赫茲,記作Hz),用表示.顯然,從而.兩個同頻率的交流電的相位角或初相位角之差,稱為相位差.以上電流與是兩個同頻正弦電流,它們的相位差是 .我們稱比的相位超前,或者說比的相位滯后.如上所說, 比先達到最大值.例2 已知正弦交流電流(安)與時間(秒)的函數(shù)關系為 ().(1) 試指出它的角頻率、頻率、周期、幅值及初相位各是多少?(2) 設秒、秒時電流的瞬時值分別為、,試比較與哪個較大?(3) 試畫出它在一個周期內的簡圖,并指出電流在這個周期內的變化情況.解:(1)角頻率(rad/s),頻率(Hz),周期(s),

4、幅值(A),初相位(rad).(2)當時,(“-”號表示流向),所以(安);當時, ,所以(安).因此, 比大.(3) 列表=X=()描點畫圖(圖2-14) 從圖2-14看出,在前半個周期內,當時間從0,0025秒連續(xù)變化到0.0075秒時,電流從0安逐漸增大到幅值30安; 當時間從0,0075秒連續(xù)變化到0.0125秒時,電流從30安逐漸減小到幅值0安. 在后半個周期內,電流的變化規(guī)律與前半個周期內的情形相似,但流向相反.例3 圖2-15是一個正弦交流電流的圖象,根據(jù)圖象求出它的周期、頻率、幅值和初相位，并寫出電流關于時間的函數(shù)關系式.解: 根據(jù)圖象可知, 電流的周期(s).所以 頻率(Hz

5、). 角頻率(rad/s)由圖又知, 幅值(A),起點坐標為(-0.05,0).由正弦型函數(shù)起點坐標的求法,有 圖2-15 于是, 初相(rad)因此,該正弦交流電的函數(shù)關系式為 ().正弦交流電的電壓隨時間變化的規(guī)律為 （），其中是電壓的最大值,稱為幅值(或峰值),同樣,稱為角頻率(或圓頻率),稱為初相位(或初相),稱為時刻的相位.類似地,正弦電壓的周期(單位:s),頻率(單位:Hz),(單位:rad/s)在電工學中, 正弦交流電的電流和電壓都簡稱為正弦量.顯然,正弦量由幅值、角頻率和初相位唯一確定.課堂練習：習題2.6 的1、2、3題（請學生回答）2.求兩個同頻率的正弦交流電合成舉例在電工

6、學里,對交流電路的分析過程中,經常遇到對同頻率的正弦量求和的運算,稱之為同頻率正弦量的合成.例如:設有兩個同頻率的正弦電流(單位:A) , ,把它們合成,即 又稱為電流與的總電流. 例4 求兩個同頻率的正弦電流與相加的總電流.解: 設與的合成電流為,則 ,其中.因此合成電流也是正弦電流,且與、同頻率.由上可見,用和角的正弦公式能求出兩個同頻率的正弦量的合成結果,但計算非常繁瑣.下面將給出一種較簡單的解法.根據(jù)2.3節(jié)討論的結果可知,正弦量除了用正弦型函數(shù)或正弦波形表示之外,還可以用旋轉向量來表示.畫旋轉向量來表示正弦量,是繁瑣的.在電工學中,通常只用初始位置()的向量來表示一個正弦量,它的長度

7、等于正弦量的幅值,它與橫軸正方向間的夾角等于正弦量的初相位.但是我們應該具有這樣的概念:這個向量是以正弦量的角頻率作逆時針方向旋轉的,它在縱軸上的投影(縱坐標)表示正弦量的瞬時值.在實際問題中我們所涉及的往往是正弦量的有效值.因此為了方便起見,常使向量的長度等于正弦量的有效值.顯然,這時它在縱軸上的投影就不能代表正弦量的瞬時值了. 由電工學可知,正弦電流和電壓的有效值與幅值的換算關系為:,.為了與物理向量(例如電場力、電場強度等)區(qū)別,表示隨時間而變化的正弦量的向量我們稱為相量,并在所注文字上方打一“”. 例如電流和電壓的幅值相量分別記作和,它們的有效值相量分別記作和.由于正弦量由幅值、角頻率

8、和初相位唯一確定,因此正弦電流相量. 對應正弦電壓相量. 對應按照各個同頻率的正弦量的幅值(或有效值)和初相位畫出若干個相量的圖形稱為相量圖. 由2.3節(jié)討論亦可知, 兩個同頻率的正弦量相加(相同物理量相加),其結果是一個同頻率的正弦量,它們的相量之和,就是它們的和的相量.因此,我們可以利用兩個同頻率的正弦量(相同物理量)的相量圖,采用平行四邊形法則求它們的和相量, 再通過解三角形便可求得這兩個同頻率的正弦量之和的幅值和初相位,從而得出兩個同頻率的正弦量的合成結果.例5 已知兩同頻率的正弦電流()安和()安,求.解: 先作和的幅值相量和,以 該兩相量為鄰邊作一平行四邊形, 平行四邊形的對角線即

9、為兩正弦電流之和的幅值相量 (圖2-16).因為和的相位差恰為,所以的幅值 而的初相位 , 所以 ()安. 例6 在圖2-17的電路中,設 ()=()安, ()=()安, 試求總電流. 解: 根據(jù)表示正弦量的幾種方法對本題分 別進行計算如下: (1)用三角函數(shù)式求解 ()+() ()+() =()+()設 ()=, ,因此總電流的幅值為 ,電流的初相位為 .將本題中的安、安、代入，則得 安， .故得 ()安.(2)用正弦波形求解先作出表示電流和的正弦波形,而后將兩波形的縱坐標相加,即得總電流的正弦波形,從此波形上便可量出的幅值和初相位(圖2-18).(3)用相量圖求解 先作出表示電流和的幅值相

10、量和,而后以和為鄰邊作一平行四 邊形,其對角線即為總電流的幅值相量, 它的長度即為幅值,它與橫軸正的夾角即為初相位(圖2-19或圖2-18縮小版).從向量圖上可以量出的幅值和初相.4用相量圖通過解三角形求解 先作出表示電流和的幅值相量 和,而后以和為鄰邊作一平行四邊形,其對角線即為總電流的幅值相量,它的長度即為幅值,它與橫軸正方向間的夾角即為初相位(圖2-19).因為與的相位差(-)= 所以,由余弦定理得 () ,因此, 的幅值安;又根據(jù)正弦定理,有 ()=,所以的初相位 .于是 ()安. 最后指出,如果用相量表示正弦交流電,則正弦交流電路中的希爾荷夫定律具有相量形式.本堂課作業(yè)：習題2.6 的4、5題本堂課歸納小結：正弦交流電的電流強度及電壓對時間的函數(shù)關系分別為: () (); () (),它們都是正弦型函數(shù).掌握了正弦型函數(shù)圖象和性質,也就掌握了正弦交流電隨時間變化的 在電工學中, 正弦交流電的電流和電壓都簡稱為正弦量, 正弦量可以用相量來表示.有正弦電流幅值相量.