1、3.3第一課時(shí)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域預(yù)習(xí)課本P8186，思考并完成以下問題 (1)如何確定二元一次不等式所確定的平面區(qū)域？ (2)如何畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域？ (3)如何用不等式組表示平面區(qū)域？ 1一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線點(diǎn)睛確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法2由于對(duì)直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)

2、(x，y)代入AxByC，所得的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0By0C的符號(hào)即可判斷AxByC0表示的直線是AxByC0哪一側(cè)的平面 區(qū)域1不等式2xy60表示的平面區(qū)域在直線2xy60的_解析：作直線2xy60，將原點(diǎn)(0,0)代入檢驗(yàn)答案：右下方2ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,4)，B(2,0)，C(2,0)，則ABC內(nèi)任意一點(diǎn)(x，y)所滿足的條件為_解析：將點(diǎn)(0,0)代入直線AB：2xy40，得40，代入直線AC：2xy40，得40，故可知ABC的內(nèi)部位于x軸的上方，故答案：3點(diǎn)(1,3)和點(diǎn)(4,2)在直線2xym0的兩側(cè)，則

3、m的取值范圍是_解析：(1,3)和(4,2)在2xym0的兩側(cè)，(213m)2(4)2m0，即(m5)(m6)0，即5m6.答案：(5,6)4不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_解析：如圖所示，區(qū)域?yàn)锳BC，S424.答案：4二元一次不等式表示的平面區(qū)域典例畫出不等式2xy60表示的平面區(qū)域解先畫直線2xy60(畫成實(shí)線)取原點(diǎn)(0,0)，代入2xy6.200660(0)表示的區(qū)域不包括直線axbyc0，該直線要畫成虛線(2)測(cè)試點(diǎn)選取要恰當(dāng)一般地選原點(diǎn)(0,0)，(0,1)或(1,0)，如果測(cè)試點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，則所求區(qū)域?yàn)榘y(cè)試點(diǎn)的直線一側(cè)，否則在直線的另一側(cè)，最后將區(qū)域用陰影表示出來 活

4、學(xué)活用1圖中的平面區(qū)域(陰影部分)，用不等式表示為_解析：直線過(4,0)，兩點(diǎn)，故直線為2x3y80，則陰影部分表示為2x3y80.答案：2x3y802已知點(diǎn)A(0,0)，B(1,1)，C(2,0)，D(0,2)，其中不在不等式2xy2)的距離為a2.易知直線xa與xy0，xy40的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(a，a)，(a,4a)結(jié)合圖形及題意知(4a)a(a2)9，即(a2)29.又易知a2，因此a1.答案：1題點(diǎn)三：確定區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)3由滿足上題中的a所確定的區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有_個(gè)解析：滿足上題中的a所確定的平面區(qū)域如圖中的ABC的內(nèi)部(包括邊界)ABC三個(gè)頂點(diǎn)為A(2,2)，B(1,5)，C(1，

5、1)則在直線x1上的整點(diǎn)有7個(gè)在直線x0上的整點(diǎn)有5個(gè)，在直線x1上的整點(diǎn)有3個(gè)，在直線x2上的整點(diǎn)有1個(gè)，故共有753116個(gè)答案：16(1)求區(qū)域面積的2個(gè)注意點(diǎn)求平面區(qū)域的面積，先要畫出不等式組表示的區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積求面積時(shí)，注意與坐標(biāo)軸垂直的直線及區(qū)域端點(diǎn)坐標(biāo)，這樣易求底與高，必要時(shí)分割區(qū)域?yàn)樘厥鈭D形(2)求區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法畫出滿足不等式組的區(qū)域作出直線xn(nZ)，觀察xn上有滿足不等式組的區(qū)域內(nèi)的多少個(gè)整點(diǎn)求出所有整點(diǎn)的和 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1若點(diǎn)P(a,3)在y2x3表示的區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：點(diǎn)P(a,3)在y2x3表示的區(qū)域內(nèi)，則32a3，解得

6、a0表示的平面區(qū)域內(nèi)的有_解析：把各點(diǎn)坐標(biāo)逐一代入不等式檢驗(yàn)知B，D點(diǎn)符合不等式答案：B，D3圖中陰影部分表示的區(qū)域滿足不等式_解析：把原點(diǎn)(0,0)代入檢測(cè)可知，陰影部分表示的區(qū)域滿足不等式2x2y10.答案：2x2y104若直線y2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足不等式組則實(shí)數(shù)m的最大值為_解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示所以，若直線y2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足不等式組，則3m2m，即m1.故實(shí)數(shù)m的最大值為1.答案：15由直線xy20，x2y10和2xy10圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式組表示為_解析：畫出三條直線，并用陰影表示三角形區(qū)域，如圖所示取原點(diǎn)(0,0)，將x0，y

7、0代入xy2得20，代入x2y1得10；代入2xy1得10.結(jié)合圖形可知，三角形區(qū)域用不等式組可表示為答案：6設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x02y02，則m的取值范圍是_解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示：要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x02y02，必須使點(diǎn)A位于直線x2y20的右下側(cè)，即m2(m)20，m.答案：7在平面區(qū)域(x，y)|x|2，|y|2上恒有ax3by4，則動(dòng)點(diǎn)P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為_解析：由條件可知，已知區(qū)域是以(2，2)，(2,2)，(2,2)，(2，2)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部及邊界，從而動(dòng)點(diǎn)P(a，b)

8、所形成平面區(qū)域是一個(gè)菱形，所求面積為S42.答案：8設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若函數(shù)yk(x1)1的圖象經(jīng)過區(qū)域M，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：作出平面區(qū)域，如圖所示因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是過點(diǎn)P(1,1)，且斜率為k的直線l，由圖知，當(dāng)直線l過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，k取最大值；當(dāng)直線l過點(diǎn)B(3,0)時(shí)，k取最小值，故k.答案：9畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)2xy60；(2)解：(1)如圖，先畫出直線2xy60，取原點(diǎn)O(0,0)代入2xy6中，2010660，與點(diǎn)O在直線2xy60同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)都滿足2xy60，因此2xy60表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(如圖中陰影部分所示

9、)(2)不等式xy5表示直線xy50及左下方的區(qū)域不等式x2y3表示直線x2y30右下方的區(qū)域不等式x2y0表示直線x2y0及右上方的區(qū)域所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示10已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋螽?dāng)a從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線xya0掃過中的那部分區(qū)域的面積解：如圖所示，為BOE所表示的區(qū)域，而動(dòng)直線xya掃過中的那部分區(qū)域?yàn)樗倪呅蜝OCD，而B(2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，CDE為直角三角形S四邊形BOCD221.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1直線x2y10上方的區(qū)域可用不等式_表示解析：作圖知，原點(diǎn)(0,0)在直線下方，所以直線上方區(qū)域不包括原點(diǎn)(0,

10、0)，把(0,0)代入得00110表示答案：x2y102若mxny60(mn0)所表示的區(qū)域不含第三象限的點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)在第_象限解析：由題意知，直線mxny60在兩軸上的截距均大于0，m0，n0，點(diǎn)(m，n)在第一象限答案：一3若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是_解析：如圖，當(dāng)直線ya位于直線y5和y7之間(不含y7)時(shí)滿足條件，故5a1，SABC2，(1a)12，a3.答案：35若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是_解析：由圖可知，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)锳BC邊界及內(nèi)部，ykx恰過C，ykx將區(qū)域平均分成面積相等的兩部分，故過A

11、B的中點(diǎn)D，所以k，k.答案：6不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，區(qū)域圖形為直角三角形(不包括x軸和y軸)，x的整數(shù)值只有1,2.當(dāng)x1時(shí)，代入4x3y12，得y，整點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，(1,1)當(dāng)x2時(shí)，代入4x3y12，得y，整點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)綜上所述，平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，(1,2)和(2,1)答案：(1,1)，(1,2)和(2,1)7已知點(diǎn)P(1，2)及其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)均在不等式2xby10表示的平面區(qū)域內(nèi)，求b的取值范圍解：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P(1,2)由題意知解得b.故滿足條件的b的取值范圍為.8設(shè)不等式組表示的

12、平面區(qū)域是Q.(1)求Q的面積S；(2)若點(diǎn)M(t,1)在平面區(qū)域Q內(nèi)，求整數(shù)t的取值的集合解：(1)作出平面區(qū)域Q，它是一個(gè)等腰直角三角形(如圖所示)由解得A(4，4)，由解得B(4,12)，由解得C(4,4)于是可得|AB|16，AB邊上的高d8.S16864.(2)由已知得即亦即得t1,0,1,2,3,4.故整數(shù)t的取值集合是1,0,1,2,3,4第二課時(shí)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題預(yù)習(xí)課本P8790，思考并完成以下問題 (1)線性規(guī)劃的基本概念有哪些？ (2)利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟有哪些？ (3)利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值分哪幾步進(jìn)行？ 線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成

13、的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題1已知實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)滿足則2xy取最小值時(shí)的最優(yōu)解是_解析：約束條件表示的可行域如圖中陰影三角形，令z2xy，y2xz，作初始直線l0：y2x，作與l0平行的直線l，則直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)時(shí)，(2xy)min3.答案：(1,1)2已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)(

14、x，y)在ABC內(nèi)部，則zxy的取值范圍是_解析：如圖，根據(jù)題意得C(1，2)作直線xy0，并向左上或右下平移，過點(diǎn)B(1,3)和C(1，2)時(shí)，zxy取范圍的邊界值，即(1)2z1.答案：(1，)4若變量x，y滿足約束條件則zx2y的最大值為_解析：如圖，畫出約束條件表示的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx2y經(jīng)過xy0與xy20的交點(diǎn)A(1，1)時(shí)，取到最大值3.答案：35如圖所示，點(diǎn)(x，y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，那么2xy的最小值為_解析：由圖知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(1,1)時(shí)，2xy1；在點(diǎn)B(，)時(shí)，2xy21；在點(diǎn)C(，1)時(shí)，2xy211；在點(diǎn)D(1,0)時(shí)，2xy2021，故最小

15、值為1.答案：16已知實(shí)數(shù)x，y滿足若zyax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個(gè)，則a的值為_解析：依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示要使zyax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個(gè)，則直線zyax必平行于直線yx10，于是有a1.答案：17如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件那么z4x2y的最大值為_解析：可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(2，1)，(0，1)，直線y2xt過點(diǎn)B(2，1)時(shí)，t取得最大值3，故z4x2y22xy的最大值為8.答案：88設(shè)變量x，y滿足約束條件且不等式x2y14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式組表示的平

16、面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a8，否則可行域無意義由圖可知x2y在點(diǎn)(6，a6)處取得最大值2a6，由2a614得，a10.答案：8,109直線l：xmyn(n0)過點(diǎn)A(4,4)，若可行域的外接圓直徑為.求實(shí)數(shù)n的值解：作出可行域如圖所示，過原點(diǎn)的直線OA的傾斜角為60，由直線l：xmyn(n0)過點(diǎn)A(4，4)，可得44mn.又由可解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為A(4,4)，又點(diǎn)B坐標(biāo)為(n,0)，AB7，(4n)2(4)249，n3或5.10已知x，y滿足條件：求：(1)4x3y的最大值和最小值；(2)x2y2的最大值和最小值解：(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示其中A(4,1

17、)，B(1，6)，C(3,2)，設(shè)z4x3y.直線4x3y0經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)作一組與4x3y0平行的直線l：4x3yt.則當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí)，t值最?。划?dāng)l過B點(diǎn)時(shí)，t值最大z最大值4(1)3(6)14，z最小值4(3)3218.故4x3y的最大值為14，最小值為18.(2)設(shè)ux2y2，則為點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)的距離結(jié)合不等式組所表示的區(qū)域，不難知道：點(diǎn)B到原點(diǎn)距離最大；而當(dāng)(x，y)在原點(diǎn)時(shí)，距離為0.u最大值(1)2(6)237，u最小值0，x2y2的最大值為37，最小值為0.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1設(shè)D為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為_解析：作

18、出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B(1，0)到直線2xy0的距離最小，d1，故最小距離為.答案：2若實(shí)數(shù)x，y滿足則z3x2y的最小值是_解析：由已知不等式組作可行域如圖陰影部分所示令x2yk，則yx，問題由求k的最小值轉(zhuǎn)化為求直線yx的縱截距的最小值顯然當(dāng)直線yx過原點(diǎn)O時(shí)，截距最小，此時(shí)kmin0，z3x2y的最小值為1.答案：13已知x，y滿足不等式組且z2xy的最大值是最小值的3倍，則a_.解析：依題意可知a0，a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是_解析：作二元一次不等式組的可行域如圖所示，由題意得A(1,9)，C(3,8)當(dāng)yax過A(1,9)時(shí)，a取最大值，此時(shí)a9

19、；當(dāng)yax過C(3,8)時(shí)，a取最小值，此時(shí)a2，2a9.答案：2,95設(shè)變量x，y滿足約束條件則滿足函數(shù)y2xt的t最大值為_解析：由約束條件作出可行域如圖所示，可知(x，y)是由點(diǎn)A(1,0)，B(2,1)，C(2，1)三點(diǎn)組成的三角形區(qū)域，令t2xy，即當(dāng)經(jīng)過C(2，1)時(shí)，t有最大值5.答案：56若變量x，y滿足約束條件且z5yx的最大值為a，最小值為b，則loga(b)_.解析：由線性約束條件得可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分由z5yx，得y.由圖知目標(biāo)函數(shù)y，過點(diǎn)A(8,0)時(shí)，zmin5yx5088，即b8.目標(biāo)函數(shù)y過點(diǎn)B(4,4)時(shí)，zmax5yx54416，即a16.所以loga(b)log168.答案：7某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘