1、第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問題，高考中常與函數(shù)零點(diǎn)、方程根及不等式相結(jié)合，難度較大.熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，可以間接考查用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力例1已知函數(shù)f(x)(ln xk1)x(kR)(1)當(dāng)x1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對(duì)于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求k的取值范圍；(3)若x1x2，且f(x1)f(x2)，證明：x1x21，所以f(x)ln xk0，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，)，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；當(dāng)k0時(shí)，令ln xk0，解得xek，當(dāng)1

2、xek時(shí)，f(x)ek時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1，ek)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ek，)，在區(qū)間(1，)上的極小值為f(ek)(kk1)ekek，無極大值(2)解由題意，f(x)4ln x0，即問題轉(zhuǎn)化為(x4)ln x(k1)x對(duì)xe，e2恒成立令g(x)，則g(x)，令t(x)4ln xx4，xe，e2，則t(x)10，所以t(x)在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞增，故tmint(e)e44e0，故g(x)0，所以g(x)在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞增，函數(shù)gmaxg(e2)2.要使k1對(duì)于xe，e2恒成立，只要k1gmax，所以k12，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.(3)證明因?yàn)閒(x1)f

3、(x2)，由(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ek)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ek，)上單調(diào)遞增，且f(ek1)0.不妨設(shè)x1x2，則0x1ekx2ek1，要證x1x2e2k，只要證x2，即證ekx2.因?yàn)閒(x)在區(qū)間(ek，)上單調(diào)遞增，所以f(x2)f.又f(x1)f(x2)，即證f(x1)f，構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)f(ln xk1)x，即h(x)xln x(k1)xe2k，x(0，ek)h(x)ln x1(k1)e2k(ln xk)，因?yàn)閤(0，ek)，所以ln xk0，x20，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，ek)上單調(diào)遞增，故h(x)h(ek)，而h(ek)f(ek)f0，故h(x)0，所

4、以f(x1)f，即f(x2)f(x1)f，所以x1x2e2k成立思維升華用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對(duì)x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2)對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對(duì)xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.跟蹤演練1(2017全國(guó))已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e2f(x0)22.(1

5、)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，設(shè)g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價(jià)于g(x)0，因?yàn)間(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a10，得a1.若a1，則g(x)1.當(dāng)0x1時(shí)，g(x)1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以x1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)g(1)0.綜上，a1.(2)證明由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x，設(shè)h(x)2x2ln x，則h(x)2.當(dāng)x時(shí)，h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又h(e2)0，h0；當(dāng)x(x0，1)時(shí)，h(x)0.因?yàn)閒(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一

6、極大值點(diǎn)由f(x0)0，得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0，得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)0)，定義h(x)maxf(x)，g(x)(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若g(x)xf(x)，且存在x1,2使h(x)f(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若g(x)ln x，試討論函數(shù)h(x)(x0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)函數(shù)f(x)ax33x21, f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10或x2，a0，x1x2，列表如下：x(，0)0f(x)00f(x)遞增極大值遞減極小值遞增f(x)的極大值為f(0)1，極小值為f11.(2)g(x)xf(x)

7、3ax36x2，存在x1,2，使h(x)f(x)，f(x)g(x)在x1,2上有解，即ax33x213ax36x2在x1,2上有解，即不等式2a在x1,2上有解. 設(shè)y(x1,2)，y0，即a2時(shí)，f(x)0在(0，)上恒成立，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上無零點(diǎn). 當(dāng)10，即a2時(shí)，f(x)minf(1)0.又g(1)0，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)10，即0a2時(shí)，設(shè)(x)f(x)g(x)ax33x21ln x(0x1)，(x)3ax26x6x(x1)0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞減又(1)a20，存在唯一的x0，使得(x0)0，()當(dāng)0xx0時(shí)，

8、(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)f(x)且h(x)為減函數(shù)又h(x0)f(x0)g(x0)ln x00，h(x)在(0，x0)上有一個(gè)零點(diǎn)；()當(dāng)xx0時(shí)，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)g(x)且h(x)為增函數(shù)，g(1)0，h(x)在(x0，)上有一零點(diǎn)；從而h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)0a2時(shí)，h(x)無零點(diǎn). 思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點(diǎn)問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點(diǎn)問題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢(shì)跟蹤演練2(2017屆云南曲靖一中月考)已知f(x)2

9、xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g(x)的解析式；(2)在(1)的條件下，求函數(shù)yg(x)的圖象在點(diǎn)P(1，g(1)處的切線方程；(3)已知不等式f(x)g(x)2恒成立，若方程aeam0恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍解(1)g(x)3x22ax1，由題意知，3x22ax10的解集為，即3x22ax10的兩根分別是，1，代入得a1，g(x)x3x2x2.(2)由(1)知，g(1)1，g(x)3x22x1，g(1)4，點(diǎn)P(1,1)處的切線斜率kg(1)4，函數(shù)yg(x)的圖象在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為y14(x1)，即4xy50.(3)由

10、題意知，2xln x3x22ax1對(duì)x(0，)恒成立，可得aln xx對(duì)x(0，)恒成立設(shè)h(x)ln xx，則h(x)，令h(x)0，得x1，x(舍)，當(dāng)0x0；當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，當(dāng)x1時(shí)，h(x)取得最大值，h(x)maxh(1)2，a2.令(a)aea，則(a)eaaeaea(a1)，(a)在2，1上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，(2)2e2，(1)e1，當(dāng)a時(shí)，(a)，方程aeam0恰有兩個(gè)不等實(shí)根，只需m.熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題生活中的實(shí)際問題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來，建立目標(biāo)問題即關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，然后通過研究這個(gè)

11、函數(shù)的性質(zhì)，從而找到變量在什么情況下可以達(dá)到目標(biāo)最優(yōu)例3(2017屆福建福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中)羅源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m96米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使余下工程的費(fèi)用y最小？解(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)32n(n1)(2)x32(2)xm2m32(0xm)(2)當(dāng)m96時(shí)，f(x)

12、96160，則f(x)96(x64)令f(x)0，得x64，所以x16.當(dāng)0x16時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,16)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)16x0，f(x)在區(qū)間(16,96)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x16處取得最小值，此時(shí)n15.故需新建5個(gè)橋墩才能使余下工程的費(fèi)用y最小. 思維升華利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)作答：回歸實(shí)

13、際問題作答跟蹤演練3圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4.若凹槽的強(qiáng)度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設(shè)AB2x，BCy.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；(2)求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大解(1)易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長(zhǎng)為x.所以42x2yx，得y.依題意知0xy，得0x.所以y.(2)依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T，橫截面的面積為S，則有TABS2x8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，得x0或x.因?yàn)?，所以當(dāng)0x0，當(dāng)x時(shí)，T0，所

14、以當(dāng)x時(shí)凹槽的強(qiáng)度最大真題體驗(yàn)(2017全國(guó))已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(i)若a0，則f(x)0，則由f(x)0，得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增(2)(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)(ii)若a0，由(1)知，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a.當(dāng)a1時(shí)，由于f(ln a)0，故f(x)只

15、有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a(1，)時(shí)，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a(0,1)時(shí)，1ln a0，即f(ln a)2e220，故f(x)在(，ln a)上有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0,1)押題預(yù)測(cè)已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函數(shù)(1)若0a1，證明：函數(shù)G(x)f(1x)g(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)證明：in 0，m0恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)b的值押題依據(jù)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題多考

16、查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法本題的命制正是根據(jù)這個(gè)要求進(jìn)行的，全面考查了考生綜合求解問題的能力(1)證明由題意知G(x)asin(1x)ln x，G(x)acos(1x)，當(dāng)x(0,1)，01,0cos(1x)1，acos(1x)0，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)(2)證明由(1)知，當(dāng)a1時(shí)，G(x)sin(1x)ln x在上單調(diào)遞增sin(1x)ln xG(1)0，sin(1x)ln(0x1) .令1x，所以x.sinsinlnlnln，in，ln 2ln 0，即Fmin0.又h(x)Fex2mx2，h(x)

17、ex2m，m0，h(x)單調(diào)遞增；又h(0)0，則必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(xiàn)(x)在(，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(x0)emx2x0b20，則bemx2x02，又e2mx020，m，bex2x02ex02，又mex02，x0(0，ln 2)恒成立，令m(x)exx2，x(0，ln 2)，則m(x)(x1)ex1，m(x)xex0，m(x)在x(0，ln 2)上單調(diào)遞增，又m(0)0，m(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞增，m(x)2ln 2，又b為整數(shù)，最小整數(shù)b的值為2. A組專題通關(guān)1(2017屆河南省南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)(ab

18、x3)ex，且函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，e)處的切線與直線x(2e1)y30垂直(1)求a，b；(2)求證：當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)2.(1)解因?yàn)閒(1)e，故(ab)ee，故ab1.依題意，f(1)2e1，又f(x)aexb(exx33x2ex)，故f(1)ae14be2e1，故a4b2，聯(lián)立，解得a2，b1.(2)由(1)得f(x)2exexx3，要證f(x)2，即證2exexx32；令g(x)2exexx3，所以g(x)ex(x33x22)ex(x33x22)ex(x1)(x22x2)，故當(dāng)x(0,1)時(shí)，ex0；令p(x)x22x2，因?yàn)閜(x)的對(duì)稱軸為x1，且p(0)p(1)

19、0，故存在x0(0,1)，使得p(x0)0；故當(dāng)x(0，x0)時(shí)，p(x)x22x20，即g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0,1)時(shí)，p(x)x22x20，故g(x)ex(x1)(x22x2)g(0)2，又當(dāng)x(0,1)時(shí)，0，所以22，即f(x)2.2(2017屆河北武邑中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)ln xax(ax1)，其中aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)至少有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)依題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)2a2xa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)ln x，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，

20、得0x，由f(x)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)a0，得0x，由f(x)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)x01; 當(dāng)a0時(shí)，由(1)知函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減若1，即0a時(shí)，f(x)在(0，1上單調(diào)遞增，由于當(dāng)x0時(shí)，f(x)且f(1)a2a0知，函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)無零點(diǎn)；若0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)至少有1個(gè)零點(diǎn)，只需滿足f0，即ln ，又a，ln 0，不等式不成立f(x)在(0,1內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，由(1)知函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減若1，即1a0

21、，知函數(shù)f(x)在(0,1內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；若01，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于當(dāng)x0時(shí)，f(x)，且當(dāng)a1時(shí)，fln0)，求當(dāng)下潛速度v取什么值時(shí)，總用氧量最少. 解(1)由題意，得下潛用時(shí)(單位時(shí)間)，用氧量為(升)；水底作業(yè)時(shí)的用氧量為100.99(升)；返回水面用時(shí)(單位時(shí)間)，用氧量為1.5(升), 總用氧量y9(v0)(2)y，令y0，得v10，當(dāng)0v10時(shí)，y10時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0c0)(1) 若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)ex.(1)解方法一函數(shù)f(x)ln x的定義域?yàn)?0，)由f(x)ln x，得f(

22、x).因?yàn)閍0，則當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增當(dāng)xa時(shí)，f(x)minln a1.當(dāng)ln a10, 即00, 則函數(shù)f(x)有零點(diǎn). 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.方法二函數(shù)f(x)ln x的定義域?yàn)?0，)由f(x)ln x0, 得axln x. 令g(x)xln x，則g(x)(ln x1)當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0.所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值gln.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln x有零點(diǎn)，則0ex，即證明當(dāng)x0，a時(shí)，ln xex，即xln xaxex.令h(x)xln xa,

23、 則h(x)ln x1.當(dāng)0x時(shí)，h(x)時(shí)，h(x)0.所以函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)x時(shí)，h(x)mina.于是，當(dāng)a時(shí)，h(x)a.令(x)xex, 則(x)exxexex(1x)當(dāng)0x0；當(dāng)x1時(shí)，(x)0時(shí)，(x).顯然，不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立故當(dāng)a時(shí)，f(x)ex.5(2017屆杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1，2)，且在該點(diǎn)處的切線與直線x5y10垂直(1)求實(shí)數(shù)b，c的值；(2)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線yf(x)上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？解(1)當(dāng)x0)，則Q(t，t3t2)，且t1.因?yàn)镻OQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以0，即t2f(t)(t3t2)0，是否存在點(diǎn)P，Q等價(jià)于方程是否有解，若0t1，則f(t)aln t，代入方程，得(t1)ln t，設(shè)h(x)(x1)ln x(x1)，則h(x