1、3.2立體幾何的向量法(2)空間向量與垂直關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1。用矢量法可以判斷簡(jiǎn)單的線、線、面、面垂直關(guān)系。2。可以用矢量語言表示直線和直線、直線和平面、平面和平面的垂直關(guān)系。3 .用矢量法證明空間線面垂直關(guān)系的定理。知識(shí)點(diǎn)矢量法確定善意垂直。如果直線L1的方向矢量為 1=(1，3，2)，直線L2的方向矢量為 2=(1，1，1)，則兩條直線是否垂直？用矢量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？答案L1與L2垂直。1 2=1-3 2=0，因此1 2、1、2是雙線的方向矢量，因此L1與L2垂直。確定兩條直線是否垂直的方法：(1)在兩條直線上分別取兩點(diǎn)A、B、C、D來計(jì)算矢量和的坐標(biāo)，=0時(shí)，兩條直線是垂

2、直的，否則不是垂直的。(2)判斷兩個(gè)善意方向向量的數(shù)量積是否為零，如果數(shù)量積為零，則判斷兩條線是否垂直，否則不垂直。如果要梳理的直線l的方向矢量為a=(a1，a2，a3)，直線m的方向矢量為b=(B1，B2，B3)，則l-mab=0a 1 B1 a2 B2 a3 B3=0知識(shí)點(diǎn)二向量法判斷線面的垂直。如果直線L的方向矢量為 1=，平面的法向矢量為 2=，則直線L和平面的位置關(guān)系是什么？如何使用矢量方法確定直線和平面的位置關(guān)系？答案是垂直的。 1= 2，因此 1 2，即善意方向向量平行于平面的法線向量，因此線L垂直于平面。確定直線和平面的位置關(guān)系的方法：(1)線L的方向向量與平面的法線向量共線。

3、(2)善意方向矢量平行于平面的法向矢量豎直線和平面，或者直線位于平面內(nèi)。(3)線L的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)相交善意方向向量垂直L。要梳理的直線L的方向矢量A=(A1，B1，C1)，平面的法向矢量=(A2，B2，C2)，L-A-A=K(K-R)知識(shí)點(diǎn)3向量法判斷人臉垂直。思維平面，貝塔的法線矢量分別是 1=(X1，y1，Z1)， 2=(X2，y2，z2)，矢量坐標(biāo)法，這兩個(gè)平面alpha，貝塔的垂直關(guān)系是什么？答案x1x2 y1 y2 z1z2=0。如果要梳理的平面的法向矢量為=(a1，B1，C1)，平面的法向矢量為=(a2，B2，C2)，則=0a 1a 2 B1 B2類型1證明線垂直示例1表示

4、三角棱鏡ABC-A1B1C1的每個(gè)邊都為1，M是底面BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)邊CC1的點(diǎn)，CN=CC1。驗(yàn)證：AB1MN。將AB的中點(diǎn)設(shè)定為O，將OO1-AA1設(shè)定為座標(biāo)原點(diǎn)，將OB設(shè)定為X軸，將OC設(shè)定為Y軸，將OO1設(shè)定為Z軸，如圖所示設(shè)定空間直角座標(biāo)系統(tǒng)。被稱為a、b、c、n和B1。M是BC中點(diǎn)。m .=、=(1，0，1)、=-0=0。、ab1Mn。反思與頓悟證明兩條直線垂直的基本步驟：設(shè)置空間直角坐標(biāo)系寫點(diǎn)坐標(biāo)查找善意方向矢量證明矢量垂直獲得兩條直線的垂直。追蹤訓(xùn)練1圖解，在直三角棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，驗(yàn)證：AC證明直三角棱鏡ABC-A1B1

5、C 1底面3邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，AC、BC、C1C兩個(gè)垂直。使用C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，具有CA、CB和CC1牙齒的直線分別為X、Y和Z軸設(shè)置空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。C (0，0，0)、a (3，0，0)、C1 (0，0，4)、b (0，4，0)、=(-3，0，0)，=(0，-4，4)，=0。ACbc1。類型2證明線面垂直如范例2所示，正三角棱柱ABC-A1B1C1的所有邊都是2，D是CC1的中點(diǎn)。認(rèn)證：AB1平面A1BD。獲取BC的中點(diǎn)o以連接AO，如圖所示。aoBC，因?yàn)锳BC是正三角形。正三角棱鏡ABC-A1B1C1中的平面ABC平面BCC1B1、所以ao平面BCC1B1。如果為

6、B1(1的中點(diǎn)O1，O作為原點(diǎn)，x、y、z軸的正向創(chuàng)建空間正交坐標(biāo)系，請(qǐng)輸入B (1，0，0)，D (-1，1，0)，A1(因此=(1，2，-)，=(-1，2，)，=(-2，1，0)。因?yàn)? (-1) 22 (-)=0。=1 (-2) 21 (-) 0=0。所以是ab1，BA1，AB1，BD。另外，由于ba1 BD=b，AB1平面a1 BD。反思和領(lǐng)悟是用坐標(biāo)法證明波前垂直的方法和程序。方法1: (1)建立空間直角座標(biāo)系統(tǒng)。(2)以坐標(biāo)顯示善意方向矢量。(3)查找平面內(nèi)相交的兩條直線，并用坐標(biāo)表示方向矢量。(4)分別計(jì)算兩組矢量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為零。方法2: (1)建立空間笛卡爾坐標(biāo)系。(

7、2)以坐標(biāo)顯示善意方向矢量。(3)求平面的法向矢量。(4)判斷善意方向向量與平面的法線向量平行。追蹤訓(xùn)練2插圖，方塊ABCD-A1B1C1D1中AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)。驗(yàn)證：直PB1平面PAC。證明包括C(1，0，0)、A(0，1，0)、P(0，0，1)、B1(1，1，2)、=(1)=(1，1，1) (1，0，-1)=0，所以，PB1 PC。另外，=(1，1，1) (0，1，-1)=0，所以，PB1 pa。另外，pa類型3證明面是垂直的范例3在三棱柱ABC-A1B1C1上，AA1平面ABC、AB-BC、AB=BC=2、AA1=1、E檢查平面AE C1線AB、BC、B1B

8、以兩個(gè)垂直、點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BA、BC和BB1牙齒的線為X、Y和Z軸設(shè)置空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：A (2，0，0)，A1因此，=(0，0，1)、=(-2，2，0)、=(-2，2，1)、=(-2，0，)。將平面AA1C1C的法線向量設(shè)定為n1=(x，y，z)。也就是說由于創(chuàng)建X=1，y=1，因此n1=(1，1，0)。將平面AEC1的法線向量設(shè)定為N2=(a，b，c)。也就是說C=4，a=1，b=-1，因此N2=(1，-1，4)。因?yàn)镹1 N2=11 1 (-1) 04=0。所以n1N2。所以平面AEC1平面AA1C1C。反思和領(lǐng)悟是證明面是垂直的兩種茄子方法。(1)一般方法：將面垂直的判定定

9、理轉(zhuǎn)換為線垂直、線垂直，從而證明。(2)矢量方法：證明兩個(gè)平面的法向矢量徐璐垂直。追蹤訓(xùn)練3四面體ABCD中，ab-平面BCD、BC=CD、BCD=90、ADb=30、e、f分別是AC、ad的中點(diǎn)。設(shè)定以B為原點(diǎn)顯示的空間直角座標(biāo)系統(tǒng)，并設(shè)定A (0，0，A)，可輕松取得B (0，0，0)、C，D (0，A，0)、E，F(xiàn)(0，0)。因此=(0，0，-a)，=。將平面ABC的法線向量設(shè)定為n1=(x1，y1，Z1)。然后采用x1=1。n1=(1，-1，0)是平面ABC的法向矢量。將N2=(x2，y2，z2)設(shè)定為平面BEF的法線向量。同樣，可以得到N2=(1，1，-)。n1 N2=(1，-1，0

10、) (1，1，-)=0，平面BEF平面ABC。1.以下命題中的正確命題數(shù)為()如果n1，N2分別是平面，的法向量，那么N1 N2；如果n1，N2分別是平面，的法向量，則N1 N2=0；如果n牙齒平面的法向矢量，且a平行于平面，則na=0；如果兩個(gè)平面的法線向量不垂直，則兩個(gè)平面不垂直。A.1 B.2 C.3 D.4答案c分析中平面alpha，beta可以平行，也可以一致，結(jié)合平面法向矢量的概念，容易看出準(zhǔn)確。2.如果已知兩個(gè)善意方向向量為a，b，則在以下選項(xiàng)中，可以使兩條直線垂直的是()A.a=(1，0，0)，b=(-3，0，0)B.a=(0，1，0)，b=(1，0，1)C.a=(0，1，-1

11、)，b=(0，-1，1)D.a=(1，0，0)，b=(-1，0，0)答案b因?yàn)榉治鰹閍=(0，1，0)，b=(1，0，1)，所以ab=01 10 01=0，所以選擇了a-b。3.當(dāng)直線l的方向向量為a=(1，0，2)，平面的法線向量為=(-2，0，-4)時(shí)()a . lb . lc . ld . l和傾斜答案b分析a，l。4.平面的法線向量之一為m=(1，2，0)，平面的法線向量之一為n=(2，-1，0)，則平面與平面的位置關(guān)系為()A.平行b .相交但不垂直c .垂直d .不確定答案c分析(1，2，0) (2，-1，0)=0，兩個(gè)法向矢量是垂直的，因此兩個(gè)平面是垂直的。5.平面與平面垂直，平

12、面與平面的法線向量分別為=(-1，0，5)、=(t，5，1)，則t的值為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案5分析平面與平面垂直，平面的法向矢量與平面的法向矢量垂直；87 =0，即(-1) t 05 51=0，t=5?？臻g垂直關(guān)系求解戰(zhàn)略幾何學(xué)向量法直線垂直(1)證明兩條直線的角度為90。(2)如果直線垂直于平面，則牙齒直線垂直于平面內(nèi)的所有直線兩個(gè)善意方向矢量徐璐垂直線面垂直對(duì)于線l、m、n、平面(1)與lm，ln，m ，n ，m牙齒n相交時(shí)l。(2)l-m，m-，l-(1)證明善意方向向量分別與平面內(nèi)相交的兩個(gè)善意方向向量垂直。(2)證明善意方向向量和平面的法線向量是平行

13、向量面垂直直線L，M，平面，beta(1)l，l ，。(2)l，m，lm時(shí)。(3)平面和相交的二面角垂直時(shí)，證明兩個(gè)平面的法線向量徐璐垂直40分鐘的課作業(yè)一、選擇題1.線L1、L2的方向向量分別為a=(-2，2，1)、b=(3，-2，m)、L1-L2時(shí)，m為()A.-2 B.2 C.6 D.10答案d分析因AB而導(dǎo)致AB=0。即-23 2 (-2) m=0，m=10。2.平面，的法線向量分別為a=(-1，2，4)、b=(x，-1，-2)，如果有-8600；，則x的值為()A.10b-10c.d.-答案b分析由引起，法線向量也徐璐垂直。所以ab=(-1，2，4) (x，-1，-2)=0，理解x=

14、-10。3.已知點(diǎn)A(0，1，0)、b (-1，0，-1)、C(2，1，1)、P(x，0，z)、paA.(1，0，-2) B. (1，0，2) C. (-1，0，2) D. (2，0，-1)答案c解決方法是=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，因?yàn)閜a-平面ABC=(2，0，1) (x，-1，z)=0，2x z=0，因?yàn)榈玫搅寺?lián)立 x=-1，z=2，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(-1，0，2)。4.在立方體ABCD-A1B1C1D1上，如果e是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1A答案b分析設(shè)置空間正交坐標(biāo)系，如圖所示。正方形邊的長(zhǎng)度為1、A

15、(0，1，0)、B(1，1，0)、C(1，0，0)、D(0，0，0)=，=(1，-1，0)、=(-1，-1，0)，=(0，-1，-1)，=(0，0，-1)，=(-1)(-)(-1)01=0，ceBD。5.平面，如果貝塔垂直，則牙齒兩個(gè)平面的法線向量可能是()A.n1=(1，2，1)，N2=(-3，1，1)B.n1=(1，1，2)，N2=(-2，1，1)C.n1=(1，1，1)，N2=(-1，2，1)D.n1=(1，2，1)，N2=(0，-2，-2)答案a分析1 (-3) 21 11=0，n1 N2=0，因此a6.如果2平面，的法線向量分別為=(3，-1，z)、v=(-2，-y，1)、-，則y z的值為()A.-3b.6 C.-6d。-12答案b分析v=0-6y z=0，即y z=6。二、填空7.在金字塔s-aBC中， sab= sac= ACB=90，AC=2，BC=，sb=，sb=，反面SC是否與BC垂直答案是根據(jù)分析，將A作為原點(diǎn)，將AB、AS分別設(shè)置為Y軸，將Z軸設(shè)置為空間正交坐標(biāo)系。Ac=2、BC=、sb=、B (0，0)、s (0，0，2)、c、=，=。因?yàn)闉榱?，所以scBC。8.=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)。結(jié)論情況AP廣告；平面ABCD的法向矢量。此處正確的是