1、, 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第二十二講 定積分的概念,教案制作：易學(xué)軍,主講教師：易學(xué)軍,第五章 一元函數(shù)的積分,本章學(xué)習(xí)要求： 熟悉不定積分和定積分的概念、性質(zhì)、基本運(yùn)算公式. 熟悉不定積分基本運(yùn)算公式.熟練掌握不定積分和定積分的換 元法和分部積分法.掌握簡單的有理函數(shù)積分的部分分式法. 了解利用建立遞推關(guān)系式求積分的方法. 理解積分上限函數(shù)的概念、求導(dǎo)定理及其與原函數(shù)的關(guān)系. 熟悉牛頓萊布尼茲公式. 理解廣義積分的概念.掌握判別廣義積分收斂的比較判別法. 能熟練運(yùn)用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算廣義積分。 掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練運(yùn)用定積分 表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理

2、量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面 的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的 弧長、變力作功、液體的壓力等。 能利用定積分定義式計(jì)算一些極限。,第五章 一元函數(shù)的積分,第一節(jié) 定積分的概念和性質(zhì),二. 定積分的定義,一. 引例,三. 定積分的性質(zhì),曲邊梯形：三邊為直線，其中有兩邊相互 平行且與第三邊垂直（底邊），第四邊是一條 曲線，它與垂直于底邊的直線至多有一個(gè)交點(diǎn) （這里不排除某直線縮成一點(diǎn)）.,1. 曲邊梯形,引例1. 曲邊梯形的面積,2. 求曲邊梯形的面積,首先，我們利用以下的的做法： 分割近似求和 得到曲邊梯形的近似值，然后，引入極限過程， 求出曲邊梯形的精確值.,任意引入分點(diǎn)

3、,稱為區(qū)間的一個(gè)分法 T,對每個(gè)小曲邊梯形均作上述的代替,引例2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,0,a,b,t,ti,ti1,已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v=v(t). 求在時(shí)間段a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程s.,勻速運(yùn)動(dòng)： 距離速度時(shí)間,(1)分割：,任取分點(diǎn):,a = t0 t1 ti1 t i tn=b,分割a, b得: ti1, ti (i=1, 2, n),且記：ti = ti ti1,(2) 近似：,任取 i ti1, ti ,(3)求和:,(4) 取極限：,1in,i,作,二. 定積分的定義,任意引入分點(diǎn),定積分符號(hào)：,關(guān)于定積分定義的幾點(diǎn)說明,由極限保號(hào)性：,面積：,例1.,例2.,顯然,定理 1,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三. 定積分的性質(zhì),規(guī)定,又有,下面的討論假設(shè)所列積分均存在.,證,由定積分定義及極限運(yùn)算性質(zhì)：,證,(小于零的情形類似. ),由極限的保號(hào)性立即可知.,證,/,證,證,所以,x,0,y,M,m,x,0,y,x,0,y,a,b,a,b,y=f (x