1、1，第10章，兩個變量之間關(guān)系的分析和回歸以及相關(guān)的線性回歸和相關(guān)，2。這個問題引出了對兩個變量之間關(guān)系的研究，例如，糖尿病患者的血糖和胰島素水平之間的關(guān)系是什么？分析數(shù)據(jù)包括每個患者的兩個變量值(血糖和胰島素水平)，稱為雙變量數(shù)據(jù)，記錄為：(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn)。目的：研究x和y的定量關(guān)系：簡單線性回歸和簡單線性相關(guān)。第一節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第

2、四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸第四節(jié)簡單線性回歸起初，高爾頓把后代的身高趨于種族穩(wěn)定的自然現(xiàn)象稱為“回歸平均”。目前，“回歸”已成為一個統(tǒng)計術(shù)語，用來表示變量之間的某種數(shù)量依賴關(guān)系，并衍生出“回歸方程”和“回歸系數(shù)”等統(tǒng)計概念。例如，研究糖尿病患者的血糖和胰島素水平之間的關(guān)系，以及研究兒童的年齡和體重之間的關(guān)系。1.線性回歸的概念：如果將一個變量X作為自變量，那么研究另一個變量y(因變量)對自變量X的數(shù)量依賴性就是線性回歸。特征：線性回歸是一種統(tǒng)計關(guān)系，不同于一般的X和y的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，例7，例9-1在地方病研究所對8名正常兒童的尿肌酐含量(mmol/2

3、4h)進(jìn)行了調(diào)查，如表9-1所示。估計尿肌酐含量(y)與其年齡(x)的回歸方程。表9-1、8、8正常兒童的年齡和尿肌酐含量(mmol/24h)，102、9、10。在描述兒童年齡與尿肌酐含量之間的定量相關(guān)性時，年齡被稱為自變量，用X表示；尿肌酐含量稱為因變量，用y，11表示，從圖9-1可以看出，尿肌酐含量y隨年齡x的增加而增加，并呈直線趨勢，但并非所有的八個離散點都在一條直線上，這不同于兩個變量之間嚴(yán)格的線性函數(shù)關(guān)系，稱為線性回歸，其方程稱為線性回歸方程，從而區(qū)別于嚴(yán)格的線性方程。二元線性回歸是回歸分析中最基本、最簡單的一種，因此也稱為簡單回歸。線性回歸方程的一般表達(dá)式是，它是每個x處y的總體平

4、均值的估計，13，1a是y軸上回歸線的截距。0表示直線和縱軸的交點在原點的上方；A 0，交點低于原點；A=0，回歸線穿過原點。a=0，a 0，a 0，x，y，14，B0，直線從左下角到右上角，y隨著x的增加而增加；B0，直線從左上角到右下角，y隨著x的增加而減?。籅=0表示直線平行于X軸，X和Y之間沒有直線關(guān)系。b是回歸系數(shù)，即直線的斜率。*b的統(tǒng)計顯著性是：x每增加(或減少)一個單位，y、B0、B0、b=0、15、102、16、17改變的平均單位數(shù)。2.線性回歸方程的解，殘差或剩余值，即假設(shè)回歸線上測量值y和估計值之間的縱向距離。事實上，求解A和B就是“合理地”找到一條最能代表數(shù)據(jù)點分布趨勢

5、的直線。最小平方和原則是確保每個測點與直線之間縱向距離的最小平方和。(x，y)，(18)，(19)，(20)，實施例9-1在當(dāng)?shù)丶膊⊙芯克{(diào)查了8名正常兒童的尿肌酐含量(mmol/24h)，如表9-1所示。估計尿肌酐含量(y)與其年齡(x)的回歸方程。21，表9-1，8名正常兒童的年齡(歲)和尿肌酐含量(mmol/24h)，22，問題解決步驟，23，24，25，該直線必須通過點(，)，并在截距a處與縱軸相交。如果散點圖未通過坐標(biāo)系原點，則可將易于讀取的x值代入回歸方程、102、26、27、3。線性回歸中的統(tǒng)計推斷，28。(1)回歸方程的假設(shè)檢驗，建立樣本線性回歸方程，只完成了統(tǒng)計分析中兩個變量

6、之間關(guān)系的統(tǒng)計描述，研究者還必須回答它所來源的整體的線性回歸關(guān)系是否真的存在，即它是否為整體而存在？102，29，30，31，1方差分析，102，32，(x，Y)，33，數(shù)理統(tǒng)計可以證明：34，上述公式是用符號表示的，其中，35，36，上述三個平方之和，每個都有其相應(yīng)的自由度，并有以下，38，其中：39，2。測試40，實施例9-2通過檢查實施例9-1的數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程有效嗎？(1)方差分析，41，42，表9-2方差分析，列出的方差分析表見表9-2。43，(2)t檢驗，44，注意：45，(2)總體回歸系數(shù)的置信區(qū)間。利用上述回歸系數(shù)的t檢驗，我們可以得到1個46的雙邊置信區(qū)間。實施例9-3

7、根據(jù)在實施例9-1中獲得的b=0.1392估計總回歸系數(shù)的雙邊95%置信區(qū)間。47，(0.1392-2.4470.0304，0.1392 2.4470.0304)=(0.0648，0.2136)，48，(3)回歸方程的估計和預(yù)測，49，(9-15)，(9)兩條虛曲線的個別Y值的預(yù)測區(qū)間較寬。兩者中間窄，兩端寬；它們在X=處最窄。52，實施例9-4當(dāng)X0=12時，使用在實施例9-1中獲得的線性回歸方程來計算相應(yīng)個體值的95%置信區(qū)間和95%預(yù)測區(qū)間。53，計算步驟，實例9-1和9-2已經(jīng)計算出，54，線性回歸匯總，56，確定系數(shù)，定義為回歸平方和與總平方和的比值，計算公式為：(9-23)，該值在

8、0和1之間且沒有單位，其數(shù)值反映，57，線性回歸的應(yīng)用條件，4。SPSS軟件實現(xiàn)，線性過程：用于單變量或多變量線性回歸分析，包括自變量的篩選。SPSS的操作和界面描述：P344 1)圖表、散點圖、簡單散點圖，2)分析、回歸、線性、例及SPSS過程，例10.1:醫(yī)生測量了21例肝癌患者的血清膽固醇(mmol/L)，肝癌患者的血清膽固醇與甘油三酯之間是否存在線性回歸關(guān)系？實例及SPSS過程、界面描述、界面描述、界面描述、界面描述、界面描述、界面描述、界面描述、界面描述、界面描述、SPSS分析結(jié)果、擬合過程中變量進(jìn)出模型的記錄、SPSS分析結(jié)果、擬合模型簡表、SPSS分析結(jié)果、回歸模型檢驗的方差分析

9、結(jié)果，74，第2節(jié)簡單線性相關(guān)，75，線性相關(guān)，也稱為簡單相關(guān)，用于二元正態(tài)分布數(shù)據(jù)。它的特性可以通過圖9-6中的散點圖直觀地說明。目的：研究兩個變量x和y的數(shù)量依賴(或相關(guān)性)。特征：統(tǒng)計關(guān)系，一，線性相關(guān)的概念，76，二，相關(guān)系數(shù)的含義和計算，1。顯著性：相關(guān)系數(shù)，也稱為皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)，用于解釋兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向。相關(guān)系數(shù)沒有單位，其值為-1 r 1。R的正值表示正相關(guān)，R的負(fù)值表示負(fù)相關(guān)，R的絕對值等于1表示完全相關(guān)，r=0表示零相關(guān)。102，77，78，2。計算：樣本相關(guān)系數(shù)的公式為(9-18)，79，由例9-1計算得出。根據(jù)公式(9-18)、實施例9-5至實

10、施例9-1的數(shù)據(jù)(見表9-1)，計算8名兒童的尿肌酐含量及其年齡。80，3。相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計推斷，(1)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗，(9-19)，81，9-6至9-5，檢查尿肌酐含量與年齡之間是否存在線性相關(guān)。82，測試步驟：在這個例子中，n=8，r=0.8818，根據(jù)公式(9-19)，83，(2)總體相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間，102，84，具體步驟如下，85，例如9-7，估計總體相關(guān)系數(shù)的95%置信區(qū)間。然后，根據(jù)公式(9-22)，z被逆變換，年齡和尿肌酐含量之間的總體相關(guān)系數(shù)的95%置信區(qū)間為(0.4678，0.9971)。86，IV .線性回歸和相關(guān)應(yīng)用的注意事項，87，1根據(jù)分析目的選擇變量和統(tǒng)計方法

11、。線性相關(guān)用于解釋兩個變量之間線性關(guān)系的方向和緊密程度。X和Y之間沒有主要或次要的區(qū)別；線性回歸進(jìn)一步用于定量描述因變量Y對自變量X的數(shù)值依賴性，其中因變量的確定主要取決于專業(yè)要求，容易精確測量的變量可以認(rèn)為是X，另一個隨機(jī)變量為Y，例如體表面積可以通過身高來估計。兩個變量的選擇必須結(jié)合專業(yè)背景，兩個不相關(guān)的現(xiàn)象不能勉強(qiáng)回歸或相關(guān)。88，89，2在相關(guān)和回歸分析之前，應(yīng)繪制散點圖。步驟1: (1)散點圖可以檢驗兩個變量是否有線性趨勢；(2)可以發(fā)現(xiàn)異常值。散點圖異常值的識別和處理應(yīng)從專業(yè)知識和現(xiàn)有數(shù)據(jù)兩個方面考慮。結(jié)果可能是現(xiàn)有回歸模型的假設(shè)誤差，需要改變模型形式，也可能是抽樣誤差導(dǎo)致的偶然結(jié)

12、果甚至疏忽誤差。必須仔細(xì)檢查原始數(shù)據(jù)，檢查其生產(chǎn)過程是否被認(rèn)為是過失誤差，或者是重復(fù)測量的抽樣誤差造成的偶然結(jié)果，以便仔細(xì)排除或采用其他估計方法。90，3數(shù)據(jù)，線性相關(guān)分析要求x和y服從二元正態(tài)分布；線性回歸要求每個x對應(yīng)的至少y服從正態(tài)分布，x可以是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也可以是可以精確測量和嚴(yán)格控制的非隨機(jī)變量；*對于二元正態(tài)分布數(shù)據(jù)，可以根據(jù)研究目的選擇用X估計Y或用Y估計X。一般來說，這兩個回歸方程是不同的。91，反映兩個變量之間關(guān)系的密切程度或影響量的統(tǒng)計量應(yīng)該是回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)的絕對值，而不是假設(shè)檢驗的P值。P值越小，可以說變量之間的線性關(guān)系越合理，但不能說這種關(guān)系更密切或更“顯著”。此外，當(dāng)線性回歸用于預(yù)測時，其應(yīng)用范圍不應(yīng)超過樣本中自變量的取值范圍。4、結(jié)果說明和正確應(yīng)用。SPSS軟件實現(xiàn)，二元過程：用于兩個或多個變量之間的參數(shù)或非參數(shù)相關(guān)分析。SPSS的操作和界面描述：P332 1)圖形，散點圖，簡單圖，2)分析，相關(guān)和雙變量相關(guān)系數(shù)：皮爾遜，和SPSS過程，例10.2:一個醫(yī)生確定了2 1個肝癌。肝癌患者血清膽固醇和甘油三酯之間有線性關(guān)系嗎？實