1、,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第六講,2.3 隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量的分布函數(shù)； 概率密度； 幾種常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布,2.3.1 隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義1: 設(shè) X() 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)函數(shù) F(x) = PXx, - x 為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。,性質(zhì)：,(1).ab,總有F(a)F(b)(單調(diào)非減性)； (2).F(x)是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)； (3).xR，總有0F(x)1(有界性)，且,證明：僅證 (1)。,因 aXb = Xb -Xa， PaXb = PXb - PXa = F(b) - F(a) . 又，因 PaXb0， 故 F(a)F(b) .,注意：一個(gè)重要公式: PaXb=F

2、(b)-F(a). 即隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b上的概率可以通過(guò)分布函數(shù)來(lái)計(jì)算。,設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為 pk = P X=xk , k=1,2, X 的分布函數(shù)為,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),X 的分布函數(shù)為,例,故離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x) ，在 X=xk (k=1, 2, ) 處有跳躍值 pk=PX=xk，如下圖所示：,連續(xù)型隨機(jī)變量所有可能取值充滿(mǎn)若干個(gè)區(qū)間。 可用“概率分布函數(shù)” 和“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布。,2.3.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,概率密度函數(shù),定義1：若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x), 使隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間 (a, b 的概率可表示成,

3、則稱(chēng) X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為 X 的概率密 度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度。,這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f(x) 是否為概率密度函數(shù)的充 要條件。,概率密度函數(shù)的性質(zhì),f(x)與 x 軸所圍 面積等于1。,(3). 對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解：,X的概率密度函數(shù)f(x)在 x 這一點(diǎn)的值, 恰好是X 落在區(qū)間 x , x +x上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度x 之比的極限。 如果把概率理解為質(zhì)量，f (x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線(xiàn)密度。,注意：概率密度函數(shù) f (x)在點(diǎn) a 處取值，不是事件 X =a 的概率。但是，該值越大，X 在 a 點(diǎn)附近取值的概率越大。,若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：,表示隨機(jī)變量 X 取值于(

4、x , x + x上的概率近似等于 f (x ) x 。,f (x ) x 在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與 pk=PX=xk 在離散型隨機(jī)變量中所起的作用類(lèi)似。,(4). 約定：連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為 0.,即：,因?yàn)椋?由此得，, 對(duì)連續(xù)型 隨機(jī)變量 X, 有, 由P(X=a)=0， 可推出,而 X=a 并非不可能事件,可見(jiàn)：,由P(A)=0, 不能推出 A=；,并非必然事件。,由 P(B)=1, 不能推出 B=。,分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的關(guān)系,2.3.3 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。,正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯

5、(Gauss)給出并推廣的一種分布（高斯分布）。,1. 正態(tài)分布,紅色曲線(xiàn)近似于正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)。,I. 正態(tài)分布的定義,定義：若隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為,記作,f (x)所確定的曲線(xiàn)叫作正態(tài)曲線(xiàn)。,(Normal),其中和都是常數(shù)，任意，0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布。,II. 正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),特點(diǎn)“兩頭低，中間高，左右對(duì)稱(chēng)”。,關(guān)于X=對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線(xiàn),并在 x=處達(dá)到最大值,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),決定了圖形的中心位置, 決定了圖形峰的陡峭程度。,這說(shuō)明：曲線(xiàn) f(x) 向左右伸展時(shí)，越來(lái)越貼近 x 軸。即 f (x) 以 x 軸為漸近線(xiàn)。,當(dāng) x 時(shí)，f(x) 0。,求

6、導(dǎo)的方法可以證明：,為f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,x = ,III. 正態(tài)分布 的分布函數(shù),IV. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,稱(chēng) N(0, 1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 來(lái)表示。(附錄),依據(jù)？,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè) 一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。,定理1：,附錄（P289）附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。,V. 正態(tài)分布表,表中給出的是 x 0時(shí)，(x)的取值;,若 XN(0, 1),服從N(0,1),解: 設(shè)車(chē)門(mén)高度為 h

7、，按設(shè)計(jì)要求,P(X h)0.01，或 P(X h) 0.99，,求滿(mǎn)足上式的最小的 h。,例1：公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年男性與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的。設(shè)某地區(qū)成年男性身高 (單位: cm) XN(170, 7.692),問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定?,因?yàn)閄N(170,7.692),求滿(mǎn)足 P(X h) 0.99 的最小 h。,故，當(dāng)汽車(chē)門(mén)高度為188厘米時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01。,若隨機(jī)變量 X 的概率密度為：,則稱(chēng) X 服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：,X Ua, b,2. 均勻分布 (Uniform),(注: 也記作 X U(a, b) )。,若X U

8、a, b，則對(duì)于滿(mǎn)足 acdb 的 c 和 d，總有,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。,定義：若隨機(jī)變量 X 具有概率密度,3. 指數(shù)分布,則稱(chēng) X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記成 X E()。,例2：設(shè)某電子管的使用壽命X(單位：小時(shí))服從參數(shù)=0.0002的指數(shù)分布，求電子管使用壽命超過(guò)3000小時(shí)的概率。,解：,2.3.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。,由上式，得：在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)，有,回憶：若X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，f (x)是X 的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)是分布函數(shù)，則對(duì)任意xR，總有,求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),解：,求 F(x) .,對(duì) x -1，有 F(x) = 0；,