1、2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,第九章,應(yīng)用,一元函數(shù) y = f (x) 的微分,近似計(jì)算,估計(jì)誤差,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,本節(jié)內(nèi)容:,一、全微分的定義,全 微 分,二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,一、全微分的定義,定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，,稱為函數(shù),在點(diǎn) (x, y) 的全微分, 記作,若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù),f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微，,機(jī)動(dòng) 目錄

2、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,處全增量,則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:,(1) 函數(shù)可微,函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微,由微分定義 :,得,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)可微,即,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,定理1(必要條件),若函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù),同樣可證,證: 由全增量公式,必存在,且有,得到對(duì) x 的偏增量（全增量的特例）,因此有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8

3、/3,高等數(shù)學(xué)課件,例,易知,但,因此,函數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !,即:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,鼠標(biāo)點(diǎn)擊圖片可查看 三維圖形！,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,定理2 (充分條件),證：,若函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,所以函數(shù),在點(diǎn),可微.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,注意到, 故有,0,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,推廣:,類(lèi)似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.,例如, 三元函數(shù),習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記

4、作,故有下述疊加原理,稱為偏微分.,的全微分為,于是,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,例1. 計(jì)算函數(shù),在點(diǎn) (2,1) 處的全微分.,解:,例2. 計(jì)算函數(shù),的全微分.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,可知當(dāng),二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,1. 近似計(jì)算,由全微分定義,較小時(shí),及,有近似等式:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(可用于近似計(jì)算; 誤差分析),(可用于近似計(jì)算),2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,半徑由 20cm 增大,解: 已知,即受壓后圓柱體體積減少了,例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20

5、.05cm ,則,高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,求此圓柱體,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,例4.計(jì)算,的近似值.,解: 設(shè),則,取,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,分別表示 x , y , z 的絕對(duì)誤差界,2. 誤差估計(jì),利用,令,z 的絕對(duì)誤差界約為,z 的相對(duì)誤差界約為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,特別注意,類(lèi)似可以推廣到三元及三元以上的情形.,乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/

6、3,高等數(shù)學(xué)課件,例5. 利用公式,求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.,解：,故絕對(duì)誤差約為,又,所以 S 的相對(duì)誤差約為,計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,內(nèi)容小結(jié),1. 微分定義:,2. 重要關(guān)系:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,3. 微分應(yīng)用, 近似計(jì)算, 估計(jì)誤差,絕對(duì)誤差,相對(duì)誤差,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 一階全微分形式不變性,不論 u , v 是自變量還是因變量,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,思考與練習(xí),函數(shù),在,可微的充分條件是( ),的某鄰域內(nèi)存在 ;,時(shí)是無(wú)窮小量 ;,時(shí)是無(wú)窮小量 .,1. 選擇題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,2. 設(shè),解:,利用輪換對(duì)稱性 , 可得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,注意: x , y , z 具有 輪換對(duì)稱性,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,在點(diǎn) (0,0) 可微 .,補(bǔ)充題,在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證: 1),因,故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,證明函數(shù),所以,2020/8/3,高等數(shù)學(xué)課件,同理,極限不存在 ,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ;,同理 ,在點(diǎn)(0,