1、第六章 簡單的優(yōu)化模型,6.1 存貯模型 6.2 生豬的出售時機(jī) 6.3 森林救火 6.4 最優(yōu)價格 6.6 消費(fèi)者的選擇,現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題,靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)),建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù),求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法,靜 態(tài) 優(yōu) 化 模 型,工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產(chǎn)之用,車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之需,商店成批購進(jìn)各種商品，放在貨柜里以備零售,6.1 存貯模型,水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電,貯存量過大，貯存費(fèi)用太高,貯存量太小， 一次性訂購費(fèi)用增加，或不能及時滿足需求,本節(jié)討論的存貯模型,不允許缺貨模

2、型,允許缺貨模型,問 題,配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè) 備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費(fèi)。該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。,已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi) 每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。,要 求,不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。,1. 不允許缺貨的存貯模型,問題分析與思考,每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。,日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。,10天生產(chǎn)一次，每次1

3、000件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計9500元。,50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計127500元。,平均每天費(fèi)用950元,平均每天費(fèi)用2550元,10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎?,每天費(fèi)用5000元,這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。,顯然不能用一個周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值,周期短，產(chǎn)量小,周期長，產(chǎn)量大,問題分析與思考,模 型 假 設(shè),1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；,2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；,3. T天生產(chǎn)

4、一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量 為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；,建 模 目 的,設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。,4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。,模 型 建 立,貯存量表示為時間的函數(shù) q(t),t=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r遞減，q(T)=0.,一周期 總費(fèi)用,每天總費(fèi)用平均 值（目標(biāo)函數(shù)）,離散問題連續(xù)化,一周期貯存費(fèi)為,A=QT/2,模型求解,求 T 使,模型分析,模型應(yīng)用,c1=5000, c2=1，r=100,回答問題,經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次訂貨費(fèi) c1,每天

5、每件貯存費(fèi) c2 ，,用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形,不允許缺貨的存貯模型,問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？,T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到 零時，Q件立即到貨。,2. 允許缺貨的存貯模型,A,B,當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失,原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨),現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足,一周期貯存費(fèi),一周期缺貨費(fèi),周期T, t=T1貯存量降到零,一周期總費(fèi)用,每天總費(fèi)用 平均值 （目標(biāo)函數(shù)）,一周期總費(fèi)用,求 T ,Q 使,為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T , Q記作Q,不允許缺

6、貨模型,記,允許缺貨模型,允許缺貨模型,注意：缺貨需補(bǔ)足,Q每周期初的存貯量,每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）,Q不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量),6.2 生豬的出售時機(jī),飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。,問題,市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。,如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。,分析,投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機(jī)，使利潤最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利潤20元,建模及求解,生豬體重 w=80+rt,出售價格 p=8-gt,銷售收入 R=p

7、w,資金投入 C=4t,利潤 Q=R-C=pw -C,估計r=2，,若當(dāng)前出售，利潤為808=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 640,g=0.1,敏感性分析,研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響,設(shè)g=0.1不變,t 對r 的（相對）敏感度,生豬每天體重增加量r 增加1%，出售時間推遲3%。,敏感性分析,研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響,設(shè)r=2不變,t 對g的（相對）敏感度,生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。,強(qiáng)健性分析,保留生豬直到利潤的增值等于每天的費(fèi)用時出售,由 S(t,r)=3,建議過一周后(t=7)重新估計 , 再作計算。,研究 r, g不

8、是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響,w=80+rt w = w(t),p=8-gt p =p(t),若 (10%), 則 （30%）,6.3 森林救火,森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。 隊員多，森林損失小，救援費(fèi)用大； 隊員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。 綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊員數(shù)量。,問題分析,問題,記隊員人數(shù)x, 失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 時刻t森林燒毀面積B(t).,損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定.,救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定.,存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小,關(guān)鍵是對B(t)作出合理

9、的簡化假設(shè).,問題分析,失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 畫出時刻 t 森林燒毀面積B(t)的大致圖形,分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.,模型假設(shè),3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）,1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）,2）t1tt2, 降為-x (為隊員的平均滅火速度）,4）每個隊員的單位時間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用c3,假設(shè)1）的解釋,火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用,模型求解,求 x使 C(x)最小,

10、結(jié)果解釋, / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3已知, t1可估計,c2 x,c1, t1, x,c3 , x ,結(jié)果解釋,c1燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個隊員單位時間滅火費(fèi), c3每個隊員一次性費(fèi)用, t1開始救火時刻, 火勢蔓延速度, 每個隊員平均滅火速度.,為什么?, ,可設(shè)置一系列數(shù)值,由模型決定隊員數(shù)量x,6.4 最優(yōu)價格,問題,根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大,假設(shè),1）產(chǎn)量等于銷量，記作 x,2）收入與銷量 x 成正比，系數(shù) p 即價格,3）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù) q

11、即成本,4）銷量 x 依賴于價格 p, x(p)是減函數(shù),建模與求解,收入,支出,利潤,進(jìn)一步設(shè),求p使U(p)最大,使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格 p*滿足,最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達(dá)到,建模與求解,結(jié)果解釋,q / 2 成本的一半,b 價格上升1單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度）,a 絕對需求( p很小時的需求),b p*,a p* ,思考：如何得到參數(shù)a, b?,6.6 消費(fèi)者的選擇,問題,消費(fèi)者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。,設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消費(fèi)者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作 U(q1,q2)=c,U(q1,q2) 效用函數(shù),已知甲乙價格 p1,p2, 有錢s，試分配s,購買甲乙數(shù)量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.,模型及 求解,已知價格 p1,p2,錢 s, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大,幾何解釋,直線MN:,最優(yōu)解Q: MN與 l2切點,斜率,結(jié)果解釋,邊際效用,消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達(dá)到。,效用函數(shù)U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條件,A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸,解釋 B