1、第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),廣東工業(yè)大學(xué) 李曉端 研制,高等教育出版社 高等教育電子音像出版社 出版,3-0 第三章教學(xué)基本要求,3-1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律,3-2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律,第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),教學(xué)基本要求,一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度等概念.,二、掌握力對固定轉(zhuǎn)軸的力矩的計(jì)算方法，了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概 念 (72學(xué)時(shí)不要求用積分計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量) .,三、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和剛體服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.,四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律.,五、理解角動(dòng)量的概念, 理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律.,七、能綜合應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定

2、律及質(zhì)點(diǎn)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡單動(dòng)力學(xué)問題.,六、會(huì)計(jì)算力矩的功 (72學(xué)時(shí)只限于恒定力矩的功) 、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和對軸的角動(dòng)量.,八、能綜合應(yīng)用守恒定律求解質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡單動(dòng)力學(xué)問題. 明確選擇分析解決質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)力學(xué)問題規(guī)律時(shí)的優(yōu)先考慮順序.,3-1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律,預(yù)習(xí)要點(diǎn) 注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法. 閱讀附錄1中矢量乘法. 力對轉(zhuǎn)軸的力矩如何計(jì)算? 領(lǐng)會(huì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理的意義. 注意區(qū)分平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的計(jì)算式. 注意力矩的功的計(jì)算方法. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義是什么? 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪些因素有關(guān)? 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表

3、達(dá)式如何? 注意它的應(yīng)用方法.,一 剛體及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng),剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）.,剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) .,平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同. 轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng).,轉(zhuǎn)動(dòng)分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng). 轉(zhuǎn)軸不動(dòng), 剛體繞轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)叫剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；垂直于轉(zhuǎn)軸的平面叫轉(zhuǎn)動(dòng)平面.,二 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量,角位移,角坐標(biāo),角速度,角加速度,定軸(Oz軸)條件下，由Oz軸正向俯視，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的 取正，順時(shí)針取負(fù).,三 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩和力矩的功,( :力臂),剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn), O為軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的

4、交點(diǎn)，力 作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn) P 的位矢.,對轉(zhuǎn)軸z的力矩,1 力矩,力矩的功,2 力矩作功,四 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,1 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,剛體內(nèi)部質(zhì)量為 的質(zhì)量元的速度為,動(dòng)能為,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總能量（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）,定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量.,2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,單位：kg m2（千克米2）.,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能計(jì)算式：,對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元dm，其到軸的距離為r，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為 處的質(zhì)量元,求質(zhì)量為m、長為l的均勻細(xì)長棒，對通過棒中心和過端點(diǎn)并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)

5、垂直于棒,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量m、剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān).,3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例,五 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間無相對位移，質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力不作功，外力功為其力矩的功；并且剛體無移動(dòng)，動(dòng)能的變化只有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化.,由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理,合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.,得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,2. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能應(yīng)用 計(jì)算.,1. 如果剛體在運(yùn)動(dòng)過程中還有勢能的變化，可用質(zhì)點(diǎn)組的功能原理和機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律討論. 總之，剛體作為特殊的質(zhì)點(diǎn)組，它服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.,六 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

6、的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,由動(dòng)能定理：,取微分形式：,兩邊除dt,由于,故得,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積.,七、牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用,如果在一個(gè)物體系中，有的物體作平動(dòng)，有的物體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，處理此問題仍然可以應(yīng)用隔離法. 但應(yīng)分清哪些物體作平動(dòng)，哪些物體作轉(zhuǎn)動(dòng). 把平動(dòng)物體隔離出來，按牛頓第二定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程；把定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體隔離出來，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程. 有時(shí)還需要利用質(zhì)點(diǎn)及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式補(bǔ)充方程，然后對這些方程綜合求解.,例:一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，滑輪可視為均質(zhì)圓盤， 質(zhì)量為m

7、，半徑為r，繩子不可伸長而且與滑輪之間無相對滑動(dòng).求物體加速度、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩子的張力.,受力圖如下，,設(shè),解:,得解,1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2之和.,例: 一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng). 某瞬時(shí)細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，桿與豎直軸的夾角為 . 設(shè)桿的質(zhì)量為 、桿長為 l，小球的質(zhì)量為 .,求： 1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能； 3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對軸的力矩.,解:,2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：,3）系統(tǒng)所受重力有桿的中立和小球的重力.,則系統(tǒng)所受重力對軸的力矩的

8、大小為：,3-2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律,預(yù)習(xí)要點(diǎn) 認(rèn)識質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的動(dòng)量矩的定義， 剛體對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩如何計(jì)算? 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的? 動(dòng)量矩守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么?,一 動(dòng)量矩,1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩,質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對原點(diǎn) O 的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的角動(dòng)量,大小,的方向符合右手法則.,單位 或,質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)O的動(dòng)量矩 在某坐標(biāo)軸Oz上的投影 稱為該質(zhì)點(diǎn)對軸Oz的動(dòng)量矩. 質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對過圓心O且運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸Oz的動(dòng)量矩：,或,又,故得,（取正號LZ與Oz同向，負(fù)號反向）,2 剛體的動(dòng)量矩,剛體作定

9、軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體對軸的動(dòng)量矩為其所有質(zhì)點(diǎn)對同一軸的動(dòng)量矩之和.,即,L為正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz負(fù)向.,對剛體組合系統(tǒng)，總動(dòng)量矩為各部分對同軸動(dòng)量矩之和.,二 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩定理,剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量的變化率.,將上式變形后積分,動(dòng)量矩定理: 作用在剛體上的沖量矩等于剛體動(dòng)量矩的增量.,由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,動(dòng)量矩守恒定律: 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)受到的合外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒.,三 動(dòng)量矩守恒定律,若 ，,花樣滑冰 跳水運(yùn)動(dòng)員跳水,1 對一般的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，若質(zhì)點(diǎn)系相對于某一定點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí)，則此質(zhì)點(diǎn)系相對于該定點(diǎn)的動(dòng)量矩始終保持不變.,2 動(dòng)量矩守恒定律與動(dòng)量守恒定律一樣,也是自然界的一條普遍規(guī)律.,（1）,解：,桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對軸無力矩；桌面及軸皆光滑，無摩擦力矩；軸對桿的反作用力過軸也無力矩.因此，球與桿在碰撞過程中，所受外力矩為零，在