1、二元一次方程的應(yīng)用【本講教育情報】1 .教育內(nèi)容：二元一次方程的應(yīng)用目標(biāo)1 .熟悉掌握列二元一次方程解應(yīng)用問題的一般步驟。2、能夠清楚表現(xiàn)解決實際問題的過程，說明解的合理性。3 .讓學(xué)生體會設(shè)置間接未知數(shù)的優(yōu)點，多解一個問題，從多方面學(xué)習(xí)思考問題。4 .培養(yǎng)學(xué)生從圖表中獲取信息的能力。二.重量、難點：1 .靈活掌握方程組解決問題的一般方法，分析問題，提高解決問題的能力。2 .根據(jù)實際問題條件建立二元一次方程組模型的方法三.知識要點1 .列方程解應(yīng)用問題的基本步驟和要求(1)審查：在審查問題、分析問題中知道什么，追求什么，整理各數(shù)量之間的關(guān)系。(2)設(shè)置未知數(shù)，一般要求什么設(shè)置什么，設(shè)置未知數(shù)必

2、須帶單位名稱。(3)列：找出兩個相等的關(guān)系，列舉方程式。(4)解：解這個二元一次方程式，求出未知數(shù)的值。(5)檢驗：檢驗所得結(jié)果的合理性。a:a必須持有單位。歸納為審查、設(shè)定、列、解、檢查、回答六個單詞2 .列方程解應(yīng)用問題的一般類型主要有：(1)行程問題：包括追究問題和邂逅問題在內(nèi)，幾乎等量的關(guān)系是，路程=速度時間(二)工程問題：一般分為兩類，一類是一般的工程問題，另一類是工作總量為一的工程問題?；镜牡攘筷P(guān)系是工作量=工作效率的工作時間(3)和差異問題：基本等量關(guān)系為，比較大量=比較少量多量，總量=倍數(shù)1倍量(四)航速問題；此類問題分為水下航行和風(fēng)中航行，基本關(guān)系式如下順流(風(fēng)):航速=靜

3、水(無風(fēng))中的速度水(風(fēng))速逆流(風(fēng)):航速=靜水(無風(fēng))中的速度-水(風(fēng))速(5)幾何問題、年齡問題、商品銷售問題等【典型例題】1 .根據(jù)圖表求解小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在用兩種方式在銀行共存2000元的錢。 一種是年利率為2.25%的教育存款，另一種是年利率為2.25%的一年定期存款，一年后取出2042.75元，這兩種存款各存了多少錢？ (利息所得稅=利息金額20%，教育儲蓄中沒有利息所得稅)分析：假設(shè)教育儲蓄存x元，一年定期存y元。 我們可以根據(jù)標(biāo)題來列表。解：設(shè)一年的教育儲蓄為x元，一年的定期儲蓄為y元理解：a :教育儲蓄的錢是1500元，一年定期的錢是500元解釋

4、：我們在解決有關(guān)行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時很難找到其等量關(guān)系。 此時，我們可以用圖表法分析包含在具體問題中的數(shù)量關(guān)系，主題中的相等關(guān)系浮現(xiàn)出來。例2 .下表為某周甲、乙兩種股票每天的收盤價有人這周持有幾股甲、乙兩種股票，按兩種股票每天的收盤價來計算(手續(xù)費、稅金不計)，那個人的賬戶上周二比星期一賺200元，星期三比星期二賺1300元，詢問那個人持有甲、乙各幾股分析：從表可知，星期二比星期一的甲股上升1股(12.5-12 )元，乙股上升1股(13.3-13.5 )元，星期三比星期二甲股上升1股(12.9-12.5 )元，乙股上升1股(13.9-13.5 )星期二的甲股利益星期二

5、的乙股利益=200星期三的甲股利益星期三的乙股利益=1300。解：假設(shè)某人有甲種株x株、乙種株y株、列方程式理解：a :其人有甲種株1000株、乙種株1500株。解釋：解決此類應(yīng)用問題的關(guān)鍵是： (1)從表頭理解對象，從表列獲得數(shù)據(jù)；(2)處理數(shù)據(jù)，求出隱含等量關(guān)系，求解方程式。例3 .用圖1所示的長方形和正方形的紙板做成側(cè)面和底面，做成圖2所示的立式和臥式兩種無蓋紙箱。 現(xiàn)在倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板，兩種紙箱各做幾張，正好庫存的紙板用完了嗎分析：正方形紙板總數(shù)1000，長方形紙板總數(shù)2000，可知未知量為立式紙箱個數(shù)和臥式紙箱個數(shù)。 并且，立式紙箱和臥式紙箱必須用一

6、定數(shù)量的正方形紙板和長方形紙板制作。 如果知道這兩個紙箱分別使用多少張正方形的紙板和長方形的紙板，就可以建立如下的等量關(guān)系。每個垂直托盤使用的正方形紙板數(shù)垂直托盤數(shù)水平托盤使用的正方形紙板數(shù)水平托盤數(shù)=正方形紙板的總數(shù)每個縱型托盤使用的長方形紙板數(shù)縱型托盤數(shù)橫型托盤使用的長方形紙板數(shù)橫型托盤數(shù)=長方形紙板的總數(shù)從圖形可以看出，每個立式紙箱使用1張正方形紙板和4張長方形紙板，每個臥式紙箱使用2張正方形紙板和3張長方形紙板。解：從問題中的等量關(guān)系可以得到如下圖表所示的關(guān)系。設(shè)立式用紙托盤為x個，橫式用紙托盤為y個理解：200和400都是自然數(shù)，這個解符合題意。a :立式托盤有200個，臥式托盤有4

7、00個，正好庫存的紙板用完了。2 .行程、工程問題：甲、乙兩人在400米的跑道上練習(xí)跑步，沿同一方向跑，他們每隔3分20秒相遇相對跑，他們每隔40秒相遇，要求甲、乙兩人的速度分析：同方向相遇時，快人比慢人多一圈相對跑相遇時，兩個人全部一起跑。 注意這個題目不能說誰的速度快，要分兩種情況回答問題。 (3分20秒=200秒)解：甲、乙兩人的速度分別為x米/秒、y米/秒。根據(jù)題名，得到。分別解這兩個方程式甲、乙兩人的速度分別為6米/秒和4米/秒或4米/秒和6米/秒。一所學(xué)校組織學(xué)生去100公里以外的某個夏令營的話，車只能坐一半，另一半不能走路。 先上車的人在路上的某個地方下車走路，而車子很快就會接回

8、先走的一半人。 眾所周知，步行一小時走4公里，車一小時走20公里(不論上下車時間)，大家下午5點同時到達(dá)，詢問什么時候出發(fā)。分析：我們從程序問題的三個基本量中尋找，發(fā)現(xiàn)速度是明確給出的，只能從程序和時間兩個量中找到等量關(guān)系，從題意中知道，先上車的一半人，后上車的一半人，上車的三個時間相同，根據(jù)時間建立方程式。 如圖所示展示課程形象，正確使用形象有助于分析問題，找到等量關(guān)系。解：據(jù)題意說，先上車的一半人的下車點距離起點x公里，這個下車點距離后上車的一半人的上車點y公里很容易理解：從起點到終點的時間出發(fā)時間是17-10=7.也就是說早上7點出發(fā)。a :要讓學(xué)生下午5點到達(dá)，必須早上7點出發(fā)。例6

9、.某工程預(yù)計在30天內(nèi)(含30天)完成。 既有甲、乙兩個工程隊，從這兩個工程隊的資質(zhì)材料可以看出，如果兩個隊合作24天剛剛完成，兩個隊合起來18天后，甲工程隊即使再單獨進(jìn)行10天，也只好完成了。 請聽我說(1)甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程需要幾天時間？(2)甲工程隊每天的施工費用為0.6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0.35萬元，你知道為了使該工程的施工費用最低，甲、乙兩隊分別需要多少天(同時施工的話合作)嗎？ 最低施工費用是幾萬元？分析：在解決本問題時，我們必須明確工作效率可以表現(xiàn)為時間的倒數(shù)。 也就是說，如果甲方完成這項工程需要x天，甲方每天完成這項工程，也就是說甲方的工作效率一樣，乙方

10、完成這項工程需要y天，就可以每天完成這項工程，根據(jù)問題前后兩次不同的施工情況列舉方程組。 在第二個問題上，既要訂正比較哪個單位的施工費用低，也要考慮在規(guī)定的時間內(nèi)完成工程。解： (1)甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程分別需要x天、y天。從問題的意義來看，情況如下：理解：(2)如甲方工程隊每日施工費用為0.6萬元，甲方單獨完成該工程需要施工費用400.6=24 (萬元)，乙方工程隊每日施工費用為0.35萬元，乙方單獨完成該工程需要施工費用0.3560=21 (萬元) 所需24萬元 21萬元，甲方施工費用高，工程按規(guī)定時間完成，施工費用最低，只需乙方工程隊施工30天，其佚預(yù)計工程甲方工程隊完成。根據(jù)

11、(1)，乙方工程隊在30天內(nèi)完成了工程，甲方工程隊需要工程(天)最低施工費用為0. 620 0. 3530=22.5 (萬元)。a:(1)甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程分別需要40天和60天；(2)為了使該工程的施工費用最低，甲、乙兩隊分別進(jìn)行20天和30天，最低施工費用為22.5萬元。3 .一問多解(間接未知數(shù))問題例7 .甲、乙兩廠、上個月，本來制定了生產(chǎn)機(jī)床90臺的修訂計劃，結(jié)果甲工廠完成了修訂計劃的112%，乙工廠完成了修訂計劃的110%，兩廠生產(chǎn)了100臺機(jī)床，上個月兩廠分別超量生產(chǎn)了多少臺機(jī)床。分析：我們可以采用兩種方法設(shè)定未知數(shù)。 也就是直接和間接的方法。 直接的方法是主題要求什

12、么是未知數(shù)。 本主題上個月甲工廠超量生產(chǎn)x臺，乙工廠超量生產(chǎn)y臺。 所謂間接的工夫，不是問什么，而是先設(shè)置中間未知數(shù)，求出這個中間未知數(shù)，利用它在問題中求出與未知數(shù)的聯(lián)系，通過求出所要求的未知數(shù)，能夠在問題中設(shè)置上個月的甲工廠原訂生產(chǎn)x臺、乙工廠原訂生產(chǎn)y臺。解法1 :直接下功夫上個月甲工廠超量生產(chǎn)x臺，乙工廠超量生產(chǎn)y臺的話，一共超過了100-90=10臺，甲工廠計劃生產(chǎn)的臺數(shù)是臺，乙工廠計劃生產(chǎn)的臺數(shù)是臺。根據(jù)標(biāo)題的意思，可以得到簡化：理解：a :上個月甲廠超產(chǎn)6臺，乙廠超產(chǎn)4臺。解法2 :間接設(shè)法上個月甲工廠原本計劃生產(chǎn)x臺，乙工廠原本計劃生產(chǎn)y臺。根據(jù)標(biāo)題的意思，可以得到簡化：理解：x

13、(112%-1)=5012%=6，y(110%-1)=4010%=4。a :上個月甲廠超產(chǎn)6臺，乙廠超產(chǎn)4臺。例8 .我市某學(xué)校原計劃向內(nèi)蒙某地區(qū)的學(xué)生捐贈3500本書，實際捐贈4125本，其中中學(xué)生捐贈原修訂版的120%，高中生捐贈原修訂版的115%，詢問中學(xué)生和高中生各捐贈多少本書。分析：間接地設(shè)定原修訂畫捐贈多少本書列舉方程式比直接設(shè)定這個問題容易。中學(xué)生原計劃捐贈x本書，高中學(xué)生原計劃捐贈y本書。從問題的意義來看，情況如下：可以解開a :初中學(xué)生比原訂本捐贈了400本書，高中學(xué)生比原訂本捐贈了225本書。4 .整數(shù)解問題例9 .某商品的價格是每件33元，某人身邊只有2元和5元兩種面額的

14、人民幣各買了幾張這種商品。 如果不需要找零錢，有多少種支付方法(指支付2元和5元的張數(shù))？ 哪種支付方式最少的張數(shù)？分析：這個問題可以用方程式的思想把這個問題變換成方程式來解。 我們先找出問題中的數(shù)量關(guān)系，然后再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)筑方程式。 然后，找出已知量和未知量的設(shè)定要素，求解方程組。 最后，通過比較與各解對應(yīng)的x y的值，就能夠知道哪個支付方式支付最少的張數(shù)。解：假設(shè)支付了2元的張數(shù)為x，支付了5元的張數(shù)為y，則x、y的可取值全部為自然數(shù)。從問題的意義上可以得出方程式：2x 5y=3385y個位的數(shù)量必須為0或5，2x個位的數(shù)量必須為3或8另外，因為2x是偶數(shù)，所以2x個位上的數(shù)為

15、8因此，這個方程式的解如下第一種支付方式是張數(shù)最少的a :支付方式有三種。 分別是4張2元和5張5元。支付9張2元和3張5元的14張2元和1張5元。 其中最初的支付方式是張數(shù)最少的。例10 .假期中，小明和媽媽乘火車到別的叔父家做客，火車慢慢開始，行駛了一會兒后，小明突然想到，火車全面加速后，自己乘坐的這列火車現(xiàn)在不知道以多快的速度行駛著20分鐘后，向車窗外看，里程碑上的數(shù)量剛好原來的兩位數(shù)交換了前后的位置。再20分鐘后，向車窗外看，里程碑的數(shù)量是三位數(shù)，剛剛看到的兩位數(shù)之間增加了一個0。 現(xiàn)在請自己考慮一下。 列車的速度到底是多少？ 他說：“好吧?！苯猓涸O(shè)媽媽第一次看到的里程碑上的兩位數(shù)十位以上的數(shù)為x，一位以上的數(shù)為y，第一次看到的里程碑上的數(shù)為10x y，20分鐘后看到的兩位數(shù)為10y x，而20分鐘后看到的三位數(shù)為100x y。標(biāo)題：從10y x-(10x y)=100x y-(10y x )開始，整理： y=6x。x、y是小于10的正整數(shù)，x=1，y=6。列車行駛20分鐘的路程為61-16=45 (公里)，列車的速度是(公里/小時)a :火車速度是135公里/小時。5 .雜題：例11 .一所中學(xué)新建了四層教學(xué)大樓，每層有八個教室，這座大樓共有四個門，