1、在第四章中，曲線可以分為用已知方程表示的規(guī)則曲線和用曲線擬合方法近似的不規(guī)則曲線。這些不規(guī)則曲線一般用分段多項(xiàng)式參數(shù)方程表示，從而形成一條光滑連續(xù)的曲線，稱為樣條曲線。本章主要討論參數(shù)樣條曲線的繪制方法。4.1概述，從衛(wèi)星軌道、導(dǎo)彈軌跡，到汽車和飛機(jī)的出現(xiàn)，到日常生活中的圖案和圖案設(shè)計(jì)，曲線的描述和繪制是必不可少的。所以可以說幾乎沒有任何設(shè)計(jì)圖沒有曲線。在我們遇到的各種曲線中，大概有兩種類型：一種是我們熟悉的，如圓、橢圓、雙曲線、正弦和余弦、概率分布、擺線螺旋等。所有這些曲線都可以用一個(gè)曲線方程來表示，這個(gè)方程叫做正則曲線。例如，圓的方程可以寫成x2y2=R2，等等。雖然有另一種曲線，但我們不

2、能給出精確描述整個(gè)曲線的方程。它們通常由一系列通過曲線擬合方法從實(shí)踐中測(cè)得的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)來近似，這種方法稱為不規(guī)則曲線。這些曲線通常用分段多項(xiàng)式參數(shù)方程表示，從而形成一條光滑連續(xù)的曲線，簡(jiǎn)稱樣條曲線。常用的參數(shù)樣條曲線包括拋物線樣條曲線、埃爾米特插值樣條曲線、貝塞爾樣條曲線和B樣條曲線。當(dāng)曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式確定后，剩下的問題是如何繪制這些曲線。繪制指定曲線函數(shù)的直接方法是使用許多短直線段來近似曲線。繪制曲線的平滑度和精確度取決于我們選擇的數(shù)據(jù)點(diǎn)的精確度和數(shù)量。點(diǎn)越多，直線段越短，連接的曲線越接近理想曲線。至于點(diǎn)數(shù)和直線的長(zhǎng)度，取決于我們對(duì)繪制曲線的精度和圖形輸出設(shè)備的精度要求，但我們對(duì)繪制曲線的精

3、度要求不能超過圖形輸出設(shè)備的實(shí)際精度。4.1.1規(guī)則曲線有三種坐標(biāo)表示。通常，平面曲線通常用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)或參數(shù)方程表示，如工程中常用的漸開線、擺線和正弦余弦曲線，它們都是用這三種坐標(biāo)表示的重要曲線。但是從計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算幾何的角度來看，用參數(shù)方程畫曲線更方便。事實(shí)上，在繪制任何平面曲線時(shí)，曲線方程都應(yīng)該用參數(shù)方程的形式來表示，即應(yīng)該得到曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)x和y的計(jì)算公式。然后計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)值，調(diào)用畫線函數(shù)或畫點(diǎn)函數(shù)保存曲線上的所有點(diǎn)，得到一條曲線。1笛卡爾坐標(biāo)曲線曲線的直角坐標(biāo)表示可以分為顯式的y=f(x)和隱式的f(x，y)=0。例如，y=sin (x)是顯式表達(dá)式，而x2 y2=1是隱式

4、表達(dá)式。不管是哪種表示，都必須轉(zhuǎn)換成參數(shù)坐標(biāo)表示，即x=x(t) y=y(t)，然后就可以開始繪制它的圖形了。曲線直角坐標(biāo)的顯式和隱式表示將在下面分別討論。(1)顯式將明確表示y=f(x)的曲線轉(zhuǎn)換為參數(shù)坐標(biāo)表示非常容易，即x=x y=f(x)，其中公式右側(cè)的x被視為參數(shù)變量。這兩個(gè)表達(dá)式是曲線y=f(x)的顯式參數(shù)坐標(biāo)表示。例如，正弦曲線y=sin(x)是一個(gè)直角坐標(biāo)，它明確表示它的參數(shù)坐標(biāo)表達(dá)式是x=x y=sin(x ),然后將公式右側(cè)的x作為參數(shù)變量。這樣，給定一個(gè)參數(shù)變量x值，就可以得到正弦曲線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)x和y值。然后一點(diǎn)一點(diǎn)畫一條正弦曲線。(2)隱式一般隱式曲線f(x，y)=0

5、很難轉(zhuǎn)化為參數(shù)坐標(biāo)表達(dá)式。例如，下面的隱式曲線4x 43 x 3 2Y2 2X 2(a x)/(ax)=0(a 0)尚未成功地表示為參數(shù)坐標(biāo)表達(dá)式，因此不可能用計(jì)算機(jī)繪制其圖形。然而，常用的重要曲線基本上可以用參數(shù)坐標(biāo)來表示。例如，星形線的直角坐標(biāo)表達(dá)式：x2/3y2/3=R2/3 (R標(biāo)準(zhǔn)數(shù))可以寫成參數(shù)坐標(biāo)，2極曲線對(duì)于任意極曲線=()，該曲線可以通過使用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)x=cos y=sin之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換為參數(shù)坐標(biāo)，該轉(zhuǎn)換關(guān)系表示為x=()(cos y=)(sin)。例如，重要曲線阿基米德螺線=a(法線數(shù))，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式x=cos y=sin，阿基米德螺線=a被代入上述兩

6、個(gè)公式，然后x=acos y=asin被獲得，從而將阿基米德螺線極坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)換為參數(shù)坐標(biāo)表示。曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)值可用阿基米德螺線參數(shù)坐標(biāo)表達(dá)式x=acos y=asin計(jì)算，然后用這些點(diǎn)的坐標(biāo)值調(diào)用繪圖函數(shù)繪制阿基米德螺線。3、參數(shù)坐標(biāo)曲線曲線的參數(shù)坐標(biāo)表達(dá)式一般為x=x(t) y=y(t)。例如，在彈道曲線x=v0tCossy=V0t sing T2/2(0t 2v 0 sin/g)中，V0和g是常數(shù)，t是參數(shù)變量。給定一個(gè)參數(shù)變量t，可以得到彈道曲線上一個(gè)點(diǎn)的x和y坐標(biāo)值。給定參數(shù)變量t的一系列值，可以獲得彈道曲線上一系列點(diǎn)的x和y坐標(biāo)值。利用x和y的坐標(biāo)值，可以通過繪圖功能繪制一系列點(diǎn)來

7、獲得軌跡曲線。對(duì)于一條參數(shù)曲線，我們不可能也沒有必要研究從到的整個(gè)參數(shù)t曲線，但我們往往只對(duì)某一部分感興趣。通常，我們通過對(duì)參數(shù)t進(jìn)行歸一化，使t在0，1的封閉區(qū)間內(nèi)發(fā)生變化，并將其寫成t0，1，然后研究這個(gè)區(qū)間內(nèi)的參數(shù)曲線。參數(shù)曲線的優(yōu)點(diǎn)在曲線的表示中，參數(shù)方程比顯式和隱式方程更有優(yōu)勢(shì)。(1)有更多的自由來控制曲線的形狀。例如，二維三次曲線明確表示為：y=ax3bx2cxd，其中只有四個(gè)系數(shù)可用于控制該曲線的形狀。二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：x=at3bt2ctd y=et3ft2gth，其中八個(gè)系數(shù)可以用來控制曲線的形狀。(2)對(duì)非參數(shù)方程表示的曲線進(jìn)行變換，必須對(duì)曲線上的每個(gè)類型點(diǎn)進(jìn)行幾

8、何變換；對(duì)于參數(shù)表示的曲線，可以直接對(duì)其參數(shù)方程進(jìn)行幾何變換(如平移、縮放和旋轉(zhuǎn))，節(jié)省了計(jì)算工作量。(3)在不中斷計(jì)算的情況下，處理斜率為無窮大的問題是很方便的。(4)歸一化參數(shù)變量t0，1，使得它們對(duì)應(yīng)的幾何分量是有界的，而不使用其他參數(shù)來定義它們的邊界。(5)在參數(shù)方程中，與代數(shù)和幾何相關(guān)的變量是完全分離的，變量的個(gè)數(shù)沒有限制，便于用戶將曲線從低維空間擴(kuò)展到高維空間。變量分離的這一特性使我們能夠使用數(shù)學(xué)公式來處理幾何分量，例如我們將來將使用的調(diào)和函數(shù)。(6)易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算?；谶@些優(yōu)點(diǎn)，我們將在以后討論帶參數(shù)表達(dá)式的曲線問題。4.1.2參數(shù)樣條曲線的常用術(shù)語。在

9、工程設(shè)計(jì)中，通常使用低階參數(shù)樣條曲線。這是因?yàn)楦唠A參數(shù)樣條曲線的計(jì)算費(fèi)時(shí)，其數(shù)學(xué)模型難以建立且性能不穩(wěn)定，即任意點(diǎn)幾何信息的變化都可能引起曲線形狀的復(fù)雜變化。因此，在實(shí)際工作中經(jīng)常使用二次或三次參數(shù)樣條曲線，如二次參數(shù)樣條曲線：p (t)=A0A1T2T2三次參數(shù)樣條曲線：p(t)=A0A 1 T2T 3。類型1值點(diǎn)和控制點(diǎn)是指通過測(cè)量或計(jì)算獲得的曲線上的少量數(shù)據(jù)點(diǎn)，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)描述了曲線的幾何形狀。由于模型點(diǎn)的數(shù)量有限，不足以完全描述曲線的形狀。因此，在獲得一些模型點(diǎn)之后，利用一定的數(shù)學(xué)方法建立曲線的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)該數(shù)學(xué)模型獲得曲線上每個(gè)點(diǎn)的幾何信息。所謂控制點(diǎn)是指用于控制或調(diào)整曲線形狀的

10、特殊點(diǎn)，曲線段本身不通過該控制點(diǎn)。2切線、法線和曲率。當(dāng)t如果參數(shù)曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為p(t)=x(t)、y(t)、z(t)，那么該點(diǎn)的切線方程就是該點(diǎn)處參數(shù)曲線的一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)，即p(t)=x(t)、y(t)、z(t)。法線是垂直于切線方向并穿過該點(diǎn)的直線。曲線上兩點(diǎn)m和q的切線與弧長(zhǎng)MQ的夾角，當(dāng)q趨于m時(shí)的極限，即曲線在m點(diǎn)的曲率，如圖4.1所示。曲率也是切線方向角度與弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速率，其值是m處曲線的二階導(dǎo)數(shù)。圖4.1曲線的曲率，3插值、逼近和擬合，插值和逼近是曲線設(shè)計(jì)中兩種不同的方法。插值設(shè)計(jì)方法要求建立的曲線數(shù)學(xué)模型嚴(yán)格通過每個(gè)已知值點(diǎn)。近似設(shè)計(jì)法，顧名思義，用這種方法建立的曲線數(shù)學(xué)模

11、型僅近似接近已知值點(diǎn)。曲線擬合是這兩種設(shè)計(jì)方法的總稱，即在曲線設(shè)計(jì)過程中，利用插值或逼近使生成的曲線滿足某些設(shè)計(jì)要求，如接近原始值點(diǎn)或控制點(diǎn)序列在允許范圍內(nèi)，或曲線看起來平滑。4參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性，為了確保分段參數(shù)曲線從一個(gè)截面到另一個(gè)截面的平滑過渡，我們可以在連接點(diǎn)處要求各種參數(shù)連續(xù)性條件。記錄為C0連續(xù)性的0階參數(shù)連續(xù)性意味著曲線是連接的，即第一條曲線段的終點(diǎn)與第二條曲線段的起點(diǎn)相同。記錄為C1連續(xù)性的一階參數(shù)連續(xù)性意味著表示兩條相鄰曲線段的方程在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)(切線)。二階參數(shù)連續(xù)性，稱為C2連續(xù)性，意味著兩條曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。連接兩條相鄰曲線段的另一

12、種方法是指定幾何連續(xù)性條件。在這種情況下，僅需要相交的兩條曲線段的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例而不是相等。記錄為G0連續(xù)性的0階幾何連續(xù)性與0階參數(shù)連續(xù)性相同，即兩條曲線段在公共點(diǎn)上必須具有相同的坐標(biāo)。一階幾何連續(xù)性，表示為G1連續(xù)性，意味著一階導(dǎo)數(shù)是成比例的，但在兩個(gè)相鄰線段的交點(diǎn)處不一定相等。二階幾何連續(xù)性，表示為G2連續(xù)性，意味著兩條曲線段的一階和二階導(dǎo)數(shù)在交點(diǎn)處成比例。在G2連續(xù)性下，兩條曲線段的曲率在交點(diǎn)處相等。在曲線建模的實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)適當(dāng)選擇曲線段之間的連續(xù)性，使建模對(duì)象既能滿足平滑性的要求，又能滿足美觀性的要求。4.2拋物線樣條曲線，4.2.1拋物線樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在擬合生成樣條曲線的

13、眾多方法中，我們首先選擇生成二次樣條曲線的簡(jiǎn)單方法，即拋物線樣條曲線，作為討論如何通過插值生成穿過給定離散值點(diǎn)的樣條曲線的基本方法。事實(shí)上，二次貝塞爾曲線和二次B樣條曲線也是拋物線樣條曲線，但它們的方法都是近似方法。由于離散點(diǎn)的要求，我們必須首先解決由給定點(diǎn)定義拋物線的問題。有三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上：P1、P2、P3和P3?，F(xiàn)在需要通過給定的三個(gè)點(diǎn)定義一個(gè)拋物線。如圖4.2所示。拋物線穿過圖4.2中的三個(gè)點(diǎn)。如果我們用向量表達(dá)式來表示參數(shù)化的二次曲線，我們可以把拋物線的表達(dá)式寫成以下一般形式：P(t)=A1 A2t A3t2 (0t1) (4-1)。拋物線是一條二次曲線，所以表達(dá)式中參數(shù)t的最

14、高值是2，參數(shù)t的值在0和1之間.也就是說，只要確定公式(41)中的三個(gè)系數(shù)：A1、A2和A3，就可以確定拋物線的表達(dá)式，然后就可以確定拋物線的曲線圖。因此，我們的工作是通過設(shè)置一些已知的條件來找到這三個(gè)系數(shù)。要確定這三個(gè)系數(shù)(目前還不知道)，必須有三個(gè)獨(dú)立的條件。我們可以給這三個(gè)獨(dú)立的條件如下：th三種設(shè)置條件下，拋物線截面的結(jié)構(gòu)如圖4.3所示。在圖4.3中，拋物線由三個(gè)點(diǎn)定義。圖中數(shù)據(jù)如下：點(diǎn)a為P1P3的中點(diǎn)，AP2=P2Q，拋物線在P1與P1Q相切，在P3與QP3相切，P2曲線的切線P2與P1P3平行。根據(jù)上述條件，可以列出三個(gè)方程：t=0:p(0)=a1=p1t=1:p(1)=a1a

15、2a 3:A3=P3(4-2)t=0.5；P(0.5)=A10.5A20.25A3=P2，求解上述三個(gè)聯(lián)立方程：a1=p1p 3=a1a 2 A3=p1a 2 A3 A2=p3p 1 A3 p2=a 10.5 a 20.25 A3，即4 p2=4a 12 A3=4 p1a 3(p3p 1 A3)A3=2p 12 P3 3=2p 12 p34 p2用上述公式代入a2=p3p1a3，得到A2=4P2 P3 3P1。因此，通過求解聯(lián)立方程，三個(gè)系數(shù)a1、a2、A3是：a1=P1 a2=4p 2p 33 P1(4-3)A3=2p 12p 34 p2。將這三個(gè)系數(shù)的計(jì)算值代入拋物線表達(dá)式(4-1)，我們

16、可以得到：P(t)=a1a2ta 3t 2=P1(4p 2p 3p 1)t(2p 12p 34 P 2)T2=(2t 23t 1)P1(4t 4t 2)p2(2t)P3(4-4)(0t 1)，公式(4-4)可以改寫成矩陣形式如下：上面推導(dǎo)的計(jì)算此時(shí)，根據(jù)參數(shù)t的值，我們可以逐個(gè)計(jì)算位于曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，4.2.2拋物線樣條曲線的加權(quán)合成提供了一系列離散的值點(diǎn)pi (I=1，2，n)。根據(jù)公式(4-5)，我們可以在每次通過三個(gè)相鄰的點(diǎn)時(shí)做一個(gè)拋物線。因?yàn)橛衝個(gè)值點(diǎn)，像這樣的n2個(gè)拋物線段可以一起形成。如圖4.4所示。在圖4.4中，生成了n2拋物線。在這n2個(gè)拋物線段中，第I個(gè)拋物線段穿過Pi、Pi 1和Pi 2，因此它的表達(dá)式應(yīng)該是：si(ti)=(2ti 23 ti 1)Pi(4ti 4ti 2)Pi 1(2ti 2ti)Pi 2(0