1、運動型問題【題型特征】 用運動的觀點來探究幾何圖形變化規(guī)律的問題稱為運動型問題,此類問題的顯著特點是圖形中的某個元素(如點、線段、角等)或整個幾何圖形按某種規(guī)律運動,圖形的各個元素在運動變化的過程中互相依存、和諧統(tǒng)一,體現(xiàn)了數(shù)學中“變”與“不變”、 “一般”與“特殊”的辯證思想,滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等重要的數(shù)學思想,綜合性較強.運動型試題主要類型:(1)點的運動(單點運動、雙點運動);(2)線的運動(線段或直線的運動);(3)形的運動(三角形運動、四邊形運動、圓的運動等).【解題策略】 解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形,把握圖形運動與變化的全過程,抓

2、住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系,并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系.解決點動型問題,一是要搞清在點運動變化的過程中,哪些圖形(如線段、三角形等)隨之運動變化,并在點運動在相對靜止的瞬間,尋找變量的關(guān)系.二是要運用好相應的幾何知識.三是要結(jié)合具體問題,建立函數(shù)模型,達到解題目的.線動實質(zhì)就是點動,即點動帶動線動,進而還會產(chǎn)生面動,因而線動型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點動型問題來求解.解決線動類問題的關(guān)鍵是要把握圖形運動與變化的全過程,抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系.從運動變化得到圖形的特殊位置,進而探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示.解決形動類問題,一是要抓住幾何圖形在運動過程中形狀和大小都不改變

3、這一特性,充分利用不變量來解決問題;二是要運用特殊到一般的關(guān)系,探究圖形運動變化過程中的不同階段;三是要運用類比轉(zhuǎn)化的方法探究相同運動狀態(tài)下的共同性質(zhì),這種方法能夠使得問題解決的過程更加簡捷,結(jié)論更加準確.類型一點的運動典例1(2015江西)如圖(1),AB是O的直徑,點C在AB的延長線上,AB=4,BC=2,P是O上半部分的一個動點,連接OP,CP.(1)求OPC的最大面積;(2)求OCP的最大度數(shù);(3)如圖(2),延長PO交O于點D,連接DB,當CP=DB時,求證:CP是O的切線.(1)(2)【全解】 (1)AB=4,OB=2,OC=OB+BC=4.在OPC中,設OC邊上的高為h,當h最

4、大時,SOPC取得最大值.觀察圖形,當OPOC時,h最大,如圖(1)所示:(1)此時h=半徑=2,SOPC=22=4.OPC的最大面積為4.(2)當PC與O相切時,OCP最大.如圖(2)所示:(2)OCP=30.OCP的最大度數(shù)為30.(3)如圖(3),連接AP,BP.(3)A=D=APD=ABD.=,=.AP=BD.CP=DB,AP=CP.A=C.A=D=APD=ABD=C.在ODB與BPC中,ODBBPC(SAS).D=BPC.PD是直徑,DBP=90.D+BPD=90.BPC+BPD=90.DPPC.DP經(jīng)過圓心,PC是O的切線.【技法梳理】 本題是一道單質(zhì)點的運動問題.考查了全等三角形

5、的判定和性質(zhì),切線的判定和性質(zhì),作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.(1)在OPC中,底邊OC長度固定,因此只要OC邊上高最大,則OPC的面積最大;觀察圖形,當OPOC時滿足要求;(2)PC與O相切時,OCP的度數(shù)最大,根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得;(3)連接AP,BP通過ODBBPC可求得DPPC,從而求得PC是O的切線.舉一反三1. (2015黑龍江牡丹江)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=8,BC=6,CDAB于點D.點P從點D出發(fā),沿線段DC向點C運動,點Q從點C出發(fā),沿線段CA向點A運動,兩點同時出發(fā),速度都為每秒1個單位長度,當點P運動到C時,兩點都停止.設運動時間為t秒.(1

6、)求線段CD的長.(2)設CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)表達式,并確定在運動過程中是否存在某一時刻t,使得SCPQSABC=9100?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.(3)當t為何值時,CPQ為等腰三角形?(第1題)【小結(jié)】 解題要點是(1)明確動點的運動過程;(2)明確運動過程中,各組成線段、三角形之間的關(guān)系;(3)運用分類討論的數(shù)學思想,避免漏解.類型二線的運動典例2(2015廣東)如圖,在ABC中,AB=AC,ADBC于點D,BC=10cm,AD=8cm.點P從點B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動,與此同時,垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的

7、速度沿DA方向勻速平移,分別交AB,AC,AD于點E,F,H,當點P到達點C時,點P與直線m同時停止運動,設運動時間為t秒(t0).備用圖(1)當t=2時,連接DE,DF,求證:四邊形AEDF為菱形.(2)在整個運動過程中,所形成的PEF的面積存在最大值,當PEF的面積最大時,求線段BP的長.(3)是否存在某一時刻t,使PEF為直角三角形?若存在,請求出此時刻t的值;若不存在,請說明理由.【解析】 (1)如圖(1)所示,利用菱形的定義證明;(2)如圖(2)所示,首先求出PEF的面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;(3)如圖(3)(4)(5)所示,分三種情形,需要分類討論,分別求解.【全解

8、】 (1)當t=2時,DH=AH=4,則H為AD的中點,如圖(1)所示.(1)EFAD,EF為AD的垂直平分線.AE=DE,AF=DF.AB=AC,ADBC于點D,ADBC,B=C.EFBC.AEF=B,AFE=C.AEF=AFE.AE=AF.AE=AF=DE=DF,即四邊形AEDF為菱形.(2)如圖(2)所示,由(1)知EFBC,(2)當t=2秒時,SPEF存在最大值,最大值為10,此時BP=3t=6.(3)存在.理由如下:若點E為直角頂點,如圖(3)所示,(3)此時PEAD,PE=DH=2t,BP=3t.PEAD,此比例式不成立,故此種情形不存在.若點F為直角頂點,如圖(4)所示,(4)此

9、時PFAD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.PFAD,.若點P為直角頂點,如圖(5)所示.(5)過點E作EMBC于點M,過點F作FNBC于點N,則EM=FN=DH=2t,EMFNAD.EMAD,【技法梳理】 這是一道“線平移型”動態(tài)問題,涉及動點與動線兩種運動類型.第(1)問考查了菱形的定義;第(2)問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值;第(3)問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點,重點考查了分類討論的數(shù)學思想.舉一反三2. (2015湖南衡陽)如圖,直線AB與x軸相交于點A(-4,0),與y軸相交于點B(0,3),點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿直線

10、AB向點B移動.同時,將直線以每秒0.6個單位長度的速度向上平移,交OA于點C,交OB于點D,設運動時間為t(0t5)秒.(1)證明:在運動過程中,四邊形ACDP總是平行四邊形;(2)當t取何值時,四邊形ACDP為菱形?請指出此時以點D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系并說明理由.(第2題)【小結(jié)】 這是一道“線運動型”的動態(tài)幾何問題,線段的運動往往帶動的是一個圖形大小的變化(如三角形、平行四邊形等),問題常以求圖形面積的最值,或者探究運動過程中是否存在某一特殊位置的形式出現(xiàn).解決此類問題時,一是要選擇適當?shù)那髨D形面積的方法.若是規(guī)則圖形,可以直接選擇面積公式計算;若是不規(guī)則圖形,一

11、般情況下選擇割補法,通過“割補”將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形解決;二是要根據(jù)線段的運動變化過程,探究其他圖形的運動變化規(guī)律.有效的方法就是畫出線段變化過程中的幾個不同位置的圖形,確定線段運動變化的不同階段,從而判斷隨之而動的其他圖形的一般位置和特殊位置.類型三面的運動典例3(2015甘肅天水)如圖(1),在平面直角坐標系中,點A(0,-6),點B(6,0).RtCDE中,CDE=90,CD=4,DE=4,直角邊CD在y軸上,且點C與點A重合.RtCDE沿y軸正方向平行移動,當點C運動到點O時停止運動.解答下列問題:(1)如圖(2),當RtCDE運動到點D與點O重合時,設CE交AB于點M,求BME

12、的度數(shù).(2)如圖(3),在RtCDE的運動過程中,當CE經(jīng)過點B時,求BC的長.(3)在RtCDE的運動過程中,設AC=h,OAB與CDE的重疊部分的面積為S,請寫出S與h之間的函數(shù)表達式,并求出面積S的最大值.(1)(2)(3)【全解】 (1)如圖(1),(1)在平面直角坐標系中,點A(0,-6),點B(6,0).OA=OB.OAB=45.CDE=90,CD=4,DE=4,OCE=60.CMA=OCE-OAB=60-45=15.BME=CMA=15.(2)如圖(2),(2)CDE=90,CD=4,DE=4,OBC=DEC=30.OB=6,BC=4.(3)h2時,如圖(3),作MNy軸交y軸

13、于點N,作MFDE交DE于點F,且OE交AB于點k.(3)CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM.CMNCED,【技法梳理】 本題是一道面平移型動態(tài)問題.綜合運用了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、以及三角形外角定理,難度較大.對于第(3)題這類有關(guān)于動態(tài)問題,需要分類討論,以防漏解有一定的難度.(1)如圖(1),由對頂角的定義知,BME=CMA,所以欲求BME的度數(shù),需求CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角定理進行解答即可;(2)如圖(2),通過解直角BOC來求BC的長度;(3)需要分類討論:h2時,如圖(4),作MNy軸交y軸于點N,作MFDE交DE

14、于點F,S=SEDC-SEFM;當h2時,如圖(3),S=SOBC.舉一反三3. (2015福建三明)如圖(1),在RtABC中,ACB=90,AB=10,BC=6,扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合,OD交BC于點F,OE經(jīng)過點C,且DOE=B.(1)證明COF是等腰三角形,并求出CF的長;(2)將扇形紙片DOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),OD,OE與邊AC分別交于點M,N(如圖(2),當CM的長是多少時,OMN與BCO相似?(1)(2)備用圖(第3題)【小結(jié)】 解決運動型問題時,一是要搞清運動變化的過程中,哪些圖形(如線段、三角形等)不改變、那些圖形隨之變化,即確定運動變化過程中圖形中的變與不

15、變,充分利用不變量來解決問題;二是要運用好相應的幾何知識;三是要結(jié)合具體問題,建立函數(shù)模型,達到解題目的.對于幾何圖形的運動的動態(tài)幾何題,一是要抓住幾何圖形在運動過程中形狀和大小都不改變這一特性;二是要運用特殊與一般的關(guān)系,探究圖形運動變化過程中的不同階段;三是要運用類比轉(zhuǎn)化的方法探究相同運動狀態(tài)下的共同性質(zhì),這種方法能夠使得問題解決的過程更加簡潔,結(jié)論更加準確.類型一1. (2015貴州貴陽)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16cm,AD為BC邊上的高.動點P從點A出發(fā),沿AD方向以cm/s的速度向點D運動.設ABP的面積為S1,矩形PDFE的面積為S2,運動時間為t秒(0t

16、8),則t=秒時,S1=2S2.(第1題)(第2題)類型二3. (2015湖南懷化)如圖(1),在平面直角坐標系中,AB=OB=8,ABO=90,yOC=45,射線OC以每秒2個單位長度的速度向右平行移動,當射線OC經(jīng)過點B時停止運動,設平行移動x秒后,射線OC掃過RtABO的面積為y.(1)求y與x之間的函數(shù)表達式;(2)當x=3秒時,射線OC平行移動到OC,與OA相交于點G,如圖(2),求經(jīng)過G,O,B三點的拋物線的表達式;(3)現(xiàn)有一動點P在(2)中的拋物線上,試問點P在運動過程中,是否存在三角形POB的面積S=8的情況?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.(1)(2)(第3題

17、)4. (2015江蘇連云港)在一次科技活動中,小明進行了模擬雷達雪描實驗.如圖,表盤是ABC,其中AB=AC,BAC=120,在點A處有一束紅外光線AP,從AB開始,繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn),每秒鐘旋轉(zhuǎn)15,到達AC后立即以相同的旋轉(zhuǎn)速度返回A,B,到達后立即重復上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實驗發(fā)現(xiàn),光線從AB處開始旋轉(zhuǎn)計時,旋轉(zhuǎn)1秒,時光線AP交BC于點M,BM的長為(20-20)cm.(1)求AB的長.(2)從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時,若旋轉(zhuǎn)6秒,此時AP與BC邊交點在什么位置?若旋轉(zhuǎn)2015秒,此時AP與BC邊交點在什么位置?并說明理由.(第4題)類型三5. (2015湖南益陽)如圖,在平面直角坐標系

18、xOy中,半徑為2的P的圓心P的坐標為(-3,0),將P沿x軸正方向平移,使P與y軸相切,則平移的距離為().(第5題)A. 1B. 1或5C. 3D. 5 6. (2015黑龍江黑河)在等腰直角三角形ABC中,BAC=90,AB=AC,直線MN過點A且MNBC,過點B為一銳角頂點作RtBDE,BDE=90,且點D在直線MN上(不與點A重合),如圖(1),DE與AC交于點P,易證:BD=DP.(無需寫證明過程)(1)在圖(2)中,DE與CA延長線交于點P,BD=DP是否成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.(2)在圖(3)中,DE與AC延長線交于點P,BD與DP是否相等?請直接寫

19、出你的結(jié)論,無需證明.(1)(2)(3)(第6題)參考答案【真題精講】1. (1)如圖(1),(第1題(1)ACB=90,AC=8,BC=6,AB=10.CDAB,線段CD的長為4.8.(2)過點P作PHAC,垂足為H,如圖(2)所示.(第1題(2)由題可知DP=t,CQ=t.則CP=4.8-t.ACB=CDB=90,HCP=90-DCB=B.PHAC,CHP=90.CHP=ACB.CHPBCA.整理,得5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0.若QC=QP,過點Q作QECP,垂足為E,如圖(3)所示.(第1題(3)C(-0.8t,0),OC=0.8t.在RtOCD中,CD=t.

20、點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿直線AB向點B移動t(0t5)秒,AP=t.AP=CD=t.APCD.APCD,AP=CD=t,在運動過程中,四邊形ACDP總是平行四邊形.A(-4,0),B(0,3),OA=4,OB=3.在RtOAB中,AB=5.過點D作DEAB于點E,則DEB=90.(第2題)在AOB和DEB中,AOB=DEB=90且OBA=EBD,AOBDEB.點D到直線AB的距離等于D的半徑.以點D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB相切.方法二:(在證明D與直線AB相切時,也可利用等積法求得點D到直線AB的距離.)設點D到直線AB的距離為d,則點D到直線AB的距離與D的半徑相

21、等,即d=r.以點D為圓心、OD長為半徑的D與直線AB相切.方法三:(巧用“菱形對角線的性質(zhì)”和“角平分線性質(zhì)定理”)連接AD,則AD是菱形ACDP的對角線,AD平分OAB.DOAO,DO是點D到直線AO的距離.點D到直線AB的距離=點D到直線AO的距離(DO).以點D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB相切.3. (1)ACB=90,點O是AB的中點,OC=OB=OA=5.OCB=B,ACO=A.DOE=B,FOC=OCF.FC=FO.COF是等腰三角形.過點F作FHOC,垂足為H,如圖(1),(第3題(1)FC=FO,FHOC, (2)若OMNBCO,如圖(2),(第3題(2)則有NMO=OCB.OCB=B,NMO=B.A=A,AOMACB.若OMNBOC,如圖(3),(第3題(3)則有MNO=OCB.OCB=B,MNO=B.ACO=A,CONACB.過點M作MGON,垂足為G,如圖(3),MNO=B,MON=B,MNO=MON.MN=MO.MGON,即MGN=90,【課后精練】1. 62. -63. (1)AB=OB,ABO=90,ABO是等腰直角三角形.AOB=45.yOC=4