1、第一章 緒論,1.1 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)的應(yīng)用 1.2 數(shù)學(xué)建模 1.3 創(chuàng)造性思維方法 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類 1.6 數(shù)學(xué)建模示例,1.1 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)的應(yīng)用,近半個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的形象發(fā)生了很大的變化，數(shù)學(xué)不在僅僅是數(shù)學(xué)家和少數(shù)物理學(xué)家、天文學(xué)家、力學(xué)家等少數(shù)人手中的神秘武器，它漸漸為越來越多的人們所了解和關(guān)注。,21世紀(jì)以高科技為核心的的知識(shí)經(jīng)濟(jì)占主導(dǎo)地位，社會(huì)的信息化、數(shù)字化、及計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也就日益廣泛。,信息時(shí)代高科技的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競(jìng)爭(zhēng) 錢學(xué)森 在經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)中數(shù)學(xué)科學(xué)是必不可少的，數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù) 錢學(xué)森 現(xiàn)代數(shù)學(xué)在理論上更

2、抽象，在方法上更綜合，在應(yīng)用上更廣泛，新的數(shù)學(xué)分支層出不窮，相互交叉，相互滲透。,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要的一個(gè)方面在于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，數(shù)學(xué)可以為組織和構(gòu)造知識(shí)提供方法，用于技術(shù)時(shí)就能使科學(xué)家和工程師們生產(chǎn)出系統(tǒng)的、能復(fù)制的、可以傳播的知識(shí)。,1.2 數(shù)學(xué)建模,是指所研究客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它具有事物中我們感興趣的主要性質(zhì)。,模型,數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling),對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)， 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,建立數(shù)學(xué)模型的全過程 （包括表述

3、、求解、解釋、檢驗(yàn)等）,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)建模的重要意義,數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)新作用,數(shù)學(xué)建模的綜合作用,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步， 越來越受到人們的重視。,數(shù)學(xué)模型的橋梁地位,數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar 定義)： 關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而做的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,重要的科學(xué)思維方式之一是創(chuàng)新思維，創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂。,1.3 創(chuàng)造性思維方法,現(xiàn) 實(shí) 世 界,數(shù) 學(xué) 世 界,建立數(shù)學(xué)模型,推理演繹求解,翻譯為實(shí)際解答,實(shí)際解答：如對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析、預(yù)報(bào)、 決策、控制等結(jié)果。,始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁，,* 數(shù)學(xué)建模

4、沒有普遍適用的方法與技巧.,* 有一些普遍適用的思想方法與思維方式.,整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程由若干個(gè)有 明顯差別的階段性工作組成,怎樣構(gòu)架這座橋梁？,求解數(shù)學(xué)模型,實(shí)際問題分析,建立數(shù)學(xué)模型,提交論文與報(bào)告,模型與模型解的分析及檢驗(yàn),數(shù)學(xué)建模的各階段工作,此流程 具有指導(dǎo)意義 ，應(yīng)注意,* 流程應(yīng)用是彈性的，切不能生搬硬套.,本章基本上按照此流程來介紹數(shù)學(xué)建模的方法。,* 建模過程往往是一個(gè)反復(fù)循環(huán)的過程.,數(shù)學(xué)建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式上與學(xué)習(xí)其他課程有很大差別。,數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維,.等等.,類比思維,歸納思維,逆向思維,發(fā)散思維,猜測(cè)思維,掌握幾類方法：?jiǎn)栴}解決法、思想表達(dá)法、創(chuàng)造

5、發(fā)明法.,方法的共同特點(diǎn)： 不輕易否定別人的意見， 懷疑一般常識(shí)， 努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等,以下介紹幾種（個(gè)體和集體的）創(chuàng)造性思維方法,對(duì)于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺,一、打開思路的方法,面對(duì)新問題，應(yīng)盡量打開自己的思路：,發(fā)散性思維和猜測(cè)思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分,1. 不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.,2. 盡量多一些想法，多一些猜測(cè)。,思考、思考、再思考.,幫助展開思路的方法：,關(guān)鍵詞聯(lián)想法,提問題法,1.提問題法,面臨難題, 束手無策時(shí)通過提出一系列問題來導(dǎo)出一些想法或一個(gè)好的方案.,如：,(l) 這個(gè)問題和什么問題相類似？,(2) 假如變動(dòng)問題的某些條件將會(huì)怎樣？

6、,借助于一系列問題來展開思路.,(4) 重新組合又會(huì)怎樣？,(3) 將問題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣？,為進(jìn)一步打開思路可提以下問題：,(5) 我們還可以做什么工作？,(6)有無需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容？,(7) 可否換一種數(shù)學(xué)工具來解決此問題？,針對(duì)問題和初始方案可以先設(shè)計(jì)出類似的 問題清單，然后反復(fù)展開。,例1 穿越公路問題,一條公路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠(yuǎn)處的“斑馬線”.當(dāng)?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)“斑馬線”,讓行人可穿越公路,并且還要保證行人的平均等待時(shí)間不超過15秒.,增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問題？,

7、1. 考慮問題的立場(chǎng), 司機(jī)或行人的哪方面的 利益更為重要？,公路情況: 是否有彎道？車道間是否設(shè) 有安全隔離帶？,3. 車流情況：車流的密度大??？,4. 行人情況: 穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性質(zhì)？,一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進(jìn)銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對(duì)這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進(jìn)貨.,例2 電飯煲銷售問題,怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn).,想一想 此問題與我們遇到的哪一個(gè)建模問題 相類似？,分析 Logistic人口模型，t 時(shí)刻的

8、人口數(shù)為,t0,改寫為,數(shù)學(xué)分析,1. 若 r0，則S0，隨著 ,則,2. 若 r0，討論Logistic曲線特征,N(t) 是單調(diào)上升函數(shù).,K是使得人口凈增長(zhǎng)率 r(K)=0 的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.,人口不會(huì)無限增長(zhǎng)，存在一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)間點(diǎn)t0 ，過此點(diǎn)以后增長(zhǎng)速度會(huì)減緩。,(1) 一般每戶只需用12只電飯煲就足夠,一個(gè)地區(qū)的需求量是有限的；,電飯煲的銷售情況類似于人口增長(zhǎng)情況,可 利用類比方法建立模型.,Logistic模型特點(diǎn)：初期高速增長(zhǎng)，過一個(gè)特 定時(shí)間點(diǎn)后增長(zhǎng)速度減緩，且有上界控制.,對(duì)原問題的分析：,(2) 初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時(shí)銷

9、售速度會(huì)減緩.,記x(t)為t 時(shí)刻已售出的電飯煲總數(shù),市場(chǎng)的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型,來描述電飯煲的銷售速度變化情況.,實(shí)際情況與Logistic銷售曲線十分吻合,思考 請(qǐng)考慮現(xiàn)實(shí)中哪些變量的變化可用 Logistic模型進(jìn)行描述？,現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失. 大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進(jìn)行疏散撤離.,例3 “9.11”事件的反思,一座大樓的管委會(huì)想進(jìn)行一次緊急疏散 人員的演習(xí).,問題分析 演習(xí)之前需要考慮許多方面,如

10、大樓內(nèi)的設(shè)施、人員的分布情況、撤離路線的設(shè)計(jì)、撤離的步驟等等，這是一個(gè)較龐大的系統(tǒng)工程,應(yīng)考慮將此問題分解成為若干個(gè)子問題，如,* 一個(gè)房間內(nèi)人員的撤離；,* 一個(gè)通道的撤離；,* 一層樓人員的撤離；,最后，將各個(gè)子問題重新組合起來.,2.關(guān)鍵詞聯(lián)想法,主要步驟如下：,(1) 抓住問題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進(jìn)行聯(lián)想；,(2) 把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進(jìn)一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進(jìn)一步想出新的主意；,(3) 再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題 的初步思路與步驟.,一種有效的發(fā)散思維方式.,在約10,000米高空的某邊長(zhǎng)160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行.

11、區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會(huì)碰撞,則應(yīng),例4 飛行管理問題, 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù) 學(xué)模型,列出計(jì)算步驟,對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算 (方向角誤差不超過0.01度).要求飛機(jī)飛行方 向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為： 試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià) 與推廣.,計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：,* 對(duì)問題仔細(xì)閱讀, 首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進(jìn)行聯(lián)想.,* 抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰

12、撞”、 “立即”、“判斷”等等詞語.,* 聯(lián)系解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來.,問題的初步理解和想法:,飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時(shí)，還必須注意調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性.,思考題：嘗試讀題與分析,MCM1999A題：強(qiáng)烈的碰撞,美國國家航空和航天局(NASA)從過去某個(gè)時(shí)間以來一直在考慮一顆大的小行星撞擊地球會(huì)產(chǎn)生的后果。 作為這種努力的組成部分，要求你們隊(duì)來考慮這種撞擊的后果，假如該小行星撞擊到了南極洲的話。人們關(guān)心的是撞到南極洲比撞到地球的其他地方可能會(huì)有很不同的后果。,假如小行星的直徑大約為1000米，還假設(shè)它正好在南極與南極洲大陸相撞。 要

13、求你們隊(duì)對(duì)這樣一顆小行星的撞擊提供評(píng)估。特別是，NASA希望有一個(gè)關(guān)于這種撞擊下可能的人類人員傷亡的數(shù)量和所在地區(qū)的估計(jì)，對(duì)南半球海洋的食物生產(chǎn)區(qū)域造成的破壞的估計(jì)，以及由于南極洲極地冰巖的大量融化造成的可能的沿海岸地區(qū)的洪水的估計(jì)。,強(qiáng)烈的碰撞讀題分析,相關(guān)因素：,小行星形狀、成分與密度,撞擊角度、速度、位置（運(yùn)行軌跡）,太陽、地球、月亮軌道,能量來源,引力、動(dòng)能,南極冰蓋的成分（深度、密度、溫度）,冰融的估算,以及冰蓋下的成分,大氣環(huán)流,粉塵的傳送,溫室效應(yīng),相關(guān)理論：,Newton引力模型,軌跡,碰撞的動(dòng)力學(xué),冰的熱力學(xué)（冰融、汽化）、熱傳導(dǎo),生態(tài)系統(tǒng)（磷蝦.krill）,水溫,后期工作

14、：,預(yù)測(cè)與預(yù)警,二、整體把握問題的方法,有兩種把握住問題的全貌的有效方法：,(1) 層次結(jié)構(gòu)法,(2) 問題分解法,問題分解法是一種簡(jiǎn)單而有效的把握問題整體的方法.,將問題分解為“三要素”的三個(gè)部分.,問題分解三要素,初態(tài),目標(biāo)態(tài),過程,覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).,覺察到的希望目標(biāo)(想要什么、 希望達(dá)到什么等).,能在“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之間發(fā)生 作用的行動(dòng)(能做什么).,例5 常見數(shù)學(xué)題目模式,已知,求（證）,解題,初態(tài),目標(biāo)態(tài),過程,教師的主要教學(xué)目標(biāo),* 解決實(shí)際問題時(shí)，分析出問題的初態(tài)和 目標(biāo)態(tài)很困難.,* 未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之前，過早地

15、進(jìn)入解決問題的階段，會(huì)條件不清、目標(biāo)不明.,盡量拓展思路的基礎(chǔ)上, 再進(jìn)行充分分析 得到的問題分解結(jié)果：,例6飛行管理問題,初態(tài)：現(xiàn)有飛機(jī)的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件,過程：建立碰撞的判別準(zhǔn)則，優(yōu)化管理方案及相應(yīng)算法.,目標(biāo)態(tài)：實(shí)時(shí)調(diào)整，避免碰撞。,數(shù)學(xué)建模的基本方法,機(jī)理分析,測(cè)試分析,根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律,將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。,二者結(jié)合,用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測(cè)試分析確定模型參數(shù),1.4 數(shù)學(xué)建模

16、的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,實(shí)際問題分析,建立數(shù)學(xué)模型,求解數(shù)學(xué)模型,模型及模型解的分析與檢驗(yàn),提交論文或報(bào)告,一、問題分析,問題的前期分析 包括： 明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等。,為什么問題前期分析至關(guān)重要？,數(shù)學(xué)建模問題往往含混不清,可能的原因有:,* 提出問題的人未能清楚地表述問題 .,* 不同領(lǐng)域的人交流出現(xiàn)故障.,*各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出問題時(shí),未給出恰當(dāng) 的條件.,對(duì)問題進(jìn)行充分的前期分析以前,過早著手決問題,往往會(huì)陷入一些意想不到的陷阱,或者偏離解決問題的方向.,一. 明確問題,例3.3.1 一家大商業(yè)印刷公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng) 該雇多少推銷員的問題征詢你的意見.,“究竟需要做什

17、么？”,遇到一個(gè)新問題時(shí),首先應(yīng)問自己,* 未能準(zhǔn)確理解問題.,著眼點(diǎn)是對(duì)各類推銷隊(duì)伍的工作效果進(jìn)行分析。,原問題“推銷員人數(shù)問題” 明確為：,(1) 不同規(guī)模的銷售隊(duì)伍會(huì)有什么影響；,(2) 怎樣從他們的銷售工作中獲取最大的收益.,明確了工作的目標(biāo), 即設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài).,為明確問題 ,可向有關(guān)人員詢問如下問題：,1. 公司的規(guī)模有多大？,2. 該公司的推銷員的工作方式？,推銷員人數(shù),獲取較大的投入產(chǎn)出比。,顧客,地域,分析確定出各有關(guān)因素,畫出問題的層次結(jié)構(gòu)圖,顧客容量,市場(chǎng)份額,現(xiàn)有,定貨量,潛在,轉(zhuǎn)移 概率,轉(zhuǎn)變 概率,現(xiàn)有,潛在,二. 條件及數(shù)據(jù)分析,設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài), 著手工作

18、還需要做 以下工作：,1. 收集必要的資料和數(shù)據(jù)。,2. 分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件,使問題進(jìn)一步 明確化.,我國淡水資源有限.節(jié)約用水人人有責(zé),洗衣 機(jī)在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額,目前洗衣,例3.3.2 節(jié)水洗衣機(jī)問題,機(jī)已非常普及,節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要.假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水漂洗脫水加水漂洗脫水加水漂洗脫水(稱“加水漂洗脫水”為運(yùn)行一輪).請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少.選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對(duì)你的模型和結(jié)果出評(píng)價(jià).,*衣服的洗凈效果指標(biāo)(包括污物和殘留洗滌劑)；

19、,*不同質(zhì)地衣物的脫水率或衣物的含水量C；,* 洗衣機(jī)的最高水位H、最低水位L；,* 各類污物(泥土、油膩等)和洗滌劑在水中的溶解特性。,怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？,分析：題目中沒有一個(gè)數(shù)據(jù),但問題卻需要比 較多的數(shù)據(jù)及條件,如,可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐枴?通過試驗(yàn)來得到。,收集數(shù)據(jù)應(yīng)列入工作計(jì)劃，并注意：,1. 向有關(guān)人員調(diào)查情況應(yīng)事先設(shè)計(jì)好問題；,2. 事先確定所需資料清單、資料來源、收集方式。,有條理的收集計(jì)劃可以為后期的工作 創(chuàng)造良好的條件,條件和數(shù)據(jù)分析,必要性：對(duì)方所給的數(shù)據(jù)和條件并不是恰到好處的,方式：實(shí)驗(yàn)、公共資料和相應(yīng)的企業(yè)名錄,數(shù)據(jù)處理：明確數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)所提供的信息，確

20、定數(shù)據(jù)來源是否可靠，條件的意義，那些條件是本質(zhì)的，那些條件是可變動(dòng)的。,二、建立數(shù)學(xué)模型,處于不同的目的建立的數(shù)學(xué)模型可能會(huì)有很大的差異。所以建立一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型必須弄清建模目的是什么？既要解決什么問題？我們的目的可能是為了描述或解釋現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象；預(yù)報(bào)我們感興趣的事件是否會(huì)發(fā)生，或發(fā)展趨勢(shì)如何； 優(yōu)化管理或者決策控制。圍繞建模目的，簡(jiǎn)述建模過程的幾點(diǎn)：,1）模型的整體設(shè)計(jì),2）合理的假設(shè),3）建立現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式,1）模型的整體設(shè)計(jì),一個(gè)完整的 數(shù)學(xué)模型應(yīng)該同時(shí)描述出有關(guān)因素間的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系,例：考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的城鎮(zhèn)供水系統(tǒng)，水是由水庫經(jīng)由管道流入水箱，在由水箱向各用戶供水。問題是怎

21、樣才能有效地保證各用戶的正常用水。,降雨,蒸發(fā),滲透,供水系統(tǒng),為了保障用戶正常用水？,現(xiàn)成的供水系統(tǒng)：水箱內(nèi)總有水，調(diào)節(jié)水箱的進(jìn)水量,系統(tǒng)正在設(shè)計(jì)中：水箱的大小和管道的最大流量,為了能夠有效的處理更一般的問題，采用參數(shù)化的方法。參量：對(duì)同一套系統(tǒng)不便，不同的系統(tǒng)發(fā)生改變的量；常量：對(duì)所有系統(tǒng)都不發(fā)生改變的量；變量：確定的系統(tǒng)中可以發(fā)生改變的量。,各個(gè)實(shí)體之間的作用關(guān)系,水庫與管道：水庫的水深,管道與水箱：管道的水流量,水箱與用戶：出水口的水流量,用戶：總需水量,參數(shù)說明：,現(xiàn)在用數(shù)學(xué)語言描述所要解決的問題：,現(xiàn)在考慮對(duì)G（t）的描述。站在不同的角度可以給出不同的描述。比如可以要求操作時(shí)間最短

22、，操作次數(shù)最少，流量盡可能的平穩(wěn)等。前兩種指標(biāo)站在操作人員的角度來考慮問題，而后一種指標(biāo)是為了減少開、關(guān)對(duì)系統(tǒng)的沖擊損壞。如果是設(shè)計(jì)新的供水系統(tǒng)，還需要考慮建造費(fèi)用、占地面積等方面對(duì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。,建立模型的整體結(jié)構(gòu)總結(jié)：,另外需要注意的是：對(duì)于建模過程中所遇到的各種數(shù)量，從建模的角度對(duì)這些量進(jìn)行區(qū)分，有助于我們掌握各個(gè)量在模型中的地位和作用。,1）找出與問題有關(guān)的各個(gè)實(shí)體,2）列出與每個(gè)實(shí)體有關(guān)的因素（或?qū)傩裕?3）對(duì)照模型目的描述出各實(shí)體之間的關(guān)系，略去影響不大的實(shí)體,4）將實(shí)體之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表述出來,5）對(duì)于滿足條件的解如果有多個(gè)，則需要用不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),2）作出合理的假設(shè),對(duì)于上

23、一個(gè)例子，為了簡(jiǎn)化問題我們忽略了水庫及其相關(guān)因素，,而以一條假設(shè)“水庫能保證管道所需水量”來代替它們。,還有以下假設(shè)： 1）管道的供水量G(t)可人工調(diào)節(jié)； 2）用戶的用水量有規(guī)律可尋； 3）系統(tǒng)能滿足用戶的需求。,作出合理假設(shè)的必要性：,定義：根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要的因素，作出必要合理的簡(jiǎn)化。,作出合理假設(shè)的必要性：,模型的成功與否在很大程度上取決于假設(shè)是否恰當(dāng)。假設(shè)做的不合理或過分簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致模型失敗或部分失敗；假設(shè)做的過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對(duì)象的各個(gè)方面因素都考慮進(jìn)去，可能會(huì)使工作無法繼續(xù)進(jìn)行下去，也可能以為工程過于龐大而失去了建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的意義。

24、,對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題可以考慮從如下的方面入手,1）關(guān)于是否包含某些因素的假設(shè)； 2）關(guān)于條件相對(duì)強(qiáng)弱及各因素影響相對(duì)大小的假設(shè)； 3）關(guān)于變量間相對(duì)關(guān)系的假設(shè)； 4）關(guān)于模型的適用范圍的假設(shè)。,建立現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式,建立變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系是建立數(shù)學(xué)模型的一項(xiàng)關(guān)鍵性工作,例：突然下了20min的雨，收集到1/2in（1cm=0.3937in）的雨量，現(xiàn)在我們要建立一個(gè)函數(shù)R(t),用來描述雨量隨時(shí)間變化的規(guī)律。,（1）雨連續(xù)穩(wěn)定的下落。,雨下降的過程中保持恒定的速度，即：,（2）降雨開始較慢，中間逐漸加快，達(dá)到最大速度后又減小,1）降雨速度先線性增長(zhǎng)后又線性減?。?2）考慮另一個(gè)模型：,該模型中

25、用兩個(gè)代定參數(shù)來描述降雨情況，并且在t=a/b處達(dá)到最大值,注意：用語言描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象往往是不明確的,一類比較常見的增長(zhǎng)模型：,用這些典型的函數(shù)或其他簡(jiǎn)單的函數(shù)可以組合成豐富多彩，滿足我們要求的函數(shù)形式，但是要用這些函數(shù)解決具體的實(shí)際問題，還必須給出個(gè)參數(shù)的值。實(shí)際，許多參數(shù)值經(jīng)常對(duì)應(yīng)實(shí)際問題的不同特征。,三、求解數(shù)學(xué)模型,當(dāng)我們建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型后，往往招手求解數(shù)學(xué)模型是一個(gè)重要而又困難的工作，因?yàn)樗煌谇蠼饧償?shù)學(xué)問題：,1）不同數(shù)學(xué)模型求解一般涉及不同的數(shù)學(xué)分支的專門知識(shí),2）現(xiàn)實(shí)世界中的許多問題，僅靠部分 數(shù)學(xué)知識(shí)或單一的學(xué)科知識(shí)都是沒有辦法解決的。,解決方法：,1）盡可能的利用自己熟悉的

26、數(shù)學(xué)分支的知識(shí)，具備學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力。,2）借助計(jì)算機(jī)求出問題的解析解。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展為我們提供了強(qiáng)有力的工具（數(shù)學(xué)計(jì)算的軟件包）,經(jīng)驗(yàn)：一個(gè)數(shù)學(xué)模型通常包含許多的變量，如果一些變量對(duì)最終結(jié)果的影響會(huì)大于其他變量的影響，所以在達(dá)到要求精度的前提下，沒有必要引入更多的變量。,對(duì)于模型求解的一般要求：,1）一般情況下，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型應(yīng)力求使解的范圍應(yīng)盡可能的廣，從而是模型具有更大的普遍性。,2）對(duì)于比較復(fù)雜的問題應(yīng)考慮用任何特殊的方法把它解出來，然后在考慮模型的推廣。,四、模型解的分析和檢驗(yàn),必要性：在于數(shù)學(xué)建模工作應(yīng)使于現(xiàn)實(shí)世界，終于現(xiàn)實(shí)世界，最終要得到現(xiàn)實(shí)問題的解答。因此，求

27、出模型的數(shù)學(xué)解以后，必須對(duì)解的意義進(jìn)行分析、討論，即這個(gè)解說明了什么問題？是否達(dá)到了建模的目的？模型的適用范圍怎樣？,思考題：格列佛游記中，格列佛作客小人國。小人國的人們發(fā)現(xiàn)格列佛的身高是他們的12倍，他們由身體的相似性斷定：格列佛的身體的體積是小人的12的立方倍，即1728倍，所以他的食量也是小人們的1728倍。該斷言是否合理，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給予回答。,五、提交論文,1.4 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進(jìn)性,模型的強(qiáng)健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預(yù)制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn),數(shù)學(xué)模型的分類,應(yīng)用領(lǐng)域,人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài) ,數(shù)學(xué)方法,初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì) ,表現(xiàn)特性,描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,確定和隨機(jī),靜態(tài)和動(dòng)態(tài),線性和非線性,離散和連續(xù),數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué),研究?jī)?nèi)容：數(shù)學(xué)：對(duì)象的共性和一般規(guī)律 數(shù)學(xué)模型：對(duì)象的個(gè)性和特殊規(guī)律 研