1、平方根（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知活動(dòng)一：復(fù)習(xí)舊知問(wèn)題1：老師手中有一正方形圖片，若已知邊長(zhǎng)是3時(shí)，同學(xué)們說(shuō)其面積是多少呢？生：32=9 并在黑板上寫(xiě)出.問(wèn)題2：以上算式屬于我們學(xué)過(guò)的什么運(yùn)算？在此算式中存在幾個(gè)量？分別是什么？生：乘方運(yùn)算；存在三個(gè)量；底數(shù)、指數(shù)和冪.問(wèn)題3：乘方運(yùn)算是知道了哪些量求哪個(gè)量的運(yùn)算？生：底數(shù)、指數(shù)求冪的運(yùn)算.活動(dòng)二：探究新知問(wèn)題4：若正方形的面積是9時(shí)，同學(xué)們說(shuō)其邊長(zhǎng)是多少呢？師：同學(xué)們我們比較這兩種運(yùn)算，有什么區(qū)別？生：第一種運(yùn)算,是知道了底數(shù)、指數(shù)求冪的運(yùn)算即乘方運(yùn)算；第二種運(yùn)算，是知道了冪、指數(shù)求底數(shù)的運(yùn)算.師：很好，第二種運(yùn)算就是今天我們要學(xué)習(xí)的一種新運(yùn)算-

2、求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算.（板書(shū)1）2.2算術(shù)平方根設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用舊知，引入新知.學(xué)生樂(lè)于去做，敢于發(fā)言，同時(shí)，讓學(xué)生感受到，通過(guò)自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收獲，使數(shù)學(xué)課不再枯燥.注重了用數(shù)學(xué)的方法去研究問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度去思考問(wèn)題，使數(shù)學(xué)課更具有數(shù)學(xué)味，同時(shí)，也揭示了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).問(wèn)題5：若正方形的面積是3時(shí)，同學(xué)們說(shuō)其邊長(zhǎng)m又是多少呢？3m師：通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道它的范圍是多少？它具體是多少，你知道嗎？生：1.7m1.8，1.73m1.74，；是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).師：同學(xué)們，這是我們?cè)谛W(xué)遇到過(guò)“”的基礎(chǔ)上，又一次遇到不能準(zhǔn)確的去表示一個(gè)數(shù)，為了能精確的表示它，我們

3、引進(jìn)一個(gè)新的記號(hào)“” ，讀作“根號(hào)”.我們就用來(lái)表示m，這就好比小學(xué)中我們學(xué)過(guò)的圓周率3.，它就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，為了能表示它，就用一個(gè)符號(hào)“”來(lái)表示一樣的道理.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)自主探索，讓學(xué)生親身體驗(yàn)概念的形成過(guò)程, 感受到概念引入的必要性，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用.結(jié)論：像以上算式m2=3中，我們就把正數(shù)m叫做3的算術(shù)平方根.記作：“ ”，即m=問(wèn)題6：請(qǐng)仿照上面表示“若m2=3，則m=”的辦法，試著分別表示出下列正數(shù)x.(1)x2=3 (2) x2=5 (3) x2=7 (4) x2=a（a0）設(shè)計(jì)意圖：算術(shù)平方根的概念是由具體到抽象、由特殊到一般而形成的通過(guò)問(wèn)題6的嘗試，培養(yǎng)學(xué)生抽象

4、概括的能力.（二）多方聯(lián)動(dòng)、理解新知師：現(xiàn)在我們一起來(lái)概括算術(shù)平方根的定義：（板書(shū)2）：一般的，一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，則這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根.記為“”讀作“根號(hào)a”.（板書(shū)3）：0的算術(shù)平方根是0，即=0.問(wèn)題1：用含根號(hào)的式子表示下列各數(shù)的算術(shù)平方根.(多媒體出示) (1) 16 (2) 25 (3) 7 (4) 14（學(xué)生獨(dú)立完成后交流，并不失時(shí)機(jī)地追問(wèn)）師：通過(guò)此問(wèn)題，你會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)？生：象=4，=5一樣，這些正數(shù)可以寫(xiě)成有理數(shù)平方的形式，其算術(shù)平方根就可以用一個(gè)非負(fù)有理數(shù)表示，而有些正數(shù)寫(xiě)不成有理數(shù)平方的形式，其算術(shù)平方根只能用根號(hào)表示，如上面的7和14，它

5、們的算術(shù)平方根只能分別寫(xiě)成、.設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化對(duì)算術(shù)平方根概念的認(rèn)識(shí)，當(dāng)細(xì)則細(xì)，為求出數(shù)的算術(shù)平方根搭建引橋，目的在于慢中求進(jìn)，扎實(shí)有效. 師：根據(jù)同學(xué)們的認(rèn)識(shí)，我們一起來(lái)完成例題1.例題1:求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：(多媒體出示)(1)1 (2)900 解：（2）（老師板演第2題的解題過(guò)程） 302=900 900的算術(shù)平方根是30即 =30設(shè)計(jì)意圖：規(guī)范學(xué)生解題的格式，讓學(xué)生明確解題的思路. (3)106 (4)解：(4) （老師板演第4題） 的算術(shù)平方根是 即 (5)10設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的過(guò)程，摸索利用平方運(yùn)算求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的方法，讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可

6、以開(kāi)出來(lái)，有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號(hào)表示，如：10的算術(shù)平方根是同時(shí)，突出了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).思考：通過(guò)上面的例題，大家思考一下，我們?cè)谇笏阈g(shù)平方根時(shí)是借助于哪一種運(yùn)算來(lái)求的？(多媒體出示)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感知平方運(yùn)算和求正數(shù)的算術(shù)平方根是互逆的關(guān)系 問(wèn)題2：仿照“例題1”，請(qǐng)同學(xué)們自己編寫(xiě)兩道類似的題目，供其他同學(xué)解答.設(shè)計(jì)意圖：要把所學(xué)的新知識(shí)，融入到自己已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中來(lái)，通過(guò)編題，增進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，力求做到學(xué)以致用，舉一反三.師：同學(xué)們，我們都能編題了，真了不得！看來(lái)下面的實(shí)際問(wèn)題已不在話下.（出示例題2）例題2：自由下落的物體的高度h(米)與下落時(shí)間t(秒)的關(guān)系為h= 4.

7、9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達(dá)地面需要多長(zhǎng)時(shí)間？(多媒體出示)（多媒體演示解題過(guò)程）解：將h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以t=2(秒)，即鐵球到達(dá)地面需要2秒.設(shè)計(jì)意圖：用算術(shù)平方根的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，把數(shù)學(xué)與生活實(shí)施了鏈接，以增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的體悟問(wèn)題3：有意義嗎? 為什么? (多媒體出示)分析：無(wú)意義,因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都是非負(fù)數(shù),即a20，故無(wú)意義.（板書(shū)4）：性質(zhì)算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.用式子表示為(a0)為非負(fù)數(shù)，這是算術(shù)平方根的一條很重要的性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到算術(shù)平方根定義中的兩層含義：中的a是一個(gè)非負(fù)數(shù)，a的算術(shù)平

8、方根也是一個(gè)非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根這也是算術(shù)平方根的性質(zhì)雙重非負(fù)性師：現(xiàn)在，同學(xué)們對(duì)算術(shù)平方根的認(rèn)識(shí)可以說(shuō)已經(jīng)較為全面，事實(shí)到底如何呢？小試牛刀，看看自己的身手吧?。ㄈ┳灾鬟\(yùn)用、強(qiáng)化新知1.填空：(多媒體出示)(1)的算術(shù)平方根是_.(2)的算術(shù)平方根為_(kāi).(3)的算術(shù)平方根為_(kāi).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)遞進(jìn)式的填空題，檢測(cè)學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根概念的把握情況，并通過(guò)（3）小題突出審題意識(shí)、優(yōu)化學(xué)生的思維習(xí)慣.2.若一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為3時(shí)，當(dāng)面積擴(kuò)大原來(lái)的4倍后，其大正方形的邊長(zhǎng)b變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？(多媒體出示)解：b2 = 432 =36 即：大正方形的邊長(zhǎng)是原來(lái)邊長(zhǎng)的2倍. 3請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出一些數(shù)

9、的算術(shù)平方根，使它分別是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)限不循環(huán)小數(shù).(多媒體出示)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這樣的開(kāi)放式訓(xùn)練，使學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根概念的認(rèn)識(shí)和理解得到升華，讓學(xué)生再一次品嘗到成功的喜悅.在師生互動(dòng)的過(guò)程中，將課堂推向了高潮，把難以理解的知識(shí)，像剝竹筍一樣一層一層的剝開(kāi)，使學(xué)生眼前豁然一亮.同時(shí)，也突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).師：同學(xué)們說(shuō)的都很好，看來(lái)我們通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，有了很多的收獲.（四）合作交流、歸納總結(jié)同學(xué)們，通過(guò)本節(jié)課的共同學(xué)習(xí)，請(qǐng)你從知識(shí)、方法與情感等方面談一談自己的認(rèn)識(shí).師：這節(jié)課主要就平方根中的算術(shù)平方根進(jìn)行討論,求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)正數(shù)的平方正好是互逆的過(guò)程，因此，求正數(shù)的算術(shù)平方根實(shí)

10、際上可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的平方運(yùn)算. 只不過(guò)，只有正數(shù)和0才有算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧、梳理、反思，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)得到充分的消化和吸收，理順了各知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系.老師重點(diǎn)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行強(qiáng)調(diào)：1.算術(shù)平方根概念引入的重要性，尤其是讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程以及里面所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；2.算術(shù)平方根概念應(yīng)用的廣泛性；3.倡導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、敢于創(chuàng)新.（五）布置作業(yè)，自我鞏固1.必做題：P40習(xí)題1、2、3.2.選做題：（1）一個(gè)正方形的面積為原來(lái)的100倍時(shí)，它的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？（2）一個(gè)正方形的面積變?yōu)樵瓉?lái)的n倍時(shí)，它的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置分

11、層作業(yè)，兼顧不同水平的學(xué)生，關(guān)注差異，使學(xué)生獲得各自的發(fā)展，加深學(xué)生對(duì)“公式”的進(jìn)一步理解的同時(shí)，擴(kuò)展學(xué)生的思維，讓優(yōu)秀生有舒展的舞臺(tái).附課外閱讀材料:“根號(hào)的由來(lái)”現(xiàn)在，我們都習(xí)以為常地使用根號(hào)（如等等），并感到它使用起來(lái)既簡(jiǎn)明又方便，那么，根號(hào)是怎樣產(chǎn)生和演變成現(xiàn)在這種樣子的呢？ 古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“”表示平方根；印度人在開(kāi)平方時(shí)，在被開(kāi)方數(shù)的前面寫(xiě)上ka；阿拉伯人用表示；1840年前后，德國(guó)人用一個(gè)點(diǎn)“.”來(lái)表示平方根，兩點(diǎn)“.”表示4次方根，三個(gè)點(diǎn)“.”表示立方根，比如,.3、.3、.3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根。到十六世紀(jì)初，可能是書(shū)寫(xiě)快的緣故，小點(diǎn)上帶了一條細(xì)長(zhǎng)的尾巴

12、，變成“”。1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了根號(hào)，比如他寫(xiě)4是2，9是3，并用8，8表示，。但是這種寫(xiě)法未得到普遍的認(rèn)可與采納. 與此同時(shí)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫(xiě)R來(lái)表示開(kāi)方運(yùn)算，并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個(gè)字母q，或“立方”的第一個(gè)字母c，來(lái)表示開(kāi)的是多少次方。例如，現(xiàn)在的，當(dāng)時(shí)有人寫(xiě)成R.q.4352.現(xiàn)在的，用數(shù)學(xué)家邦別利（15261572年）的符號(hào)可以寫(xiě)成 R.c.7p.R.q.14, 其中“”相當(dāng)于今天用的括號(hào)，P相當(dāng)于今天用的加號(hào)（那時(shí)候，連加減號(hào)“+”“-”還沒(méi)有通用）. 直到十七世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（15961650年）第一個(gè)使用了現(xiàn)今用的根號(hào)“”。在一本書(shū)中，笛卡爾寫(xiě)道：“如果想求的平方根，就寫(xiě)作，如果想求的立方根，則寫(xiě)作?！边@是出于什么考慮呢？有時(shí)候被開(kāi)方數(shù)的項(xiàng)數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項(xiàng)連