1、主講：林 亮 時間：2010.11 性質(zhì)：選修 對象：信科08-1、2,微分方程數(shù)值解法,2、拋物型方程的差分方法,2.0 引 言 拋物型方程，是一類重要的偏微分方程。它討論了與時間有關(guān)的非駐定問題。熱傳導(dǎo)方程就是是最簡單的一種拋物型方程。差分方法是求解偏微分方程數(shù)值解最經(jīng)典的方法之一，主要的思路是利用差分替代微分，把連續(xù)型化為離散型求出對應(yīng)的數(shù)值解，而不是解析解。,通?？紤]的定解問題有二類：,2.1 差分格式建立的基礎(chǔ),為了構(gòu)造微分方程（2.1）的有限差分逼近，首先將解區(qū)域 用二組平行于 軸和 軸的直線構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋,網(wǎng)格邊長在 方向?yàn)?，在 方向?yàn)?（如圖2.1所示） 。 和 分別稱為沿空

2、間方向和時間方向的步長，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)。對初值問題來說，網(wǎng)格是 對于初值問題，設(shè) 則網(wǎng)格是,以下，研究構(gòu)造逼近微分方程的差分方程的方法。作為第一步，我們研究導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式。為此對二元函數(shù) 定義 ，且假定 具有我們需要的有界偏導(dǎo)數(shù)。由Taylor展開，有 則 在 處對 的一階偏導(dǎo)數(shù)的三個可能的近似表達(dá)式為 （2.5） （2.6）,等式右邊分別是函數(shù) 在點(diǎn) 關(guān)于 的向前差商、向后差商、中心差商。顯然，用差商近似導(dǎo)數(shù)存在誤差，令 則 稱為截斷誤差， ，稱截斷誤差階為 。顯然，用向后差商近似導(dǎo)數(shù)的截斷誤差階也為 ，而中心差商近似導(dǎo)數(shù)的截斷誤差階為 。 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的近似差商表達(dá)式，也可以通

3、過線性算子作為推導(dǎo)工具得到，定義： 為 方向偏導(dǎo)數(shù)算子,為 方向位移算子， 為 方向平均算子， 其中 及如下 方向的差分算子 前差算子 后差算子 ， 中心算子 ， 現(xiàn)在建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系，由Taylor展開，有,為恒等算子 由 得 或者 因?yàn)?， 故,同理 因?yàn)?則 式（2.14），（2.15），（2.17）分別給出了偏導(dǎo)數(shù)算子關(guān)于前差、后差、中心差的級數(shù)表達(dá)式，利用這些關(guān)系式就可以給出偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式。,又由 ， 可得二階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式,對于三階、四階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式為 從以上這些偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，我們可以得到偏導(dǎo)數(shù)的各種精度的近似表達(dá)式，例如在 的前差表達(dá)式中取第一

4、項(xiàng)，則有,且 又由二階導(dǎo)數(shù)的前差表達(dá)式（2.19.1），得 因此 即截斷誤差階為 。 表2.1列出了偏導(dǎo)數(shù)的差分近似式及相應(yīng)的截斷誤差。,表2.1 偏導(dǎo)數(shù)的差分近似式及相應(yīng)的截斷誤差 偏 導(dǎo) 數(shù) 有 限 差 分 逼 近 誤 差 階,現(xiàn)在研究構(gòu)造微分方程（2.1）的差分方程的方法，為此記微分方程（2.1）為 是關(guān)于 的線性算子， 。包括二個相鄰時間層的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的差分方程可以從Taylor展開式推出 設(shè) ，于是,如果算子 不依賴于 ，即 ，則 將式（2.17）， 代入算子 中，即在 中心差分算子 代替了微分算子 ，于是有 目前通常用于解方程（2.1）的各種差分方程，都是方程（2.25）的近似表達(dá)式

5、。下面各節(jié)，我們將以式（2.25）為基礎(chǔ)，對簡單的拋物型方程，推導(dǎo)一些常用差分格式。 對于用差分方法求偏微分方程的數(shù)值解來說，設(shè)計差分方程，用之作為微分方程的近似，僅僅是第一步。本章除 致力于這一研究外，特別著重討論了諸如差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等基本問題，它們也是本書的主要內(nèi)容之一。,2.2 顯式差分格式 現(xiàn)在，對拋物型方程（2.1）的幾種特殊情況，從方程（2.25）出發(fā)，構(gòu)造微分方程的有限差分近似。 2.2.1 一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯式格式 首先考慮一維熱傳導(dǎo)方程 的差分近似，由此 ，方程（2.24）為,（2.26）,則我們可以令 ，連同格式（2.29）則可沿著 方向逐層把結(jié)點(diǎn)上的

6、值計算出來，以此作微分方程解在結(jié)點(diǎn) 處的值 的近似值。對初邊值問題，同樣使用格式（2.29）連同初、邊值條件把求解區(qū)域中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)上的 值計算出來，作為微分方程初邊值問題的近似解，由于格式（2.29)關(guān)于 明顯解出來，所以稱為顯式差分格式。格式（2.29）稱為解熱傳導(dǎo)方程（2.26）的古典顯式格式。顯然，對于求解來說，這種格式是最方便的，然而下面看到這種格式并不總是穩(wěn)定的。 應(yīng)該指出，為了推導(dǎo)古典顯式差分格式（2.29），可以簡單地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式,代入格式（2.40）即為格式（2.39），差分格式（2.40）的推導(dǎo)方法，即在微分方程中直接用差分算子代替 ，正如前面已經(jīng)指出的是推導(dǎo)差分

7、格式的一個常用方法。 顯然，微分方程（2.36），（2.38）中的 如果為 ，即其自變量包括空間變量和時間變量，這時差分格式（2.37），（2.39），（2.40）同樣是微分方程的具有截斷誤差階 的差分近似，這時格式（2.37），（2.39）中 和 ，格式（2.40）中 和 分別換成 ， 。,與顯式差分格式不同，隱式差分格式中包括了（n+1）時間層上二個或二個以上結(jié)點(diǎn)處的未知值（例如 ），使用隱式差分格式和使用顯式差分格式求解完全不同。相對而言，使用隱式差分格式求解，每時間層包含有較多的計算工作量。從后面對差分格式的穩(wěn)定性分析可知，隱式格式的優(yōu)點(diǎn)在于，其穩(wěn)定性要求對步長比的限制大為放寬，而這正

8、是我們所期望的。,2.3 隱式差分格式,2.3.1 古典隱式格式,現(xiàn)在對熱傳導(dǎo)方程 推導(dǎo)其最簡單的隱式差分逼近古典隱式格式。由 故 式中左邊如果僅保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且以 替代 ，則得差分格式 或者 （2.41） 格式用圖2.5表示，其截斷誤差階為 ,與古典差分格式相同。 圖2.5：,為了求得第（n+1）時間層上的 的值，必須通過解線性代數(shù)方程組。這是一個隱式差分格式，必須聯(lián)合其初邊值條件求解。格式（2.41）通常稱為古典隱式格式。 我們也可以通過直接用差分算子代替 的方法，即 代入微分方程，得到格式（2.41）。,2.3.2 Crank-Nicolson隱式格式,Crank-Nicolson隱式

9、差分格式是解熱傳導(dǎo)方程（2.26）的常用的差分格式，為了推導(dǎo)它，由式（2.24），有 由 得 （2.42） 兩邊僅保留前二項(xiàng)，用 代替 ，則得差分格式 （2.43） 這是一個隱式差分格式，稱為Crank-Nicolson差分格式，截斷誤差階為 ，也可寫為,（2.44） 由于格式（2.44）中包括六個結(jié)點(diǎn)，故也可稱為六點(diǎn)格式（如圖2.6所示）。 圖2.6 也可將 代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。,基于如同Crank-Nicolson格式一樣的六個網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)可獲得另一精度較高的差分格式，如在前式（2.42）中僅保留直到 的項(xiàng)，即有 由式(2.19.3),可令 則可得

10、代入上式，則有如下差分格式： 它稱為Douglas差分格式，具有截斷誤差階,（2.45）,例2.1 解初邊值問題,應(yīng)用（1） Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述問題。對每一種情況，令 （r的這個值對Douglas格式有最小的截斷誤差），由初值條件和邊值條件通過上述二個格式的每一個逐層求出 的值。一般而言，當(dāng)由第n層去求第（n+1）層的解時，二個格式的每一個都需解一線性代數(shù)方程組，其系數(shù)是三對角陣，可用追趕法求解（見2.4）。已知上述定解問題的理論解，記為 ， 有 記 分別為用高速數(shù)字計算機(jī)解出的Crank-Nicolson格式的解，而 分別表示它們對精確解

11、的誤差， 在 ，時間層n上， 。 它們的值由表2.2給出。,表2.2,2.3.3 加權(quán)六點(diǎn)隱式格式,前面，我們已經(jīng)推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)方程（2.26）的古典顯示格式、古典隱式格式及Crank-Nicolson格式等。實(shí)際上，它們都可以作為本節(jié)推導(dǎo)的加權(quán)六點(diǎn)隱式格式的特殊情形。 由 得 即,兩邊去掉高于二階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，且用 代替 ， 則得差分格式 或 這是一個六點(diǎn)差分格式（如圖2.7所示），稱為加權(quán)六點(diǎn)差分格式。,（2.46）,顯然，當(dāng) 時，加權(quán)六點(diǎn)格式為古典顯示格式； 當(dāng) 時，加權(quán)六點(diǎn)格式為Crank-Nicolson隱式格式； 當(dāng) 時，加權(quán)六點(diǎn)格式為古典隱式格式。 加權(quán)六點(diǎn)格式亦可直接由差商代替導(dǎo)數(shù)得到,圖2.7,2.