1、1,第一二節(jié) 隨機(jī)樣本與抽樣分布,教學(xué)內(nèi)容 1 總體和樣本 2 統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 3 統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布 4 幾個(gè)重要的抽樣分布定理 教學(xué)重點(diǎn) 統(tǒng)計(jì)量，幾個(gè)重要的抽樣分布定理,2,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，是重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小的一門學(xué)科，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。它們之間聯(lián)系密切但也有根本差別，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法在自然科學(xué)、工程技術(shù)研究及社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用極其廣泛。,3,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科. 它是研究怎樣以有效的方式收集、 整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問題作出推斷和預(yù)測(cè)，甚至

2、為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。,由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)它規(guī) 律性，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次 觀察，被研究的規(guī)律性一定能清楚地 呈現(xiàn)出來.,客觀上， 只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象 進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn) ，我們只 能獲得局部觀察資料.,4,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為理論基礎(chǔ), 根據(jù)抽樣信息, 對(duì)研究對(duì)象(總體)作出合理的估計(jì)和判斷的學(xué)科. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的步驟: (1) 收集、整理數(shù)據(jù)資料 (2) 對(duì)所得數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研究 (3) 對(duì)所研究對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出估計(jì) 或判斷.,5,一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.,1.總體,研究對(duì)象的所構(gòu)成的一個(gè)集合全體稱為總體，是一維隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量),

3、記為X.,總體,一、總體和樣本,總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量.,總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體，,總體,有限總體,無限總體,6,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究中，人們往往研究有關(guān)對(duì)象的某一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和為此，對(duì)這一指標(biāo)進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，觀察試驗(yàn)結(jié)果全部觀察值，從而考察該數(shù)量指標(biāo)的分布情況.這時(shí)，每個(gè)具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.每個(gè)數(shù)量指標(biāo)就是個(gè)體.,7,由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性. 從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.,這樣，總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來描述.,8,而概率分布正是刻劃這種集體性質(zhì)的適當(dāng)工具.

4、 因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.,從另一方面看,統(tǒng)計(jì)的任務(wù),是根據(jù)從總體中抽取的樣本，去推斷總體的性質(zhì).,由于我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指標(biāo)(如人的身高、體重，燈泡的壽命,汽車的耗油量) ，所謂總體的性質(zhì)，無非就是這些指標(biāo)值的集體的性質(zhì).,9,例如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.,某批 燈泡的壽命,總體,壽命X可用一概 率分布來刻劃,鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號(hào) 或用其分布函數(shù)表示總體. 如 說總體X或總體F(x) .,10,類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)狀況時(shí)，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用

5、X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.,統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念 的要旨是：總體就是一個(gè) 概率分布.,11,參數(shù)的分布，為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息 ，這一抽取過程稱為 “抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱為樣本. 樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量.,2. 樣本,從國(guó)產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn),樣本容量為5,抽到哪5輛是隨機(jī)的,總體分布一般是未知，或只知道是包含未知,12,一旦取定一組樣本X1， ,Xn ,得到n個(gè)具體的數(shù) (x1,x2,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡(jiǎn)稱樣本值

6、.,n稱為這個(gè)樣本的容量.,13,最常用的一種抽樣叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”，其特點(diǎn)：,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一個(gè)與所考察的總體有 相同的分布.,2. 獨(dú)立性： X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.,3.同分布: 樣本與總體服從同一分布.,14,定義：,由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,Xn表示.,15,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.,=F(x1) F(x2) F(xn),若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為f(x),則其

7、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為,其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,=f(x1) f(x2) f(xn),16,事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值. 如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測(cè)量身高,得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本. 我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.,3. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系,17,統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料-樣本值，去推斷總體的情況-總體分布F(x)的性質(zhì).,總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.,樣本是聯(lián)系二者的橋梁,18,由樣本值去推斷總體情況，在應(yīng)用時(shí), 往往 不是直接使用樣本,需要對(duì)樣本值

8、進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些依賴于樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.,1. 統(tǒng)計(jì)量,這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量. 它是完全由樣本決定的量.,二、統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),19,定義,請(qǐng)注意 :,注：統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。它不含任何未知參數(shù).,20,+,21,幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量,樣本平均值,它反映了 總體均值 的信息,樣本方差,它反映了總體 方差的信息,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,22,它反映了總體k 階矩的信息,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,k=1,2,它反映了總體k 階 中心矩的信息,23,它們的觀察值分別為：,樣本均值,樣本方差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本k階矩,樣本k階中心矩,24,請(qǐng)

9、注意 :,25,2. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),26,27,三 統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布,記為,分布,1、,定義: 設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布 N(0,1), 則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布.,分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.,28,來定義.,其中伽瑪函數(shù) 通過積分,分布的密度函數(shù)為,記為,29,30,31,1. 設(shè) 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布,則,這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性.,2設(shè) 且X1,X2相互獨(dú)立，,32,E(X)=n, D(X)=2n.,4若,近似正態(tài)分布N(0,1).,(應(yīng)用中心極限定理可得 ),33,34,概率密度函數(shù)為：,2、t 分布,35,t分布的性質(zhì),36,37,3

10、8,由定義可見，,3、F分布,F(n2,n1),39,即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.,1.F分布的數(shù)學(xué)期望為:,若n22,若FF(n1,n2)， F的概率密度為,F分布的性質(zhì),40,2.F分布的分位數(shù),41,三、幾個(gè)重要的抽樣分布定理,42,43,定理 1 (樣本均值的分布),44,n取不同值時(shí)樣本 均值 的分布,請(qǐng)注意 :,45,定理 2 (樣本方差的分布),n取不同值時(shí) 的分布,46,定理 3 (樣本均值的分布),定理 4 (兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布),分別是,50,六、小結(jié),在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)量的概念 , 幾個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量及其分布 ,即抽樣分布. 要求大家熟練地掌握它們 .,51,常用的統(tǒng)計(jì)量,樣本平均值,樣本方差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,52,抽樣分布,t