1、第一講應(yīng)力圓與空間應(yīng)力,空間問題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問題的平衡微分方程 空間問題的幾何方程和物理方程 空間軸對稱問題的基本方程,主要內(nèi)容,5.1 空間問題的基本未知量與方程,什么空間問題？,一維問題：一個基本坐標(biāo)變量，如桿件。是材料力學(xué)的重點內(nèi)容。 二維問題：二個基本坐標(biāo)變量，如平面問題。是本課程的重點內(nèi)容。 三維問題：三個基本坐標(biāo)變量，即空間問題。是本課程需了解的內(nèi)容。,空間問題的基本未知量與方程,任何一個彈性體是空間物體（坐標(biāo)變量為x、y、z），外力為空間力系。實際的彈性力學(xué)問題都是空間問題。,對于空間問題，在彈性體區(qū)域內(nèi)，仍然要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理

2、學(xué)三方面條件，分別建立三套方程；并在邊界上建立應(yīng)力邊界條件或位移邊界條件。,空間問題與平面問題具有相似性：基本未知數(shù)、基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的。,空間問題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問題的平衡微分方程 空間問題的幾何方程和物理方程 空間軸對稱問題的基本方程,主要內(nèi)容,5.2 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)分析,1：求經(jīng)過該點任何斜面上的應(yīng)力p？ 2：求經(jīng)過該點的任何斜面上的正應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn ？ 3：若經(jīng)過該點的主應(yīng)力s和應(yīng)力主方向a ？ 4：求經(jīng)過該點的正應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn 的最大和最小值？,一點應(yīng)力狀態(tài)分析：已知任一點處坐標(biāo)面上的6個應(yīng)力分量，求解如

3、下四個問題：,過一點任意斜面的全應(yīng)力,問題1：已知任一點處坐標(biāo)面上的6個應(yīng)力分量，求經(jīng)過該點的任何斜面上的應(yīng)力p？,取如圖所示微分單元體PABC，當(dāng)平面ABC無限接近于P點時，該平面上的應(yīng)力即為所求應(yīng)力p 。,根據(jù)該微分單元的力系平衡條件，在x、y和z軸方向上合力為0，從而有：,過一點任意斜面的全應(yīng)力,特殊情況下，若平面ABC是彈性體上受面力作用的邊界面，則應(yīng)力p就成為面力，于是由(72)式可得出 :,上式就是空間問題的應(yīng)力邊界條件，它表明應(yīng)力分量的邊界值與面力分量之間的關(guān)系。,過一點任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力,問題2：求經(jīng)過該點的任何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？,平面ABC上的正應(yīng)力sn即為上面所

4、求的全應(yīng)力p向法線方向n的投影：,平面ABC上的切應(yīng)力tn則由下式求得：,過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向,問題3：若經(jīng)過該點的某一斜面上的切應(yīng)力為0，求此斜面上的主應(yīng)力s和應(yīng)力主方向a ？,設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力為0，則該面上的全應(yīng)力等于正應(yīng)力，也等于主應(yīng)力，于是有,又由于有,過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向,從而有關(guān)于方向余弦l,m, n的線性方程組：,其有非零解的充要條件為系數(shù)行列式等于0，即,過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向,其中：,主應(yīng)力特征方程,展開，得：,過一點任意斜面的主應(yīng)力與主方向,主應(yīng)力特征方程有三個實數(shù)根，s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點三個主應(yīng)力，從而確定彈性體內(nèi)

5、部任意一點主應(yīng)力。 主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。 I1、I2、I3 分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。特征方程的根是確定的，即系數(shù)I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。,結(jié)合 l2+m2+n2=1則可求主應(yīng)力方向。,過一點任意斜面的主應(yīng)力與方向,對于主應(yīng)力方向，將s1，s2，s3分別代入,可以證明：三個主應(yīng)力方向，是互相垂直的。,過一點任意斜面的應(yīng)力極值,彈性體內(nèi)任意一點的最大正應(yīng)力為s1，最小正應(yīng)力為s 3 最大切應(yīng)力可以通過主應(yīng)力計算，等于(s 1-s3)/2 。 最大切應(yīng)力作用平面也可以通過主應(yīng)力方向得到，其作用平面通過s 2

6、應(yīng)力主方向，并且平分s 1和s 3應(yīng)力主方向的夾角（即45角）。,問題4、已知任一點處三個主應(yīng)力（ s1 s2 s3 ），及其應(yīng)力主方向，可求得經(jīng)過該點正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值,例1：證明主應(yīng)力是正應(yīng)力的極值（極大或極?。?解：為了計算方便，選三個主方向為坐標(biāo)軸向，則有 sx= s1 ， sy= s2 ， sz= s3 ， txy= tyz=txz= 0 設(shè)任意斜微分面的方向余弦為（ l, m , n )，其上的全應(yīng)力為公式（72），正應(yīng)力為公式（73），代入有 sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2 設(shè)三個主應(yīng)力大小順序為 s1

7、s2 s3 ，則正應(yīng)力取極大值條件： m=n=0, | l | =1, 即極大值為s1。 同理極小值為s3。,例題,例1：證明主應(yīng)力是正應(yīng)力的極值（極大或極?。?。,解：為了計算方便，選三個主方向為坐標(biāo)軸向，則有 sx= s1 ， sy= s2 ， sz= s3 ， txy= tyz=txz= 0 設(shè)任意斜微分面的方向余弦為（ l, m , n )，其正應(yīng)力為公式（73），代入有 sn= s1 l2+s2m2+ s3n2 =s1 (s1- s2)m2- (s1- s3)n2 設(shè)三個主應(yīng)力大小順序為 s1 s2 s3 ，則正應(yīng)力取極大值條件： m=n=0, | l | =1, 即極大值為s1。 同

8、理極小值為s3。,例題,空間問題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問題的平衡微分方程 空間問題的幾何方程和物理方程 空間軸對稱問題的基本方程,主要內(nèi)容,5.3 空間問題的平衡微分方程,空間問題的平衡微分方程是考慮空間問題的靜力學(xué)條件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元體的靜力平衡條件來推導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。,分析問題方法：空間力系和力矩的平衡條件,分析手段：微分單元體（微分）,意義：彈性體區(qū)域內(nèi)任一點的微分體的靜力平衡條件,空間問題的平衡微分方程,由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布，且作用于對應(yīng)面的中心。 同理，六面體所受的體力也可以認(rèn)為是均勻分布，且作用于

9、它的體積的中心。,如圖所示，考慮一個微小的正平行六面體，其x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。,空間問題的平衡微分方程,考慮問題的基礎(chǔ)知識：靜力學(xué)知識 微分單元體：正平行六面體，每個邊界面都是坐標(biāo)平面，各坐標(biāo)面上有三個應(yīng)力分量。,應(yīng)力符號約定 （1）正坐標(biāo)面：外法線方向沿坐標(biāo)軸正向的坐標(biāo)面 應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向時取正值，沿坐標(biāo)軸負(fù)向時取負(fù)值；反之亦然。 （2）負(fù)坐標(biāo)面：外法線方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的坐標(biāo)面 應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向時取負(fù)值，沿坐標(biāo)軸負(fù)向時取正值；反之亦然。,由泰勒級數(shù)展開，求各面應(yīng)力,空間問題的平衡微分方程,分析問題方法：空間力系和力矩的平衡條件（6個）,意義：彈性體區(qū)域內(nèi)任一點的微分體

10、的平衡條件,平衡微分方程,切應(yīng)力互等定理,平衡微分方程：注意事項,列平衡條件時，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；,應(yīng)用了兩個基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)和小變形假設(shè)，也是其適用的條件。,平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式的各項為x方向的量，第二項為y方向的量，第三項為z方向的量；,平衡微分方程：注意事項,空間問題的平衡微分方程有3個方程，但包含有6個未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學(xué)條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學(xué)和物理學(xué)方面的條件。,平衡微分方程表示了彈性體內(nèi)任意點的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學(xué)條件

11、是嚴(yán)格和精確的；,空間問題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問題的平衡微分方程 空間問題的幾何方程和物理方程 空間軸對稱問題的基本方程,主要內(nèi)容,5.4 空間問題的幾何方程及物理方程,幾何方程：位移與應(yīng)變的關(guān)系，分為線應(yīng)變和切應(yīng)變,空間問題的位移邊界條件：在給定約束位移的邊界面上，位移分量在邊界面上的值與邊界上的約束位移值相等。,體應(yīng)變：單位體積的體積改變,空間問題的物理方程,物理方程：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，又稱本構(gòu)方程和廣義胡克定律。,E 為楊氏模量 G 為剪切彈性模量 m 為橫向變形系數(shù)泊松比,對于理想彈性體，按應(yīng)力表示為,用于按應(yīng)力求解的方法。,空間問題的物理方程,按應(yīng)

12、變表示的物理方程為,用于按位移求解的方法。,總結(jié)：基本未知量與方程,位移分量 ux uy uz,應(yīng)變分量 ex ey ez gxy gxz gyz,應(yīng)力分量 sx sy sz txy txz tyz,體力f,幾何方程,物理方程,平衡微分方程,已知位移,已知面力,例題,例題：將立方體的橡皮放在一同樣大小的剛性體鐵盒容器內(nèi)，其上用鐵蓋封閉，鐵蓋上受均勻分布垂直壓力 q 作用，假設(shè)橡皮與容器間無摩擦力，試求橡皮中的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量。,例題,1、建立求解的直角坐標(biāo)系 2、橡皮在力的作用下會發(fā)生形變，但由于容器為剛性體，因此其在 x 和 y 兩個方向變形受到約束，位移u=v= 0，相應(yīng)的正應(yīng)變ex=

13、ey= 0。,5、由于橡皮與容器間無摩擦力，因此切應(yīng)力均為 0 ，切應(yīng)變也為0。,4、將上述條件代入物理方程，可解得sx和 sy，進(jìn)而求ez,3、橡皮的上邊界受均勻分布垂直壓力 q 作用，因此有 sz= -q （見8.2內(nèi)容）,空間問題的基本未知量與基本方程 物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)分析 空間問題的平衡微分方程 空間問題的幾何方程和物理方程 空間軸對稱問題的基本方程,主要內(nèi)容,5.5 空間軸對稱問題的基本方程,空間軸對稱：彈性體的形狀、約束和外力都是對稱于某一軸，通過對稱軸的任何平面均是對稱面，則所有物理量（應(yīng)力、應(yīng)變和位移）都對稱于該軸。宜采用圓柱坐標(biāo)系（r, j, z）。,由于對稱，在對稱面兩邊對應(yīng)點的物理量滿足如下兩個條件 （1）數(shù)值軸對稱：所有物理量與環(huán)向坐標(biāo) j 無關(guān)，同一環(huán)向線上的值相等，且只是徑向坐標(biāo) r 和軸向坐標(biāo) z 的函數(shù)。 （2）方向軸對稱，即方向?qū)ΨQ于 z 軸，方向不對稱于 z 軸的物理量不能存在，從而有：,軸對稱問題的平衡微分方程,由徑向軸 r 和軸向 z 兩個方向的空間力系的平衡條件，可推導(dǎo)出“平衡微分方程”：,整理可得,（