1、如何用好題目中的條件暗示有一類題目，我們在解前面幾小題時，其解題思路和方法往往對解后面問題起著很好的暗示作用，現以一次函數中出現的兩道題目為例予以說明，供同學們在學習過程中參考?！纠?】直線與x軸、y軸分別交于B、A兩點，如圖1。圖1 （1）求B、A兩點的坐標； （2）把AOB以直線AB為軸翻折，點O落在平面上的點C處，以BC為一邊作等邊BCD。求D點的坐標。 解析：（1）容易求得，A（0，1）。 （2）如圖2，圖2 ，A（0，1）， OB=，OA=1。 在RtAOB中，容易求得OBA=30 把AOB以直線AB為軸翻折， OBC=2OBA=60，BO=BC。 OBC是等邊三角形 以BC為一邊作

2、等邊BCD，則D的落點有兩種情形，可分別求得D的坐標為（0，0），。反思：在求得第（1）小題中B、A兩點的坐標分別為B（，0），A（0，1），實質上暗示著RtAOB中，OA=1，OB=，即暗示著OBA=30，為解第（2）小題做了很好的鋪墊。 【例2】直線與x軸、y軸分別交于A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰RtABC，BAC=90，且點P（1，a）為坐標系中的一個動點，如圖3。圖3 （1）求三解形ABC的面積。 （2）證明不論a取任何實數，三角形BOP的面積是一個常數； （3）要使得ABC和ABP的面積相等，求實數a的值。 解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1）， 。 （2）

3、如圖4，連接OP、BP，過點P作PD垂直于y軸，垂足為D，則三角形BOP的面積為，故不論a取任何實數，三角形BOP的面積是一個常數。圖4 （3）如圖4，當點P在第四象限時由第（2）小題中的結果：，和第（3）小題的條件可得： ， ， ，。 如圖5，當點P在第一象限時，用類似的方法可求得a=。圖5 反思：由第（1）小題中求得的和第（2）小題中證明所得的結論：三角形BOP的面積是一個常數，實質上暗示著第（3）小題的解題思路：利用來解。通過這兩道題目的分析可以發(fā)現，在解題過程中，如果經?；仡^看一看、想一想，我們往往會發(fā)現，很多題目的解題思路原來就在題目之中。分式運算的幾點技巧分式運算的一般方法就是按分

4、式運算法則和運算順序進行運算。但對某些較復雜的題目，使用一般方法有時計算量太大，導致出錯，有時甚至算不出來，下面列舉幾例介紹分式運算的幾點技巧。一. 分段分步法 例1. 計算：解：原式說明：若一次通分，計算量太大，注意到相鄰分母之間，依次通分構成平方差公式，采用分段分步法，則可使問題簡單化。同類方法練習題：計算（答案：）二. 分裂整數法 例2. 計算： 解：原式說明：當算式中各分式的分子次數與分母次數相同次數時，一般要先利用分裂整數法對分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數法。同類方法練習題：有一些“幸?！迸频目ㄆㄆ瑪的坎粸榱悖瑘F團的卡片比這些多6張，圓圓的卡片比這些多2

5、張，且知團團的卡片是圓圓的整數倍，求團團和圓圓各多少張卡片？（答案：團團8張，圓圓4張）三. 拆項法 例3. 計算：解：原式說明：對形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各個分式拆項，正負抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆項法。同類方法練習題：計算：（答案：）四. 活用乘法公式 例4. 計算：解：當且時，原式說明：在本題中，原式乘以同一代數式，之后再除以同一代數式還原，就可連續(xù)使用平方差公式，分式運算中若恰當使用乘法公式，可使計算簡便。同類方法練習題：計算：（答案：）五. 巧選運算順序 例5. 計算：解：原式說明：此題若按兩數和（差）的平方公式展開前后兩個括號，計算將很

6、麻煩，一般兩個分式的和（差）的平方或立方不能按公式展開，只能先算括號內的。同類方法練習題：解方程（答案：）六. 見繁化簡 例6. 計算：解：原式說明：若運算中的分式不是最簡分式，可先約分，再選用適當方法通分，可使運算簡便。同類方法練習題：解方程（答案：）在分式運算中，應根據分式的具體特點，靈活機動，活用方法。方能起到事半功倍的效率。多邊形內角和問題的求解技巧1、多邊形的每個內角與和它相鄰的外角互為補角。這個條件在題目中一般不會作為已知條件給出，因此，在解題時應根據需要加以利用。 例1 一個正多邊形的每個內角都比與它相鄰的外角的3倍還多20，求此正多邊形的邊數。 分析：由于這個正多邊形的每個外角

7、與和它相鄰的內角互為鄰補角，根據題意，可先求出外角的大小，再求邊數。 解：設每個外角的大小為x，則與它相鄰的內角的大小為（3x+20）度。根據題意，得 解得，即每個外角都等于40。 所以，即這個正多邊形的邊數為9。 2、利用多邊形內角和公式求多邊形的邊數時，經常設邊數為n，然后列出方程或不等式，利用代數方法解決幾何問題。 例2 已知一個多邊形的每個內角都等于135，求這個多邊形的邊數。 解法1：設多邊形的邊數為n，依題意，得解得n=8，即這個多邊形的邊數為8。解法2：依題意知，這個多邊形的每個外角是180135=45。所以，多邊形的邊數，即這個多邊形的邊數為8。 3、正多邊形各內角相等，因此各

8、外角也相等。有時利用這種隱含關系求多邊形的邊數，比直接利用內角和求邊數簡捷（如上題解法2）。解題時要注意這種逆向思維的運用。例3 一個多邊形除去一個內角后，其余內角之和是2570，求這個多邊形的邊數。分析：從已知條件可知這是一個與多邊形內角和有關的問題。由于除去一個內角后，其余內角之和為2570，故該多邊形的內角和比2570大。又由相鄰內、外角間的關系可知，內角和比2570+180小?？闪谐鲫P于邊數n的不等式，先確定邊數n的范圍，再求邊數。解：設這個多邊形的邊數為n，則內角和為（n2）180。依題意，得解這個不等式，得。所以n=17，即這個多邊形的邊數為17。說明：這類題都隱含著邊數為正整數這

9、個條件。 4、把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形是研究不規(guī)則圖形的常用方法，其解題關鍵是構造合適的圖形。 例4 如圖1，求1+2+3+4+5+6+7的大小。圖1 分析：解題關鍵是把該圖形與凸多邊形聯系起來，從而利用多邊形內角和定理來解決，因此可考慮連接CF。 解：連接CF。 COF=DOE 1+2=OCF+OFC 1+2+3+4+5+6+7 =OCF+OFC+3+4+5+6+7 =（52）180證明三角形全等的一般思路一、當已知兩個三角形中有兩邊對應相等時，找夾角相等（SAS）或第三邊相等（SSS）。例1. 如圖1，已知：ACBC，CDCE，ACBDCE60，且B、C、D在同一條直線上。求證：ADBE

10、分析：要證ADBE注意到AD是ABD或ACD的邊，BE是DEB或BCE的邊，只需證明ABDDEB或ACDBCE，顯然ABD和DEB不全等，而在ACD和BCE中，ACBC，CDCE，故只需證它們的夾角ACDBCE即可。而ACDACE60，BCEACE60故ACDBCE（SAS）二、當已知兩個三角形中有兩角對應相等時，找夾邊對應相等（ASA）或找任一等角的對邊對應相等（AAS）例2. 如圖2，已知點A、B、C、D在同一直線上，ACBD，AMCN，BMDN。求證：AMCN分析：要證AMCN只要證ABMCDN，在這兩個三角形中，由于AMCN，BMDN，可得ANCD，ABMD可見有兩角對應相等，故只需證

11、其夾邊相等即可。又由于ACBD，而故ABCD故ABMCDN（ASA）三、當已知兩個三角形中，有一邊和一角對應相等時，可找另一角對應相等（AAS，ASA）或找夾等角的另一邊對應相等（SAS）例3. 如圖3，已知：CABDBA，ACBD，AC交BD于點O。求證：CABDBA分析：要證CABDBA在這兩個三角形中，有一角對應相等（CABDBA）一邊對應相等（ACBD）故可找夾等角的邊（AB、BA）對應相等即可（利用SAS）。四、已知兩直角三角形中，當有一邊對應相等時，可找另一邊對應相等或一銳角對應相等例4. 如圖4，已知ABAC，ADAG，AEBG交BG的延長線于E，AFCD交CD的延長線于F。求證

12、：AEAF分析：要證AEAF只需證RtAEBRtAFC，在這兩個直角三角形中，已有ABAC故只需證BC即可而要證BC需證ABGACD，這顯然易證（SAS）。五、當已知圖形中無現存的全等三角形時，可通過添作輔助線構成證題所需的三角形例5. 如圖5，已知ABC中，BAC90，ABAC，BD是中線，AEBD于F，交BC于E。求證：ADBCDE分析：由于結論中的兩個角分屬的兩個三角形不全等，故需作輔助線。注意到AEBD，BAC90，有12，又ABAC。故可以2為一內角，以AC為一直角邊構造一個與ABD全等的直角三角形，為此，過C作CGAC交AE的延長線于G，則ABDCAG，故ADBCGA。對照結論需證

13、CGACDE又要證CGECDE，這可由CGADCD，ECGEBAECD，CECE而獲證。計算線段長度的方法技巧線段是基本的幾何圖形，是三角形、四邊形的構成元素。初一同學對于線段的計算感到有點摸不著頭緒。這是介紹幾個計算方法，供同學們參考。1. 利用幾何的直觀性，尋找所求量與已知量的關系例1. 如圖1所示，點C分線段AB為5：7，點D分線段AB為5：11，若CD10cm，求AB。圖1分析：觀察圖形可知，DCACAD，根據已知的比例關系，AC、AD均可用所求量AB表示，這樣通過已知量DC，即可求出AB。解：因為點C分線段AB為5：7，點D分線段AB為5：11所以又又因為CD10cm，所以AB96c

14、m2. 利用線段中點性質，進行線段長度變換例2. 如圖2，已知線段AB80cm，M為AB的中點，P在MB上，N為PB的中點，且NB14cm，求PA的長。圖2分析：從圖形可以看出，線段AP等于線段AM與MP的和，也等于線段AB與PB的差，所以，欲求線段PA的長，只要能求出線段AM與MP的長或者求出線段PB的長即可。解：因為N是PB的中點，NB14所以PB2NB21428又因為APABPB，AB80所以AP802852（cm）說明：在幾何計算中，要結合圖形中已知線段和所求線段的位置關系求解，要做到步步有根據。3. 根據圖形及已知條件，利用解方程的方法求解例3. 如圖3，一條直線上順次有A、B、C、

15、D四點，且C為AD的中點，求BC是AB的多少倍？圖3分析：題中已給出線段BC、AB、AD的一個方程，又C為AD的中點，即，觀察圖形可知，可得到BC、AB、AD又一個方程，從而可用AD分別表示AB、BC。解：因為C為AD的中點，所以因為，即又由、可得：即BC3AB例4. 如圖4，C、D、E將線段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分別是AC、CD、DE、EB的中點，且MN21，求PQ的長。圖4分析：根據比例關系及中點性質，若設AC2x，則AB上每一條短線段都可以用x的代數式表示。觀察圖形，已知量MNMCCDDEEN，可轉化成x的方程，先求出x，再求出PQ。解：若設AC2x，則于是有那么即

16、解得：所以4. 分類討論圖形的多樣性，注意所求結果的完整性例5. 已知線段AB8cm，在直線AB上畫線段BC3cm，求AC的長。分析：線段AB是固定不變的，而直線上線段BC的位置與C點的位置有關，C點可在線段AB上，也可在線段AB的延長線上，如圖5。圖5解：因為AB8cm，BC3cm所以或綜上所述，線段的計算，除選擇適當的方法外，觀察圖形是關鍵，同時還要注意規(guī)范書寫格式，注意幾何圖形的多樣性等?！揪毩暋?. 已知如圖6，B、C兩點把線段AD分成2：3：4三部分，M是線段AD的中點，CD16cm。求：（1）MC的長；（2）AB：BM的值。圖62. 如圖7所示，已知AB40cm，C為AB的中點，D

17、為CB上一點，E為DB的中點，EB6cm，求CD的長。圖7【答案】1. （1）2cm；（2）4：52. 8 cm列方程解應用題的方法一. 直譯法設元后，視元為已知數，根據題設條件，把數學語言直譯為代數式，即可列出方程。例1. （2004年山西?。┘?、乙兩個建筑隊完成某項工程，若兩隊同時開工，12天就可以完成工程；乙隊單獨完成該工程比甲隊單獨完成該工程多用10天。問單獨完成此項工程，乙隊需要多少天？解：設乙單獨完成工程需x天，則甲單獨完成工程需（x10）天。根據題意，得去分母，得解得經檢驗，都是原方程的根，但當時，當時，因時間不能為負數，所以只能取。答：乙隊單獨完成此項工程需要30天。點評：設乙

18、單獨完成工程需x天后，視x為已知，則根據題意，原原本本的把語言直譯成代數式，則方程很快列出。二. 列表法設出未知數后，視元為已知數，然后綜合已知條件，把握數量關系，分別填入表格中，則等量關系不難得出，進而列出方程（組）。例2. （2004年海淀區(qū)）在某校舉辦的足球比賽中規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。某班足球隊參加了12場比賽，共得22分，已知這個隊只輸了2場，那么此隊勝幾場？平幾場？解：設此隊勝x場，平y(tǒng)場由列表與題中數量關系，得解這個方程組，得答：此隊勝6場，平4場。點評：通過列表格，將題目中的數量關系顯露出來，使人明白，從勝、平、負的場數之和等于12，總得分22分是勝場、

19、平場、負場得分之和。建立方程組，利用列表法求解使人易懂。三. 參數法對復雜的應用題，可設參數，則往往可起到橋梁的作用。例3. 從A、B兩汽車站相向各發(fā)一輛車，再隔相同時間又同時發(fā)出一輛車，按此規(guī)律不斷發(fā)車，且知所有汽車的速度相同，A、B間有騎自行車者，發(fā)覺每12分鐘，后面追來一輛汽車，每隔4分鐘迎面開來一輛汽車，問A、B兩站每隔幾分鐘發(fā)車一次？解：設汽車的速度為x米/分；自行車的速度為y米/分，同一車站發(fā)出的相鄰兩輛汽車相隔m米。A、B兩站每隔n分鐘發(fā)一次車。則從A站發(fā)來的兩輛汽車間的距離為12（汽車行進速度）（自行車行進速度），從B站發(fā)來的兩輛汽車間的距離為：4（汽車行進速度）（自行車行進速

20、度）。由題意，得得：所以由（3）得，又由（4）得答：A、B兩站相隔6分鐘發(fā)車一次。點評：本例不用直接設元，因為無從著手，需要的已知量較多，但又是未知的，而選用x、y、m、n的參數，從而很容易列出方程組，使復雜的問題迎刃而解。四. 線示法運用圖線，把已知和未知條件間的數量關系，用線性圖表示出來，則等量關系可一目了然。例4. A、B兩地間的路程為36里，甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，二人相遇后，甲再走2小時30分鐘到達B地，乙再行走1小時36分鐘到達A地，求二人的速度？解：設甲的速度為x里/小時，乙的速度為y里/小時，2小時30分小時，1小時36分小時。從出發(fā)到相遇時間小時，甲從A到相遇點C

21、要走里，乙從C地到A走了里；乙從B到C要走里，甲從C到B走里，從圖1可以看清。圖1于是解得答：甲、乙二人的速度分別是8里/小時，10里/小時。點評：把速度、時間、距離三者關系用線性圖表示，再把數量關系寫在直線圖上，則等量關系一目了然。圓與圓位置關系中常見輔助線的作法1. 作相交兩圓的公共弦利用圓內接四邊形的性質或公共圓周角，溝通兩圓的角的關系。例1. 如圖1，O1和O2相交于A、B兩點，過A、B分別作直線CD、EF，且CD/EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CEDF。圖1分析：CE和DF分別是O1和O2的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結AB，則可得圓內接四邊形ABEC和ABFD，

22、利用圓內接四邊形的性質，則易證明。證明：連結AB因為又所以即CE/DF又CD/EF所以四邊形CEFD為平行四邊形即CEDF2. 作兩相交圓的連心線利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構造直角三角形，解決有關的計算問題。例2. O1和O2相交于A、B兩點，兩圓的半徑分別為和，公共弦長為12。求的度數。圖2分析：公共弦AB可位于圓心O1、O2同側或異側，要求的度數，可利用角的和或差來求解。解：當AB位于O1、O2異側時，如圖2。連結O1、O2，交AB于C，則。分別在和中，利用銳角三角函數可求得故當AB位于O1、O2同側時，如圖3圖3則綜上可知或3. 兩圓相切，作過切點的公切線利用弦切角定理溝通兩圓中角

23、的關系例3. 如圖4，O1和O2外切于點P，A是O1上的一點，直線AC切O2于C，交O1于B，直線AP交O2于D。求證PC平分。圖4分析：要證PC平分，即證而的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。若過P作兩圓的公切線PT，與AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一個外角所以又從而有即PC平分4. 兩圓相切，作連心線利用連心線經過切點的性質，解決有關計算問題。例4. 如圖5，O1與半徑為4的O2內切于點A，O1經過圓心O2，作O2的直徑BC，交O1于點D，EF為過點A的公切線，若，求的度數。圖5分析：是弦切角，要求其度數，需將其轉化為圓周角或圓心角，因此連結O1O2、O1A，則O1O2必過點A，且O2

24、A為O1的直徑，易知。連結DA，則于是又為銳角所以從而有5. 過小圓圓心作大圓半徑的垂線有關公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構造直角三角形。例5. 如圖6，O1與O2外切于點O，兩外公切線PCD和PBA切O1、O2于點C、D、B、A，且其夾角為，求兩圓的半徑。圖6分析：如圖6，連結O1O2、O1A、O2B，過點O2作，構造，下面很容易求出結果。請同學們自己給出解答。（答案：兩圓的半徑分別為3和1）幾何證明的幾種特殊方法一、分解法即把一個圖形分解成幾個簡單的圖形或分成具有某種特殊關系的圖形，然后借助于分解后的圖形的性質來推導出所要證明的問題的一種方法。例1. 如圖1，ABCD是任意四邊

25、形，E、F將AB分成三等分，G、H將CD分成三等分。求證：四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的三分之一。分析：四邊形問題我們常分割成三角形問題來解決。于是考慮連結AC、AH、HF、FC，由題意和“等底等高的三角形面積相等”知：所以所以又所以故二、特殊化法即先考察命題的某些特殊情形，從特例中探索一般規(guī)律，或從特例中得到啟發(fā)，從而解決一般問題的一種方法。例2. 如圖2，設P為AOB的平分線上一定點，以OP為弦作一圓，分別交OA、OB于C、D。求證：OC與OD的和為定值。分析：學生往往找不到定值是什么，若將“弦OP”特殊化為“直徑OP”，則OPC和OPD是全等直角三角形，因而，OCOD，于是判斷OC與OD的和