1、2020年8月25日星期二,1,本節(jié)內(nèi)容 本節(jié)綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 1.函數(shù)的單調(diào)性(升降性.增減性) 2.函數(shù)的極大值.極小值(極值) 3.函數(shù)的最大值.最小值(最值) 4.函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)(凸性),2020年8月25日星期二,2,一、函數(shù)的上升與下降（單調(diào)性）,o,o,a,b,a,b,從導(dǎo)數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：觀察在(a,b)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性變化關(guān)系情況,2020年8月25日星期二,3,Th. 1 （導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)升降的關(guān)系）,證明：(必要性)由導(dǎo)數(shù)定義和極限保號性、(略) (充分性)任取 由中值定理可證.,推論：（嚴(yán)格單調(diào)的充分條件）若f (x)在a,b

2、連 續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且 不變號，則,2020年8月25日星期二,4,注1. Th.1 表明，討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，只須判別 其導(dǎo)數(shù)的符號即可，其步驟是: 確定 的定義域； 求 ，令 求出分界點(diǎn)； 用分界點(diǎn)將定義域分成若干個開區(qū)間； 判別 在每個開區(qū)間內(nèi)的符號，即可 確定 的嚴(yán)格單調(diào)性（嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間）.,2020年8月25日星期二,5,例1. 討論 的上升、下降情況.,解：該函數(shù)的定義域是 R. 由,它們將 R 分成三個區(qū)間：,加題,2020年8月25日星期二,6,例2.,解：定義域是 R. 由,現(xiàn)列表討論如下：,討論,的單調(diào)性.,加題,2020年8月25日星期二,7,Th. 2 （不等式

3、定理）若 f (x) 與 g(x) 滿足條件：,(1) 在a,b上可導(dǎo);,注2. 利用函數(shù)的升降性及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來證明不等式,y,x,M,o,a,x,b,擴(kuò)展,2020年8月25日星期二,8,Th. 2 若F(x)滿足,證明：,2020年8月25日星期二,9,例3. 證明,證明：,從而得證.,單調(diào)增加,單調(diào)減少,加題,2020年8月25日星期二,10,例4.,證明：,2020年8月25日星期二,11,證畢,證畢,2020年8月25日星期二,12,例5. 證明方程,證明：,2020年8月25日星期二,13,二、函數(shù)的極值,1. Def（局部極值）,2020年8月25日星期二,14,o,a,b

4、,x,y,注3. 函數(shù)的極值的局部性. 定義中可以有,2020年8月25日星期二,15,直覺:函數(shù)的極值可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)處取得.,駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)（極值可疑點(diǎn)）.,2020年8月25日星期二,16,結(jié)論:,o,x,y,y=2x,y=x,1.,2.,2020年8月25日星期二,17,Th.3 （極值的必要條件）,由此求出可能使 f (x) 取極值的點(diǎn)之后，如何判定它是取極大值還是極小值呢？,圖示可見, 由導(dǎo)數(shù)符號可判定極大極小值點(diǎn).,極值可疑點(diǎn),2020年8月25日星期二,18,Th. 4 （極值判別法之一）充分條件,2020年8月25日星期二,19,證明：由函數(shù)的升降

5、性及極值定義得到.,列表如下：,2020年8月25日星期二,20,注4.,2020年8月25日星期二,21,Th.5 （極值判別法之二）充分條件,證明：由二階導(dǎo)數(shù)定義及極限保號性、Th4得證.,2020年8月25日星期二,22,Th. 5,(1),(2),定理5是定理5的特殊情形.,擴(kuò)充內(nèi)容,2020年8月25日星期二,23,證明：根據(jù)Taylor公式, 有,證畢,2020年8月25日星期二,24,例6.,解：,現(xiàn)列表討論如下：(以這兩個點(diǎn)劃分R),即駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)分別為:,y,x,o,2020年8月25日星期二,25,2020年8月25日星期二,26,例7.,解：,加題,2020年8月25日

6、星期二,27,例8.,解：,加題,2020年8月25日星期二,28,三、函數(shù)的最大值和最小值,最大、最小、最省的問題,如何求出函數(shù)在某區(qū)間上的最大值和最小值？,最大值、最小值問題,y,x,a,O,b,2020年8月25日星期二,29,注1： 函數(shù)在某一區(qū)間上的最大值和最小值, 也叫全局極值.,可導(dǎo)函數(shù)在a,b上的最大、最小值的求解步驟：,注2：,2020年8月25日星期二,30,例9.,解：,所以函數(shù)的最大值是0, 最小值是2.,例10. 某生產(chǎn)隊要建造一個體積為 50 立方米的有蓋圓柱形氨水池. 問這個氨水池的高和底半徑取多大時，用料最?。?解：用料最省就是要求氨水池的表面積最小. 設(shè)氨水池

7、的底半徑是 r, 高是 h, 它 的表面積,h,r,O,2020年8月25日星期二,31,目標(biāo)函數(shù),2020年8月25日星期二,32,用V50立方米代入，得到,答：當(dāng)圓柱形氨水池的高和直徑相等時，用料最省。,這時相應(yīng)的高為,2020年8月25日星期二,33,弧度,弧長,2020年8月25日星期二,34,目標(biāo)函數(shù),常數(shù),2020年8月25日星期二,35,四、函數(shù)的凸性,是描述函數(shù)性狀（彎曲方向）的一個更深入的概念.,例如：,2020年8月25日星期二,36,上凸(下凹),下凸(上凹),幾何角度：,2020年8月25日星期二,37,1. Def（函數(shù)的凸性）,2020年8月25日星期二,38,注：

8、函數(shù)的凹凸性，下凸即是上凹.,2020年8月25日星期二,39,2. 函數(shù)的凸性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,Th. 6,證明：,由Lagrange公式，得：,事實(shí)上,2020年8月25日星期二,40,其中，,由得 上凸，故 下凸.,2020年8月25日星期二,41,Def: 若曲線 在其上一點(diǎn) 的 一側(cè)為上凸，另一側(cè)為下凸，則稱此點(diǎn)為曲線 的拐點(diǎn). (曲線上使凸凹性改變的點(diǎn)),x,y,o,y =f (x),2020年8月25日星期二,42,注：,y,x,o,2020年8月25日星期二,43, 求 ； 令 ，求解，并劃分f (x)的定義域?yàn)槿舾?個開區(qū)間. 判別 在每個開區(qū)間的符號. 設(shè) , 列表討論如下：

9、,3. 討論 f (x) 的凸性及拐點(diǎn)的步驟,注：對 不存在的點(diǎn)亦可類似討論.,2020年8月25日星期二,44,例1. 討論 的凸性及拐點(diǎn).,解：,x,y,o,1,2020年8月25日星期二,45,例2.,解：其定義域是 R. 由,x,y,o,1,1,-1,-1,駐點(diǎn),升降性與極值性,2020年8月25日星期二,46,又,列表如下：,注意:拐點(diǎn)是曲線上使曲線彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn),凹凸性與拐點(diǎn),2020年8月25日星期二,47,統(tǒng)一列表如下:,合二為一,2020年8月25日星期二,48,4. 曲線的漸近線,x,y,o,雙曲線,的漸近線,2020年8月25日星期二,49,y,x,o,P,K,M,

10、Def: 當(dāng)曲線 C 上動點(diǎn) M 沿著曲線 C 無限遠(yuǎn)移時，若動點(diǎn) M 到某直線 L 的距離無限趨于零，則稱直線 L是曲線 C 的漸近線.,C,L,L,曲線的漸近線有兩種： 1.垂直漸近線: x=c (垂直于x軸) 2.斜漸近線: y=ax+b （包括水平漸近線 y=b）,2020年8月25日星期二,50,(1)垂直漸近線,例如：,即y軸是它的垂直漸進(jìn)線.,2020年8月25日星期二,51, 斜漸近線,如何求出漸近線 呢？,因 是常數(shù)，故,見PPT 49圖,2020年8月25日星期二,52,性質(zhì): 直線 是曲線 的斜漸近線,因此得,從而,由得,特別，當(dāng) a = 0 時，就是水平漸近線. 即：,

11、直線 是水平漸近線,求法,2020年8月25日星期二,53,例3.,解：由于,故 x = 1 為 f (x) 的垂直漸近線.,又,故,2020年8月25日星期二,54,故 是漸近線.,例4. 求雙曲線 的漸近線.,解：,因函數(shù)在,加題,計算得:,2020年8月25日星期二,55,例5. ,加題,P221例題,按漸近線的 定義求極限,2020年8月25日星期二,56,綜合運(yùn)用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形, 一般步驟：,5. 函數(shù)的圖形,(1) 確定函數(shù) 的定義域, 討論函數(shù)的奇偶性、 對稱性、周期性等性態(tài);,(2) 求出使 不存在的點(diǎn), 把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間;,(3) 根據(jù) 的符號, 確定函

12、數(shù)的上升或下降區(qū)間, 圖形的上凸或下凸區(qū)間, 以及極值和拐點(diǎn); 可列表討論;,(4) 確定函數(shù)圖形的水平、垂直漸近線、斜漸近線;,(5) 描點(diǎn)作圖. 描出極值點(diǎn)、拐點(diǎn), 曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).,2020年8月25日星期二,57,例12.,解：,(3) 列表討論如下：,P222例題,2020年8月25日星期二,58,表1. 函數(shù)的上升、下降和極值.,表2. 函數(shù)的上凸、下凸和拐點(diǎn).,2020年8月25日星期二,59,表3. 統(tǒng)一列表,2020年8月25日星期二,60,(5) 曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A (1,0) .,綜合上述討論作圖如下：,2020年8月25日星期二,61,例13.,解：,（3）列表

13、討論如下：,2020年8月25日星期二,62,上 凸,下 凸,無 定 義,又因?yàn)?即，a=1，b=-1,2020年8月25日星期二,63,(5) 曲線與坐標(biāo)軸交于原點(diǎn), 作圖如下：,2020年8月25日星期二,64,Matlab程序,2020年8月25日星期二,65,函數(shù)圖形的描繪,綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.,最大值,最小值,極大值,極小值,拐點(diǎn),凹的,凸的,單增,單減,2020年8月25日星期二,66,1.單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用: (利用函數(shù)的單調(diào)性),(2)求函數(shù)的極值 (注意最值與極值的區(qū)別),(3)實(shí)際問題求最值的步驟(求函數(shù)的極值基礎(chǔ)上求最值),五、小結(jié),本節(jié)綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài),(1) 可以確定某些方程實(shí)根的個數(shù)和證明不等式.,2020年8月25日星期二,67,極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值. (聯(lián)系圖形理解）,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).,函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.,判別法,第一