1、第二章 隨機變量及其分布,隨機變量 離散性隨機變量及其分布 隨機變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 隨機變量的函數(shù)的分布,一、問題的提出,在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣.,求截面面積 的分布.,例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，,一般地、設(shè)隨機變量X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.,二、離散型隨機變量函數(shù)的分布,解：,求 Y= (X-1)2 的分布律.,如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當 并項即可.,一般，若X是離散型隨機變量 ，X的分布律為,則 Y=g(X)的

2、分布律,如X的分布律：,則 Y=X2 的分布律為：,三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,解：設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，,例2,設(shè) X ,求 Y=2X+8 的概率密度.,FY(y)=P Y y = P 2X+8 y ,于是Y 的密度函數(shù),故,Y=2X+8,例3,設(shè) X 具有概率密度fX(x) ,求Y=X2的概率密度.,求導可得,當 y0 時,注意到 Y=X2 0，故當 y 0時，,解：設(shè)X和Y 的分布函數(shù)分別為FX(x) 和FY(y),若,則 Y=X2 的概率密度為：,則Y服從自由為1 的卡方分布,從上述兩例中可以看到，在求PYy 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X,從而得到與

3、g(X) y 等價的關(guān)于X的不等式 .,用 代替 X2 y ,這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應的概率密度.,這是求隨機變量的函數(shù)的分布的一種常用方法.,下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度 .,其中，,x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù),定理 設(shè)隨機變量X取值于區(qū)間a,b，具有概率密度 fX(x),又設(shè)y=g(x)處處可導，且對于任意x, 恒有g(shù)(x)0(或恒有g(shù)(x)0) ，則Y=g(X)是一個連續(xù)型隨機變量，概率密度為,例如,例4 設(shè)隨機變量XN(,2) ,證明： Y=aX+b(a0)也服從正態(tài)分布,例5,例5,解：當0yA時,例6 設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在區(qū)間(0,1)上,故 y=-2lnx0,于是 y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù),由前述定理得,注意取 絕對值,已知X在(0,1)上服從均勻分布，,代入 的表達式中,得,即Y服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.,連續(xù)型隨機變量函數(shù)g(X)的分布,1. 判斷在X的取值