1、1,第三章 靜力平衡問題,3.1 平面力系的平衡問題,3.2 含摩擦的平衡問題,3.3 平面桁架,3.4 空間力系的平衡問題,2,3.1 平面力系的平衡問題,靜力平衡問題，一般有二類： 對于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。,3,例3.1 求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。,解：1）畫整體受力圖。 注意BC為二力桿。,驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 結(jié)果正確。,Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0,MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0,3）解方程得到; FC=4KN; FAy=1KN;

2、FAx=2KN,矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。,4,例3.3 夾緊裝置如圖。設各處均為光滑接觸， 求P力作用下工件所受到的夾緊力。,研究整體，受力如圖。 需要求的是FC。,列平衡方程： Fy=FB-F=0 FB=F,解：逐一討論A、B，可解。,MA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0 FC=Fctga。 越小，夾緊力越大。,5,例3.4 梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊 重 P=10kN，求A、B處的約束力。,由(1)知，F(xiàn)Ax=0。 剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。,列平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FA

3、y+FBy-P-W=0 -(2) MA(F) =MA+12FBy-4W-8P=0 -(3),解：1)取系統(tǒng)整體為研究對象，畫受力圖。,6,2)小車為研究對象，列平衡方程： MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN,有時需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解,7,補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A、B 及 D處的約束力。,解：研究整體有：,Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB=0 FAx=-FB=-F/2,研究CD桿，有：,MC(F)=FDya=0

4、YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FAC Fx=FDx-FACcos45=0 FDx,8,求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：,弄清題意，標出已知量,9,問題1： 不計桿重，求連桿機構(gòu) 在圖示平衡位置時F1、 F2之關(guān)系。,10,問題1. 不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時 F1、 F2之關(guān)系。,11,問題2: 三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量， 求A、B處的約束力。,解: BC為二力桿; 外力只有力偶M, 以AC為軸寫投影方程可知， A處反力為FAy=0 , 整體受力如圖所示。,12,問題2再論: 不計拱重，分析三鉸拱的約束力。,三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點。

5、三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。,13,問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。,先分離研究對象，再處理其上的分布載荷。,解： 1）研究整體：,一般力系，3個方程， 4個未知量。不足以求解,14,討論：判斷下述分析的正誤。,MA = M+Fa-2Pa,固定鉸的約束力作用于銷釘上。 多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。,15,問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。,16,分析BC和ABD桿受力,再考察AB桿，,由 MA ( F ) = 0 可求得FBx,17,由ABD桿的平衡有：,更簡單方法,?,?,18,二、 靜不定問題的概念,1)靜定問題,由平衡方程即可確

6、定的靜力平衡問題 - 未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù),19,本題作用于小車的是 平行于Y軸的平行力系， 系統(tǒng) 三個物體8個平衡方程； 約束 固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸 處各1共8個反力， 是靜定問題。,如例3 系統(tǒng)三個物體9個方程， 反力只有8個。 小車可能發(fā)生水平運動。,未被完全約束住的物體及系統(tǒng) 約束力未知量數(shù)少于獨立的平衡方程數(shù)，有運動的可能。,20,2）靜不定問題或超靜定問題,完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)獨立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。,3n=3; m=4 一次靜不定,3n=3; m=6 三次靜不定,3n=3; m=4 一次靜不定,21,討論：試判

7、斷下列問題的靜定性。,約束力數(shù) m=8 物體數(shù) n=3 m3n 未完全約束,m=6 n=2 m=3n 靜定結(jié)構(gòu),m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n 靜定結(jié)構(gòu),22,第一次作業(yè)： 思考題：3-1， 習題：3-1，3-3，3-5，3-6。,23,3.2 含摩擦的平衡問題,摩擦給運動帶來阻力，消耗能量，降低效率； 利用摩擦可進行傳動、驅(qū)動、制動、自鎖。,24,只要滑動未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。,FT=0 , 靜止，無運動趨勢；F=0 0FTc , 運動狀態(tài)； 一般有 FTFmax,25,二、 含摩擦的平衡問 題的分析方法,特點：,26,A,O,M,C,F1min,e,a,L,2）

8、制動桿受力如圖。有平衡方程 MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0 摩擦方程 Fmax=f FN; FN=M/fr 代入后求得 F1min=(Ma/fr-Me/r)/L =M(a-fe)/frL,1）取輪O研究，畫受力圖。 有平衡方程 MO(F)=M-Fmaxr=0 得到 Fmax=M/r,解：討論F1最小而制動，摩擦 力最大的臨界狀態(tài)。,例3.5 剎車裝置如圖。塊C與輪間摩擦系數(shù)為 f，求F1min。,27,例3.6 圖示懸臂可沿柱滑動, 摩擦系數(shù)為f。為保證 不卡住，試確定力F0的作用位置。,解：1) F0向下，懸臂下滑。,臨界狀態(tài) x=xmax；有： Fx=FND-FNA=0；

9、 Fy=FA+FD-F0=0 MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0 及 FA=fFNA , FD= fFND 解得： FNA=FND=F0/2f, xmax=h/2f.,懸臂不卡住， 應有 xmaxh/2f 而與F0無關(guān)。,28,例3.6 圖示懸臂可沿柱滑動, 摩擦系數(shù)為f。為保證不 卡住，試確定力P的作用位置。,解：2) F0向上，懸臂上滑。,臨界狀態(tài) x=xmax；有： Fx=FNB-FNC=0； Fy=F0-FB-FC=0 MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0 及 FB=fFNB , FC= fFNC 同樣解得： FNB=FNC=F0/2f x

10、max=h/2f.,懸臂不卡住， 應有 xmaxh/2f， 而與F0無關(guān)； 與上下滑無關(guān)。,29,含摩擦的平衡問題的分析方法：,研究對象 受力分析 平衡方程求解,先回憶靜力平衡問題的一般方法：,30,討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象,設主動力之合力FA的作用線與法向夾角為a， 若ar，則無論FA多大，總有全反力FR與之平衡， 物體保持靜止； 這種現(xiàn)象稱為自鎖。,全反力FR: 支承面法向反力 FN和摩擦力F之合力。,若ar, 則無論FA多小，物體都不能保持平衡。,31,1. 木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為 ，試問a為多大時木楔打入后才不致退出？,利用自鎖條件，研究下述問題：,32,1. 木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

11、，試問a為多大時 木楔打入后才不致退出？,不計重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對稱性)。 臨界狀態(tài)有： a=r; 自鎖條件為： a r,33,問題： 2. 夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在P力除去 后工件不松，求偏心距e.,自鎖條件： a tga=e/(d/2) tg=f 得: ef d/2,34,討論二：皮帶傳動的摩擦力,皮帶在輪O上，包角。緊邊FT2，松邊FT1，輪O逆時針轉(zhuǎn)動。,Fy=dFN-FTsin(d/2) -(FT+dFT)sin(d/2)=0,35,注意d是小量，有sin(d/2)=d/2, cos(d/2)=1；略去二

12、階小量 dFTd； 得到： fdFN=dFT 和 dFN=FTd; 再消去dFN， 即得： dFT/FT=fd,積分,注意=0時，F(xiàn)T=FT1；=時，F(xiàn)T=FT2；有：,36,3.3 平面桁架,節(jié)點： 桿件間的結(jié)合點。,桁架： 桿組成的幾何形狀不變的框架。,平面桁架: 桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。,37,平面桁架的 基本假設:,2) 載荷都在桁架平面內(nèi)，且作用于桁架的節(jié)點處， 或可作為集中載荷分配到節(jié)點處。,故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點處受力 的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。,1) 桿均為無重直桿， 節(jié)點均為鉸接點。,3) 桁架只在節(jié)點處受到約束。,38,無余桿桁架： 除掉任一根桿便不

13、能保持其形狀的桁架。,n個節(jié)點均為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個約束，m+3=2n，是靜定問題。,基本三角形有三根桿和三個節(jié)點，其余(n-3) 個節(jié)點各對應二根桿，故無余桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點數(shù)n應當滿足：m=3+2(n-3), 即 m=2n-3,顯然，無余桿桁架是靜定桁架。 有余桿桁架（m2n-3）則是靜不定的。,保證桁架形狀的必要條件： 以基本三角形框架為基礎，每增加一個節(jié)點就增加二根桿件。,39,討論下列桁架及問題的靜定性,桿數(shù)m=7 節(jié)點數(shù)n=5 m=2n-3 靜定桁架 約束力3 靜定問題,靜定桁架，反力4 一次靜不定問題,桿數(shù)m=6 節(jié)點數(shù)n=4 m-(2n-3

14、)=1 靜不定桁架 約束力3 一次靜不定,m-(2n-3)=2 靜不定桁架，約束力4 三次靜不定問題,40,3.3.1 節(jié)點法,用節(jié)點法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為： 1)研究整體，求約束反力。,求反力FAx、FAy 由A節(jié)點平衡求F1、F2 由D節(jié)點求F3、F4 由 C節(jié)點求F5、F6 ,3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點開始， 逐一列平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負，則是壓力。,2)選取節(jié)點，畫受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。,41,3.3.2 截面法,2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對象，畫受 力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。,截面法求解桁架問題時，不需逐個節(jié)點分析， 其分析方法可歸納為：,3)列

15、平衡方程求解。因為作用在研究對象上的是平 面一般力系，可以求解三個未知量。,1)研究整體，求約束反力。,42,例3.11 求圖示桁架中各桿內(nèi)力。,解：1)由整體求得： FAx=0; FAy=FE/3; FB=2FE/3,2)截取上部研究，受力如圖。 有 Fx=0 F2=0 MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0 F3=-2FE/3 Fy=-FE-F3-F1=0 F1=-FE/3,綜合應用截面法和截點法，可提高求解的效率。,3)研究節(jié)點D，可求得 F4、F6； 4)研究節(jié)點C，可求得 F5、F6； 5)研究節(jié)點B，可求得 F8、F9； 6)研究節(jié)點A，可求得 F7、F9；,43,討論1：求桁

16、架指定截面內(nèi)力。,44,討論2：廣告牌由桿系支撐，風載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？,思考： 零桿是否可以不要？,45,第二次作業(yè)： 思考題：3-4 習題：3-13, 3-14, 3-16(b)，3-17(b)。,46,3.4 空間力系的平衡問題,力F 為Fz、Fxy； Fxy Fx、Fy； 顯然有： F=Fx+Fy+Fz；,且各分力為：,由定義知后者正是力在各軸上的投影。故正交坐標系中，投影和分力大小相等。,1. 力在空間坐標軸上的投影,一、空間中力的投影及力對軸之矩,47,物體繞軸轉(zhuǎn)動效果的度量。 以門繞Z軸的轉(zhuǎn)動為例來討論。 顯然有：Mz(F1)=0； Mz(F2)=0,2.力對軸之矩,將力

17、F分解成Fz和Fxy，可見 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy),力F對軸z之矩Mz(F)等于力在垂直于z軸之平面內(nèi)的分量Fxy對軸z與該平面交點O之矩。 正負用右手螺旋法確定，（圖中為正）。,力與軸相交或平行，對軸之矩為零,故力F對軸z之矩可寫為：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh,48,例: 試寫出圖中力F在軸上的投影及對力軸之矩。,Fx=0 Fy=(4/5)F=40 N FZ=(3/5)F=30 N Mx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 N.m My(F)=-FZx=-6 N.m Mz(F)=Fyx=8 N.m,利用合力矩定理，進一步有： Mz(F)=Mz(

18、Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fxy+ Fyx,49,二、力偶矩的矢量表示,故：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。 力偶矩矢是自由矢，可平行移動。 空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和進行。,力偶矩矢 M：矢的長度-力偶矩的大??； 矢的指向-力偶作用平面的法向； 轉(zhuǎn)向由右手螺旋規(guī)則確定。,1）力偶矩矢：,空間力偶對剛體的作用效果取決于 力偶矩的大?。?力偶作用平面； 力偶的轉(zhuǎn)動方向。,50,2）空間中力對點之矩與力對軸之矩間的關(guān)系,如圖，力F對O點之矩矢MO垂直于 OAB平面且大小為： MO=MO(F)=Fh=2OAB,另一方面：力F 對軸z之矩等于其在垂直于軸 z之的平面內(nèi)的分量F

19、對交點O之矩，即：,故可知：力對某點之矩矢在過該點任一軸上 的投影等于力對該軸之矩。,Mz(F)=M0(F )=2Oab=2OABcos= MOcos,51,三、空間一般力系的簡化和平衡,1.空間中力的平移,力F平移到A點，得到力F 和作用于Abc面以力偶矩矢表示的力偶M。,52,空間一般力系,向某點 O平移,主矢FR,主矩MO,若FR 0，MO=0；為一合力，且 FR=FR,53,3.空間力系的平衡方程,Fx=0； Fy=0； Fz=0 Mx(F)=0； My(F)=0； Mz(F)=0,54,四、空間平衡問題的求解,例3.11 列傳動軸的平衡方程。 解：畫受力圖。,1. 直接求解法,0 0

20、 0 FByAB 0 0 -FCrAC 0 FDrAD,0 0 0 0 -FBzAB FCtAC 0 FDtAD 0,0 0 0 0 0 -FCtr1 0 FDtr2 0,0 0 FAz 0 FBz -FCt 0 -FDt 0,0 FAy 0 FBy 0 0 -FCr 0 FDr,FAx 0 0 0 0 0 0 0 0,列表給出各力 在軸上的投影及對軸之矩。,55,Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0 -(3) Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0 -(4) My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=

21、0 -(5) Mz(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6),利用上述六個方程，除可求五個約束反力外，還可確定平衡時軸所傳遞的載荷。,由表中各行可列出六個平衡方程為：,56,空間平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平面力系，必為平衡力系。,如由Axy平面力系可寫出平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) (Mz(F)=) MA(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6),57,同理，由Axz平面力系可寫方程(1) (3) (5)； 由Ayz平面力系可寫出平衡方程(2) (3) (4)。,空間力系投影到三個坐標平面

22、上，即可轉(zhuǎn)化為平面力系的平衡問題。 優(yōu)點是圖形簡明，幾何關(guān)系清楚，工程常用。,x,z,A,y,FCr,B,C,D,FCt,FDr,FDt,FBy,FBz,FAy,FAx,FAz,58,討論：試分析圖中鋼架各銷餃處的約束反力。,Z方向無載荷作用，設各處Z方向反力為零。,Fz=0 (自動滿足) Mz2(F)=0 FAy=F1; Fy=0 FBy=-FCy; Mx(F)=-150F1+50FCy-50FBy=0 FCy=3F1/2 Fx=FAx+FBx+FCx+F2=0 My(F)=-150F2-50FCx+50FBx=0,剩余二個方程，不足以確定FAx、FBx、FCx三個未知量；需要考慮三鉸裝配時在 x方向的間隙情況。,59,五、重心,起重機翻傾；船舶穩(wěn)定；旋轉(zhuǎn)機械振動,重力 W=mg, 重心在質(zhì)量對稱軸上。,重心是物體各部分所受重力之合力的作用點。,重心不一定在物體上。,60,例：單位厚度拼合板框如圖，求重心。,3. 組合法（利用合力矩定理）,確定簡單均質(zhì)圖形組合而成的非均質(zhì)物體的重心。,后一種方法也稱 負面積法或加減法。,61,討論1：試確定圖中平面圖形的重心xC。,組合圖形 =三角形1+三角形2-