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1、,全微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第五節(jié),一、全微分方程,二、積分因子法,第十二章,判別:,P, Q 在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 為全微分方程,則,求解步驟:,方法1 湊微分法;,方法2 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.,1. 求原函數(shù) u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = C .,一、全微分方程,則稱,為全微分方程 ( 又叫做恰當(dāng)方程 ) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 求解,解: 因?yàn)?故這是全微分方程.,則有,因此方程的通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 求解,解:, 這是一個(gè)全微分方程 .,用湊微分
2、法求通解.,將方程改寫為,即,故原方程的通解為,或,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、積分因子法,思考: 如何解方程,這不是一個(gè)全微分方程 ,就化成例2 的方程 .,使,為全微分方程,在簡(jiǎn)單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到,為原方程的積分因子.,但若在方程兩邊同乘,若存在連續(xù)可微函數(shù),積分因子.,例2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,常用微分倒推公式:,積分因子不一定唯一 .,例如, 對(duì),可取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求解,解: 分項(xiàng)組合得,即,選擇積分因子,同乘方程兩邊 , 得,即,因此通解為,即,因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 為任意常數(shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4,習(xí)題課1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題 解方程,解法1 積分因子法.,原方程變形為,取積分因子,故通解為,此外, y = 0 也是方程的解.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解法2 化為齊次方程.,原方程變形為,積分得,將,代入 ,得通解,此外, y = 0 也是方程的解.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解法3 化為線性方程.,原方程變形為,
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