1、模糊數(shù)學模型分析,數(shù)學建模就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。這里的實際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包涵抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現(xiàn)象等內(nèi)容。一句話概括的講，用數(shù)學解決實際問題即數(shù)學的應用我們把現(xiàn)實生活中或生產(chǎn)實踐中所遇到的問題，加以分析，抽化出實質的因素，而后應用數(shù)學知識解決,數(shù)學建模競賽，它看重的是三個步驟：1、建立模型：實際問題數(shù)學問題；2、數(shù)學解答：數(shù)學問題數(shù)學解；3、模型檢驗：數(shù)學解實際問題的解決。,競賽中的發(fā)散性思維方法,借助于一系列問題來展開思路 這個問題與什么問題相似？ 如果將

2、問題分解成兩個或幾個部分會怎樣？ 極限情形（或理想狀態(tài)）如何？ 綜合問題的條件可得到什么結果？ 要實現(xiàn)問題的目標需要什么條件？ 借助于下意識的聯(lián)想（靈感）來展開思路 抓住問題的個別條件或關鍵詞展開聯(lián)想或猜想 綜合所得到的聯(lián)想和猜想，得到一些結論 進一步思考找出新思路和方法,競賽中的群體思維方法,平等地位、相互尊重、充分交流 杜絕武斷評價 不要回避責任 不要對交流失去信心,建模思想,用數(shù)學語言刻劃各種現(xiàn)象。 確定性的數(shù)學模型：用確定性的數(shù)學語言刻劃必然現(xiàn)象。 隨機性的數(shù)學模型：用概率刻劃隨機現(xiàn)象。 模糊性的數(shù)學模型：用模糊數(shù)學刻劃模糊現(xiàn)象。,與模糊數(shù)學相關的問題（一）,模糊數(shù)學研究和處理模糊性現(xiàn)

3、象的數(shù)學 （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線） 與模糊數(shù)學相關的問題（一） 模糊分類問題已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準確 模糊相似選擇 按某種性質對一組事物或對象排序是一類常見的問題，但是用來比較的性質具有邊界不分明的模糊性,與模糊數(shù)學相關的問題（二）,模糊聚類分析根據(jù)研究對象本身的屬性構造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關系 模糊層次分析法兩兩比較指標的確定 模糊綜合評判綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或對象作出一個總的評價，如產(chǎn)品質量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多

4、方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學的方法進行綜合評判將使結果盡量客觀從而取得更好的實際效果,序 言,?,模糊數(shù)學是研究什么的？,模糊現(xiàn)象：“亦此亦彼”的不分明現(xiàn)象,模糊數(shù)學研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。,什么是模糊數(shù)學,禿子悖論: 天下所有的人都是禿子！,如果一個有X根頭發(fā)的人被稱為禿子，那么，有X + 1根頭發(fā)的人也是禿子。所以，(X + 1) + 1根頭發(fā)的還是禿子。以此類推，無論你有幾根頭發(fā)都是禿子。,伊索寓言的故事,喝干整個大海,模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間 無明顯分界線,年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、遠、近、長、短、貴、賤、強、

5、弱、軟、硬、陰天、多云。,共同特點：模糊概念的外延不清楚。,術語來源,Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的,模糊，不分明，弗齊，弗晰，勿晰,模糊概念導致模糊現(xiàn)象,模糊數(shù)學就是用數(shù)學方法研究模糊現(xiàn)象。,用數(shù)學的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為： 1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學去刻畫（指在一定條件下一定會發(fā)生的現(xiàn)象） 2.隨機現(xiàn)象：如擲硬幣，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計去刻畫; 3.模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，等等。 此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學去刻畫。,隨機性與模糊性之區(qū)分 隨機性 事件本身具有明確含意 事

6、件是否出現(xiàn)的不確定性 0,1上概率分布函數(shù)描述 模糊性 事物的概念本身是模糊的 概念的外延的模糊不確定性：模糊性 0,1上的隸屬函數(shù)描述,經(jīng)典數(shù)學和統(tǒng)計數(shù)學以經(jīng)典集合論為理論基礎，“非此即彼”,統(tǒng)計數(shù)學把必然現(xiàn)象擴大到偶然； 模糊數(shù)學把清晰現(xiàn)象擴大到模糊。,模糊數(shù)學的創(chuàng)立及發(fā)展,Zadeh 扎德教授 1965年，模糊集合論 “隸屬函數(shù)” “模糊數(shù)學”的誕生 基本思想 用屬于程度代替屬于或不屬于,某個人屬于禿子的程度為0.8, 另一個人屬于,禿子的程度為0.3等.,日本與歐美的模糊技術熱,1 從八十年代起開展了模糊控制的研究與開發(fā) 2 九十年代日本興起模糊控制技術是高新技術領域的一次革命 3 模

7、糊產(chǎn)品給日本帶來巨額利潤 4 日本模糊技術21世紀的長遠規(guī)劃（6個重點課題） 1）基礎研究 2）模糊電腦：實現(xiàn)F信息的電腦處理，電腦的構造、邏輯記憶 3）機器智能：使機器能高速地識別和判斷模糊信息 4）人機系統(tǒng)：F數(shù)據(jù)庫、F專家系統(tǒng)和自然語言處理技術 5）人與社會系統(tǒng)：進行復雜的人類行為分析，包括決策支持 系統(tǒng)、醫(yī)療診斷系統(tǒng)、行為心理透視系統(tǒng)及社會經(jīng)濟模型 6）自然系統(tǒng)：研究和模擬自然現(xiàn)象，如辨別物理變化和化學 變化、判斷大氣污染狀況，地震預測等,我國的模糊技術研究,1) 70年代后期傳到我國，起步晚，但發(fā)展快，“國際四強” 2) 理論研究居世界領先地位，但應用與發(fā)達國家有差距 3）“模糊技術

8、產(chǎn)業(yè)化” 3) 近幾年國內(nèi)掀起了模糊控制技術的研究與開發(fā)熱，成績喜人 - 企業(yè)：大型家電集團已成功開發(fā)了國產(chǎn)模糊控制洗衣機 如： “小天鵝”，“海爾”，“小鴨”，“金羚” 等名牌智能洗衣機 - 研究機構，高校：鄭州輕工業(yè)學院模糊控制中心 清華大學熱能工程系 北京師范大學模糊控制中心 西南交通大學智能控制中心,模糊技術的研究熱點,模糊控制技術的主要特點： - 在設計系統(tǒng)時不需要建立被控對象的數(shù)學模型，只要求掌握現(xiàn) 場操作人員或者有關專家的經(jīng)驗知識或者操作數(shù)據(jù)。 - 系統(tǒng)的魯棒性好，尤其適合非線性時變，滯后系統(tǒng)的控制。 - 從工業(yè)過程的定性認識出發(fā)，較容易建立語言變量控制規(guī)則。 - 被控過程節(jié)能好

9、 - 規(guī)則集易理解修改 - 具有并行操作特點，開發(fā)成本低,模糊神經(jīng)網(wǎng)絡技術 - 神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)點：并行計算，分布式信息存儲， 容錯能力強，自學習功能。 - 神經(jīng)網(wǎng)絡的缺點: 不適合表達基于if-then規(guī)則的知識 - 模糊邏輯的優(yōu)點：能處理模糊信息，非線性和其它不適定問題， 它比較適合于表達基于規(guī)則的知識。 - 模糊邏輯的缺點：缺乏自學習和自適應能力 - 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡=神經(jīng)網(wǎng)絡+模糊邏輯 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的技術成果很多，如美國半導體公司的NeuFuz, Motorola的新型芯片, 我國的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡開發(fā)系統(tǒng)FNNDS（北航）,模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的未來研究方向 - 研究模糊邏輯與神經(jīng)網(wǎng)絡的對應關系 - 拓

10、展模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的應用范圍，尋找一 般模糊集的模糊神經(jīng)元網(wǎng)絡的學習方法 - 用模糊邏輯加強神經(jīng)網(wǎng)絡的學習速度 - 對成熟的網(wǎng)絡模型和學習算法，研制相應 的神經(jīng)網(wǎng)絡控制芯片 - 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡與新發(fā)展技術的結合： 如Wavelet，Chaos,GA,RS，DM等。,模糊數(shù)學不是讓數(shù)學變成模模糊糊的東西，而是讓數(shù)學進入模糊現(xiàn)象這個禁區(qū)，即用精確的數(shù)學方法去研究處理模糊現(xiàn)象，是研究和描述模糊性線性的一種數(shù)學工具，表達精確（消除模糊）的意思！,模糊數(shù)學的產(chǎn)生不僅形成了一門嶄新的數(shù)學 學科，而且也形成了一種嶄新的思維方法， 它告訴我們存在亦真亦假的命題，從而打破 了以二值邏輯為基礎的傳統(tǒng)思維，使得模糊 推理

11、成為嚴格的數(shù)學方法。隨著模糊數(shù)學的 發(fā)展，模糊理論和模糊技術將對于人類社會 的進步發(fā)揮更大的作用。,模糊數(shù)學的廣泛應用性,模糊技術是21世紀的核心技術，其應用幾乎滲透到自然科學與社會科學的所有領域： 1）軟科學方面：投資決策、企業(yè)效益評估、經(jīng)濟宏觀調控等 2）地震科學方面：地震預報、地震危害分析 3）工業(yè)過程控制方面：模糊控制技術是復雜系統(tǒng)控制的有效手段 4）家電行業(yè)：模糊家電產(chǎn)品,提高了機器的“IQ” 5）航空航天及軍事領域：飛行器對接C3I指揮自動化系統(tǒng)，NASA 6）人工智能與計算機高技術領域：模糊推理機、F專家系統(tǒng)、F數(shù)據(jù)庫、F語言識別系統(tǒng)、F機器人等，F(xiàn)-prolog、F-C等 7）

12、其它：核反應控制、醫(yī)療診斷等,1.Fuzzy 集合及運算,1. 模糊概念,風的強弱,人的胖瘦,年齡大小,個子高低,在普通集合中，論域中的元素（如a）與集合（如A）之間的關系是屬于（aA），或者不屬于，它所描述的是非此即彼的清晰概念。但在現(xiàn)實生活 中并不是所有的事物都能用清晰的概念來描述，如:,為了對事物進行識別，必須對事物按不同的要求進行分類。許多事物可以依據(jù)一定的標準進行分類。用于這種分類的數(shù)學工具就是集合論。,集合的概念 解決精確性的集合問題可以用經(jīng)典集合論。 世界上大多數(shù)事物具有模糊性。為了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念。,經(jīng)典集合： 具有某種特性的所有元素的總和。 模糊集合：

13、 在不同程度上具有某種特性的所有元素的總和。,集合是數(shù)學中最基本的概念之一。 討論某一概念的外延時總離不開一定的范圍。這個討論的范圍，稱為“論域”，論域中的每個對象稱為“元素”。一般記論域為U，表達了問題的總范圍。,所謂集合，是指具有某種特定屬性的對象的全體。 定義：給定論域U（U、V、X、Y ），U中具有某種特定屬性的元素（u、v、x、y ）的全體，稱為U上的一個集合(A、B、C、)。,表示集合的幾種方法 （1）列舉法： 列寫出集合中的全體元素。 適用于元素有限的集合。 （2）定義法： 以集合中元素的共性來描述集合的一種方法。 適用于有許多元素而不能一一列舉的集合。,2、模糊集合常用術語及其

14、表述,精確集合（非此即彼）： A=X|X6 精確集合的隸屬函數(shù)（特征函數(shù)）：,模糊集合： 如果X是對象x的集合，則X的模糊集合 A：,稱為模糊集A的隸屬函數(shù)。,定義 設A是論域U到0，1的一個映射，即,A：U0，1,稱A是U上的模糊集，而函數(shù)A （ ）稱為模糊集A的隸 屬函數(shù)，A （x)稱為x對模糊集A的隸屬度。,在模糊數(shù)學中，我們稱沒有明確邊界（沒有清晰外延） 的集合為模糊集合。常用大寫字母下加波浪線的形式來表示，如 、 等。,元素屬于模糊集合的程度用隸屬度或模糊度來表示。用于計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)，即模糊集的特征函數(shù)。,隸屬度即論域元素屬于模糊集合的程度。用 來表示。隸屬度的值為0，

15、1閉區(qū)間上的一個數(shù)，其值越大，表示該元素屬于模糊集合的程度越高，反之則越低。 計算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)。用 表示。,隸屬度和隸屬函數(shù)的表示形式看起來很相似，但是它們的意義是完全不一樣的。 指論域中特定元素xi屬于A的隸屬度，而 中的x是一個變量，可表示論域中的任一元素。,隸屬函數(shù)的性質： a) 定義為有序對； b) 隸屬函數(shù)在0和1之間； c) 其值的確定具有主觀性和個人的偏好。,X稱為論域或域。,構造模糊集就是要：確定合適的論域和指定適當?shù)碾`屬函數(shù)。,1,13,精確集合,模糊集合,1,13,6,(1) 向量表示法,(2) 扎德表示法,當論域U由有限多個元素組成時，模糊集合可用向量表示法或

16、扎德表示法表示。設,3 模糊集合的表示,例：設論域U=鋼筆，衣服，臺燈，紙，他們屬于學習用品的隸屬度 分別為:1， 0， 0.6， 0.8，則模糊集合學習用品可分別用向量表示法 和扎德表示法表示如下：,“20歲左右”,原集合（年齡） ., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, . “20歲左右”這個模糊集可以表示為： 0.8/18 + 0.9/19 + 1/20 + 0.9/21 + 0.8/12 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23 .,隸屬度0,1,集合元素,（3）序偶表示法： 舉例：X=上海 北京 天津 西安為城市

17、的集合。 模糊集合 C = “對城市的愛好”可以表示為： C = (上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6),再如，B= “年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬 于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)：,1,0,25,50,U,B（u）,隸屬函數(shù)的確定,1. 模糊統(tǒng)計方法,與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點”.,2. 指派方法,一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達式。,3. 借用已有的“客觀”尺度,對論域U上一個確定元素u0是否屬于論域上的一個邊界可變的

18、普通集合A*的問題，針對不同的對象進行調查統(tǒng)計，再根據(jù)模糊統(tǒng)計規(guī)律計算出u0的隸屬度。,用模糊統(tǒng)計法確定隸屬度的基本思想,模糊統(tǒng)計法舉例,例：用模糊統(tǒng)計法確定27歲的人屬于“青年人”模糊集合的 隸屬度。,武漢工業(yè)大學張南倫教授調查統(tǒng)計結果如下：,表1 關于“青年人”年齡的調查,由張教授調查統(tǒng)計結果可知，共調查統(tǒng)計129次，其中27歲的人屬于“青年人”這個邊界可變的普通集合的次數(shù)為101次。根據(jù)模糊統(tǒng)計規(guī)律計算隸屬度為：,求取論域中足夠多元素的隸屬度，根據(jù)這些隸屬度求出隸屬函數(shù)。具體步驟為：,求取論域中足夠多元素的隸屬度；, 求隸屬函數(shù)曲線。以論域元素為橫坐標，隸屬度為縱 坐標，畫出足夠多元素的隸屬度（點），將這些點連起來，得到所求模糊結合的隸屬函數(shù)曲線；, 求隸屬函數(shù)。將求得的隸屬函數(shù)曲線與常用隸屬函數(shù) 曲線相比較，取形狀相似的隸屬函數(shù)曲線所對應的函數(shù)，修改其參數(shù)，使修改參數(shù)后的隸屬函數(shù)的曲線與所求 隸屬函數(shù)曲線一致或非常接近。此時，修改參數(shù)后的函 數(shù)即為所求模糊結合的隸屬函數(shù)。,隸屬函數(shù)的確定,表2 1535歲的人屬于青年人的隸屬度,由表1可分別計算出1535歲的人屬于模糊集合“青年人”的隸屬度，計算結果如