1、Chap2 極限與連續(xù),古希臘Archimede“窮竭法”； 中國魏晉時代劉徽“割圓術(shù)”； Newton“雛形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“發(fā)展完善”。,Chap2 1,數(shù)列極限,一、數(shù)列,定義1 函數(shù) f : NR稱為數(shù)列，記為xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn稱為數(shù)列第n項(xiàng)，其表達(dá)式稱為數(shù)列的通項(xiàng)。, 幾何意義：數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列， 可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,例1 討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性,（n重根號）,二、數(shù)列極限定義,定義2 設(shè)有數(shù)列xn. 若存在常數(shù)A，使得0, NN, 當(dāng)nN時，|xnA|，則稱xn的極限為A，或稱x

2、n收斂 于A，記為,若A不存在，則稱數(shù)列xn無極限，或稱為發(fā)散(不收斂),是用來刻劃xn與A的接近程度。首先，具有任意性， 說明xn與A的接近程度可以任意小；其次，具有相對 固定性，一旦給出，就固定這個再去找N。, N的存在性說明無論怎么小，第N項(xiàng)后的所有xn都滿足 |xnA|，故不滿足這種接近程度的xn僅僅有限項(xiàng)。, 通常N具有依賴性，即NN()，但不具有唯一性。, 幾何意義,三、收斂數(shù)列的性質(zhì),定理1 （唯一性）若數(shù)列xn存在極限，則其極限值必唯一. 即,定理 2（有界性）收斂數(shù)列必有界。即如果xn收斂，則M0, 使得nN有,推論1 無界數(shù)列必發(fā)散。,推論2 若數(shù)列,定理3 （不等式性）若

3、,即使將“xn yn”換為“xn yn”, 結(jié)論也不能改為“A B”.,推論4 若,推論3 （保號性）若,若將“A0”換為“A0”, 則結(jié)論改為,定理4（夾逼性）設(shè)數(shù)列xn, yn, zn滿足條件,例10. 設(shè),求f (x)的表達(dá)式.,四、數(shù)列極限的運(yùn)算,定義3 若 ，則稱數(shù)列 為無窮?。浚?。,有限個無窮小量之和仍為無窮??； 無窮小乘有界量仍為無窮??； 有限個無窮小之積仍為無窮小,例11 證明 xn為無窮小的充要條件是|xn|為無窮小.,定理4（極限與無窮小關(guān)系）,數(shù)列xn收斂 AR及無窮小量n使xnA + n.,定理5 若,一個公式,例12 求極限,思考,定義4 對數(shù)列 , 若 則稱數(shù)列

4、為無窮大（量），記為,無窮小，無窮大和無界的關(guān)系,(A) 無窮小. (B) 無窮大. (C) 有界的，但不是無窮小. (D) 無界的，但不是無窮大.,Stolz定理 設(shè)yn嚴(yán)格增加，且 . 若,則有 (A可為).,在 存在的前提下有公式,例如 xn=(1)n，yn = n, 則 ，但,A時，結(jié)論未必成立！如xn=(1)n1n，yn = n, 則,但 無極限.,推論1 若 , 則有,推論2 若an 0, 且 , 則有,推論3 若an 0, 且 , 則有,例14 求極限,Ex. 求極限,五、數(shù)列收斂準(zhǔn)則,1單調(diào)有界定理 設(shè)數(shù)列xn單調(diào)增加. 則當(dāng)xn有上界時, xn收斂，當(dāng)xn 上無界時, xn為

5、正無窮大，且均成立,若xn為單調(diào)數(shù)列. 則xn收斂 xn有界.,想一想 數(shù)列xn單調(diào)減少時的情形？,(n重根號),例15 設(shè),例17 證明數(shù)列,e=2.7182818284是自然對數(shù)的底(lnx = logex), 是無理數(shù).,證明 存在并求之.,且xn單調(diào)增加收斂于e, yn單調(diào)下降收斂于e.,例18 設(shè),證明cn收斂.,實(shí)際上, 我們還有,定義5 數(shù)列xn中依次取出下標(biāo)為n1 n2 nk 的項(xiàng)組成的新數(shù)列,稱為xn的一個子列，記為, 子列 是k的函數(shù)，而不是n的函數(shù)。且, 奇子列,2 歸并性定理,可用于判定數(shù)列發(fā)散。即若能找到xn的一個發(fā)散子列 或兩個極限不同的子列，就可斷定xn發(fā)散.,命題,例19 說明數(shù)列(1)n發(fā)散。,例20 證明無界數(shù)列必有一子列為無窮大。,定理6 設(shè)xn為單調(diào)數(shù)列， A . 則,例21 設(shè),證明,當(dāng)p 1時，an收斂；當(dāng)p 1時，an為正無窮大.,3 Cauchy收斂準(zhǔn)則 數(shù)列xn收斂的充要條件是：,基本列(Cauchy列) 滿足上述必要性條件的數(shù)列！,等價形式：,否定