1、6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,-2-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,1.等差數(shù)列 (1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的等于,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的,公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表示為(nN*),d為常數(shù). (2)等差中項(xiàng):數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是,其中A叫做a,b的. (3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=,可推廣為an=.,第2項(xiàng),差,同一個(gè)常數(shù),公差,an+1-an=d,等差中項(xiàng),a1+(n-1)d,am+(n-m)d,-3-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,2.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)若m+n=p+q,則(m,n

2、,p,qN*);m+n=2p,則am+an=2ap(m,n,pN*). (2)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差為的等差數(shù)列. (3)若an,bn是等差數(shù)列,p,qR,則pan+qbn也是等差數(shù)列. (4)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則數(shù)列 也是數(shù)列. (5)若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2n-1=(2n-1)an. (6)若n為偶數(shù),則 ;若n為奇數(shù),則S奇-S偶=a中(中間項(xiàng)).,am+an=ap+aq,md,等差,-4-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 (1)an=a1+(n-1)

3、d可化為an=dn+a1-d的形式.當(dāng)d0時(shí),an是關(guān)于n的一次函數(shù);當(dāng)d0時(shí),數(shù)列為遞增數(shù)列;當(dāng)d0時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列. (2) 當(dāng)d0時(shí),它是關(guān)于n的二次函數(shù).數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).,-5-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最值.,大,小,2,-6-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列. () (2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則

4、數(shù)列an一定是等差數(shù)列. () (3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù). () (4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*,都有2an+1=an+an+2. () (5)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. () (6)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù). (),答案,-7-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2.(2016河南商丘三模)在等差數(shù)列an中,首項(xiàng)a1=0,公差d0,若ak=a1+a2+a3+a7,則k=() A.22B.23C.24D.25,答案,解析,-8-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,3.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和

5、,若a10+a11+a12=6,則S21=() A.42B.21C.23D.44,答案,解析,-9-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,4.已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=.,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,5.(教材例題改編P16例7)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有個(gè)能被6整除的數(shù).,答案,解析,-11-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例1(1)(2016河北唐山一模)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,則公差d的值是() A.4B.3C.1D.2 (2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=

6、-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于() A.3B.4C.5D.6 思考求等差數(shù)列基本量的一般方法是什么?,答案,-12-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65, 公差d的值是3.故選B. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 數(shù)列an為等差數(shù)列, d=am+1-am=1, m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,-13-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.等差數(shù)列

7、運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想. 3.減少運(yùn)算量的設(shè)元的技巧,若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d;若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-16-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=() A.100B.99C.98D.97 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=

8、-9,則S16=.,答案,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例2數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)設(shè)bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列; (2)求an的通項(xiàng)公式. 思考判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有哪些?,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明 由an+2=2an+1-an+2得 an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. (2)解 由(1)得bn=1+2

9、(n-1)=2n-1, 即an+1-an=2n-1. 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))an是等差數(shù)列. (2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列. 2.若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差數(shù)列即可.,-22-,考點(diǎn)1

10、,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-1.數(shù)列bn滿足b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考向一等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用 例3(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=() A.5B.7C.9D.11 (2)(2016江蘇,8)已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+ =-3,S5=10,則a9的值是. 思考利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)解決問題時(shí)常用到什么思想方法?,答案,解析,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)

11、4,考向二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用 例4在等差數(shù)列an中,前m項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,則前3m項(xiàng)的和為. 思考本例題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡(jiǎn)便?,答案,解析,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)解決基本量的運(yùn)算體現(xiàn)了整體求值思想,應(yīng)用時(shí)常將an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相結(jié)合,可減少運(yùn)算量. 2.在等差數(shù)列an中,依據(jù)題意應(yīng)用其前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題能比較簡(jiǎn)便地求出結(jié)果,常用的性質(zhì)有:在等差數(shù)列an中,數(shù)列,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)

12、已知等差數(shù)列an的前17項(xiàng)和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于() A.3B.6C.17D.51 (2)(2016山西陽泉高三模擬)已知等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分 (3)已知在等差數(shù)列an中,其前n項(xiàng)和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=.,答案,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(3)an為等差數(shù)列, S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,

13、例5在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值. 思考求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值有哪些方法?,-31-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,nN*,當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.,又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值, 且最大值為S12=S13=130.,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法: (1)

14、函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. (2)鄰項(xiàng)變號(hào)法:利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),當(dāng) 利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),便可求得前n項(xiàng)和的最值.,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,則當(dāng)Sn取最大值時(shí),n的值是() A.5B.6C.7D.8 (2)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列,Sn為前n項(xiàng)和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時(shí),n的值為() A.5B.6C.5或6 D.11,答案,解析,-35-,思想方法整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用 整體思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問題、思考問題,常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易,同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等.