1、函數(shù)yAsin(x)的圖象及性質(zhì)韓忠剛考試目標(biāo)1考查正弦函數(shù)yAsin(x)的圖象變換2考查yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用考點(diǎn)梳理1“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的簡(jiǎn)圖“五點(diǎn)法”作圖的五點(diǎn)是在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與x軸相交的三個(gè)交點(diǎn)，作圖時(shí)的一般步驟為：(1)定點(diǎn)：先確定五點(diǎn)即令x分別等于0，2，得對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)為，.(2)作圖：在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)Asin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象(3)擴(kuò)展：1、將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得yAsin(x)在R上的圖象2、定區(qū)間的“五點(diǎn)法”作圖。2三角函數(shù)圖象的變換3函數(shù)yAsin(x)的物理意義當(dāng)函數(shù)yA

2、sin(x)(A0，0，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)時(shí)，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做頻率，x叫做相位，叫做初相注意點(diǎn)：1、（1）列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)（2）定區(qū)間的“五點(diǎn)法”作圖要注意范圍內(nèi)的特殊角的取值和端點(diǎn)值2、圖象變換有兩條路徑，在解題中，一般采用先平移后伸縮的方法3、(1)要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；(2)要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；(3)由yAsin x的圖象得到y(tǒng)Asin(x)的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|.考點(diǎn)自測(cè)1函數(shù)y(sin xcos

3、x)21的最小正周期是()A. B C. D22.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相分別為()AT6， BT6，CT6， DT6，3要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖象，只要將函數(shù)ycos 2x的圖象()A向左平移1個(gè)單位 B向右平移1個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位4將函數(shù)ysin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，再向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是()A. B. C. D.5將函數(shù)f(x)sin x(其中0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值是_典例剖析一、作圖函數(shù)yAsin(x)(A0，0) 的圖象及

4、其變換【例1】已知函數(shù)y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；如果做出它在0, 的圖象呢？(3)說(shuō)明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到審題視點(diǎn) (1)由振幅、周期、初相的定義即可解決(2)五點(diǎn)法作圖，關(guān)鍵是找出與x相對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)定區(qū)間找特殊角，要確定整體角的范圍，在其范圍內(nèi)的特殊角列出來(lái)，再列上端點(diǎn)角，實(shí)際是六點(diǎn)作圖。(3)只要看清由誰(shuí)變換得到誰(shuí)即可解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)法一把ysin

5、 x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin的圖象，再把ysin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖象，最后把ysin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象法二將ysin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)；得到y(tǒng)2sin的圖象方法總結(jié)：(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩端伸展一下，以示整個(gè)定義

6、域上的圖象；(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x來(lái)確定平移單位【訓(xùn)練1】 已知函數(shù)f(x)3sin，xR.(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；(2)將函數(shù)ysin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖(2)先把ysin x的圖象向右平移個(gè)單位，然后把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到f(x)的圖象二、識(shí)圖由圖象求函數(shù)yAsin(x)的解析式【例2】(1)如圖是函數(shù)yAsin(x)2(A0，0

7、)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()AA3，T，BA1，T，CA1，T，DA1，T，(2)如圖是函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象的一部分，它的解析式為()AysinBysinCysinDysin審題視點(diǎn) (1)函數(shù)的最大值為3，最小值為1，周期T，從而A，可求，再代入，可求值；(2)觀察半個(gè)周期求，將點(diǎn)代入求.解析(1)由圖象可知，函數(shù)的最大值M3，最小值m1，則A1，T，.ysin2，把點(diǎn)代入得：sin23，解得.(2)由，得T，2.把點(diǎn)代入ysin(2x)，得：sin1，解得.答案(1)C(2)D方法總結(jié)：五點(diǎn)法求yAsin(x)中的的方法：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的

8、交點(diǎn))時(shí)x0；并且它到原點(diǎn)的距離小于半個(gè)周期；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)x；“第五點(diǎn)”時(shí)x2.【訓(xùn)練2】如圖是函數(shù)yAsin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，此函數(shù)的解析式可為()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析由，得T，2.把點(diǎn)代入y2sin(2x)，得：sin1，解得：，故選B.答案B三、用圖函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求f

9、(x)的值域?qū)忣}視點(diǎn) 圖象上最低點(diǎn)A；圖象上與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)T；點(diǎn)M.x范圍2x范圍f(x)的值域解(1)由最低點(diǎn)為M，得A2.由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，得，即T，所以2.由點(diǎn)M在圖象上，得2sin2，即sin1.故2k，kZ，所以2k(kZ)又，所以.故f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)因?yàn)閤，所以2x.當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值1.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2方法總結(jié)： 利用三角函數(shù)圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為三角函數(shù)的個(gè)最小正周期，去求解參數(shù)的值，利用圖象的最低點(diǎn)為三角函數(shù)最值點(diǎn)，去求解參數(shù)A的值等在求函數(shù)值域時(shí)，由定義域轉(zhuǎn)化成x的范圍，即把x看作一個(gè)整體【訓(xùn)練3】 如圖為yAsin(x)的圖象的一部分(1)求其解析式；(2)若將yAsin(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得yf(x)，求f(x)的對(duì)稱軸方程解(1)由圖象知A，以M為“第一點(diǎn)”，N為“第三點(diǎn)”列方程組解之得所求解析式為ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)