1、考點50 與離散型隨機變量的分布列、均值相結合的綜合問題【考綱要求】理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.【命題規(guī)律】離散型隨機變量的期望與方差的應用，是高考的重要考點，不僅考查學生的理解能力與數(shù)學計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力，以解答題為主，中等難度【典型高考試題變式】與離散型隨機變量的分布列、均值相結合的綜合問題例1.【2017課標3】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2

2、元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當六月份這種酸奶一天的進貨量n（

3、單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【分析】（1）所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機變量的分布列；（2）由題中所給條件分類討論可得n=300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，為520元.【解析】（1）由題意知，所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此的分布列為0.20.40.4所以n=300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元.【名師點睛】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布兩點分布與超幾何分布，并善于靈活運用兩性質：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗分布列的正誤.【變

4、式1】【2018河南省漯河市模擬】汽車店是一種以“四位一體”為核心的特許經營模式，包括整車銷售、零配件銷售、售后服務、信息反饋等。某品牌汽車店為了了解， ， 三種類型汽車質量問題,對售出的三種類型汽車各取100輛進行跟蹤服務,發(fā)現(xiàn)各車型一年內需要維修的車輛如下表所示1.表1（1）某公司一次性從店購買該品牌， ， 型汽車各一輛,記表示這三輛車的一年內需要維修的車輛數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.(各型汽車維修的頻率視為其需要維修的概率).（2）該品牌汽車店為了對廠家新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按使事先擬定的各種價格進行試銷相等時間，得到數(shù)據(jù)如表2.預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從的關系

5、,且該產品的成本是500元/件,為使4S店獲得最大利潤(利潤=銷售收入-成本)，該產品的單價應定位多少元？表1車型 頻數(shù)202040表2單價 (元)800820840850880900銷量 (件)908483807568【解析】（1）根據(jù)表格, 型車維修的概率為, 型車維修的概率為, 型車維修的概率為.由題意, 的可能值為0,1,2,3,所以 ； ； 所以的分布列為0123 所以 .【變式2】【2018四川省德陽市三校聯(lián)合測試】為了引導居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）（0,210（210,4

6、00某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電戶編號12345678910用電量（度）538690124132200215225300410若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算A居民用電戶用電410度時應交電費多少元？現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.【解析】（1）元,設取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,

7、1,2,3, , ,故的分布列是0123所以 ,可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知 ,解得， ,所以當時，概率最大，所以.【數(shù)學思想】 數(shù)形結合思想 函數(shù)方程思想 轉化與化歸思想.【溫馨提示】均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策【典例試題演練】1.【2017河南百校聯(lián)考】小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當前的紅

8、包轉發(fā)給朋友，如果猜中，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當前的紅包轉發(fā)給朋友，如果猜中，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設猜中的概率分別為，且是否猜中互不影響（1）求恰好獲得4元的概率；（2）設獲得的金額為元，求的分布列；（3）設獲得的金額為元，獲得的金額為元，判斷所獲得的金額的期望能否超過的期望與的期望之和（3）的可能取值為0，4，6；的可能取值為0，4因為，所以，所以，又，由于，所以所獲得的金額的期望能超過的期望與的期望之和2.【2016洛陽市統(tǒng)一考試】今年春節(jié)期間，在為期5天的某民俗廟會上，某攤點銷售一種兒童玩具的情況如下表：日期天氣2月13日2月14日2月1

9、5日2月16日2月17日小雨小雨陰陰轉多云多云轉陰銷售量上午4247586063下午5556626567由表可知：兩個雨天的平均銷售量為100件/天，三個非雨天的平均銷售量為125件/天.（1）以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉，畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）假如明天廟會5天中每天下雨的概率為，且每天下雨與否相互獨立，其他條件不變，試估計廟會期間同一類型攤點能夠售出的同種兒童玩具的件數(shù)；（3）已知攤位租金為1000元/個，該種玩具進貨價為9元/件，售價為13元/件，未售出玩具可按進貨價退回廠家，若所獲利潤大于1200元的概率超過0.6，則稱為“值得投資”，那么在（2）

10、的條件下，你認為“值得投資”嗎?【解析】（1）由已知得如下莖葉圖，中位數(shù)為.（2）設明年廟會期間下雨天數(shù)為，則的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，且，所以，所以估計明年廟會期間，可能有2天下雨，3天不下雨，據(jù)此推測廟會期間該攤點能售出的玩具件數(shù)為.3.一個口袋中有2個白球和n個紅球(n2，且nN*)，每次從袋中摸出兩個球(每次摸球后把這兩個球放回袋中)，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎（1）試用含n的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率；（2）若n3，求三次摸球恰有一次中獎的概率；（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為f(p)，當n為何值時，f(p)取最大值？【解析】（1）一次摸球從n2個

11、球中任選兩個，有C種選法，其中兩球顏色相同有CC種選法，因此一次摸球中獎的概率為.（2）若n3，則一次摸球中獎的概率為，三次摸球是獨立重復試驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是C(1)2.（3）設一次摸球中獎的概率是p，則三次摸球恰有一次中獎的概率是f(p)Cp(1p)23p36p23p，0p1.因為f(p)9p212p33(p1)(3p1)，所以f(p)在(0，)上是增函數(shù)，在(，1)上是減函數(shù)，所以當p時，f(p)取最大值，所以p(n2，且nN*)，所以n2.故n2時，f(p)取最大值4.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的

12、球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及均值；（2）商場對獎勵總額的預算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由（2）根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元所以，先尋找均值為60元的可能方案對于面值由10元和50元組成的情況，如果

13、選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的均值E(X1)206010060，X1的方差D(X1

14、)(2060)2(6060)2(10060)2.對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的均值E(X2)40608060，X2的方差D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.5.(2016全國乙卷)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200 元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500 元現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜

15、集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2 臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)（1）求X的分布列；（2）若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應選用哪個？【解析】（1）由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4，0.2,0.2.從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20

16、.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.046.【2018四川省樂山外國語學校模擬】某公司每個工作日由位于市區(qū)的總公司向位于郊區(qū)的分公司開一個來回的班車（每年按200個工作日計算），現(xiàn)有兩種使用班車的方案，方案一是購買一輛大巴，需花費90萬元，報廢期為10年，車輛平均每年的各種費用合計5萬元，司機年工資6萬元，司機每天請假的概率