1、第2課時(shí) 不等式的性質(zhì),【知識(shí)提煉】 不等式的性質(zhì) 性質(zhì)1對(duì)稱性：ab_. 性質(zhì)2傳遞性：ab，bc_. 性質(zhì)3可加性：ab_.,ba,ac,a+cb+c,性質(zhì)4可乘性： _， _. 性質(zhì)5同向可加性： _. 性質(zhì)6同向同正可乘性： _. 性質(zhì)7可乘方性：ab0_(nN，n1). 性質(zhì)8可開(kāi)方性：ab0 (nN，n2).,acbc,acbc,a+cb+d,acbd,anbn,【即時(shí)小測(cè)】 1.判斷 (1)abac2bc2.() (2)同向不等式相加與相乘的條件是一致的.() (3)若ab0，則ab .(),【解析】(1)錯(cuò)誤.當(dāng)c=0時(shí)，由ab推不出ac2bc2. (2)錯(cuò)誤.同向不等式相加時(shí)

2、，已知數(shù)可以為任意實(shí)數(shù)， 同向不等式相乘時(shí)，要求已知數(shù)是正數(shù). (3)正確.因?yàn)閍b0，所以ab的兩邊同除以ab可得 即 反之， 的兩邊同乘以ab可得bb. 答案：(1)(2)(3),2.設(shè)a，b，cR，且ab，則() A.acbcB. C.a2b2D.a3b3 【解析】選D.若c0，則A錯(cuò)；若a0，b0，則B錯(cuò)；若a=0，b=-1，則C錯(cuò)，選D.,3.如果a，b，c滿足cacB.c(b-a)0 C.cb20，b-a 0， 所以A一定正確；B一定正確；D一定正確；當(dāng)b=0時(shí)C不正確.,4.若xy，ab，則a-xb-y；a+xb+y；axby；x-by-a.這四個(gè)式子中，恒成立的不等式的序號(hào)是_

3、.,【解析】因?yàn)閤y，ab，所以-b-a， 所以a+xb+y；x-by-a. 當(dāng)x=1，y=-1，a=1，b=-1時(shí)，a-x = b-y=0，ax = by=1，故錯(cuò)誤. 答案：,5.若a(60，84)，b(28，33)，則 _. 【解析】因?yàn)閎(28，33)，所以 又60a84，所以 答案：,【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn) 不等式的性質(zhì) 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：,問(wèn)題1：哪些不等式的性質(zhì)是“雙向”的？ 問(wèn)題2：哪些不等式的性質(zhì)要求已知數(shù)為正數(shù)？,【總結(jié)提升】 1.對(duì)不等式的性質(zhì)的六點(diǎn)說(shuō)明 (1)性質(zhì)1和2，分別稱為“對(duì)稱性”與“傳遞性”，在它們的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識(shí).,(2)

4、性質(zhì)3(即可加性)是移項(xiàng)法則“不等式中任何一項(xiàng)的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù). (3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號(hào)”.,(4)性質(zhì)5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等號(hào)方向不變，不能相減”. (5)性質(zhì)6，7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同向不等式，并無(wú)相除式.,(6)性質(zhì)7，8可并為函數(shù)y=xn(n0)在(0，+)上遞增. (7)性質(zhì)1，3是單向推導(dǎo)，其他是“雙向”推導(dǎo).,2.對(duì)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說(shuō)明 (1)不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有a-b0ab；a-b=0a=

5、b；a-b0ab.這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ).,(2)利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系. (3)比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用.,【題型探究】 類(lèi)型一 利用不等式的性質(zhì)判斷或證明不等式 【典例】1.(2014四川高考)若ab0，cbc，求證：,【解題探究】 1.典例1中，如何判斷 的大小關(guān)系？要構(gòu)造出 的關(guān)系，需要進(jìn)行什么運(yùn)算？ 提示：在不等式cd兩邊同除以cd，可以判斷 的 大小關(guān)系.同向不等式相乘可以構(gòu)造出 的關(guān)系.,2.典例

6、2中，證明的基本步驟是什么？ 提示：先確定 ，再根據(jù)b-c0證得.,【解析】1.選D.方法一：因?yàn)閏b0對(duì)應(yīng)相乘得， 所以 方法二：令a=3，b=2，c=-3，d=-2， 則 排除選項(xiàng)A，B； 又 所以 所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.,2.因?yàn)閍bc，所以-c-b， 所以a-ca-b0，所以 所以 又因?yàn)閎-c0，所以 所以,【方法技巧】 1.運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì). (2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.,2.利用不等

7、式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式的實(shí)質(zhì)及注意點(diǎn) (1)實(shí)質(zhì)：利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等式變形. (2)注意點(diǎn)：記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；,應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.,【拓展延伸】不等式中的倒數(shù)性質(zhì) (1)ab，ab0 (2)ab0，0cd (4)0axb或axb0,【變式訓(xùn)練】已知ab0，cd0，求證： 【證明】因?yàn)閍b0，cd0， 所以acbd0. 又因?yàn)閏d0，所以 0. 所以ac bd 0， 即 所以,【補(bǔ)償訓(xùn)練】若ab0，cd0，e0， 求證： 【證明

8、】因?yàn)閏d0，所以-c-d0. 又因?yàn)閍b0，所以a-cb-d0. 所以(a-c)2(b-d)20. 所以0 又因?yàn)閑0，所以,類(lèi)型二 利用不等式的性質(zhì)比較大小 【典例】設(shè)a0，b0且ab，P=aabb，Q=abba，試比較P與Q的大小.,【解題探究】本例中，為了比較P與Q的大小需要用什么方法？ 提示：需要用作商法，先比較 與1的大小關(guān)系，再由不等式的性質(zhì)得出P與Q的大小關(guān)系.,【解析】因?yàn)閍0，b0，所以P0，Q0， 因?yàn)?=aa-bbb-a= ab， 所以當(dāng)ab0時(shí)， 1，a-b0，則 1，于是PQ. 當(dāng)ba0時(shí)，01，于是PQ. 綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a，b，都有PQ.,【延伸探究】

9、 1.(變換條件)本例條件改為 結(jié)果如何？ 【解析】 因?yàn)?x+2)(x+5)-(x+3)(x+4)=-20，且x-2，,所以0(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)， 所以 所以P2Q2，又因?yàn)镻0，Q0，所以PQ.,2.(變換條件、改變問(wèn)法)本例條件改為已知a0，且 a1， 試比較log0.5 與log2 的大小. 【解析】 (1)當(dāng)a1時(shí)，a2(a-1)0，所以,(2)當(dāng)01，所以log0.5 0，log2 0， 所以log0.5 log2 .,【方法技巧】比較大小的常用方法 (1)作差法. 作差后通過(guò)分解因式、配方等手段，充分利用a2，|a|， 的非負(fù)性判斷差的符號(hào)，然后根據(jù)以下結(jié)論

10、判斷大 ?。喝鬉-B0，則AB；若A-B=0，則A=B；若A-B0，則 AB.,(2)作商法. 借助不等式的性質(zhì)4可得如下結(jié)論： 若B0， 1，則AB；若B1，則Ab，bc，則ac，一般選擇0或1為中間量.,(4)乘方轉(zhuǎn)化法. 對(duì)于兩個(gè)根式大小的比較，可以利用ab0anbn (nN，n1)，ab0 (nN，n2)轉(zhuǎn)化 后比較大小.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a0且a1，p=loga(a3+1)，q=loga(a2+1)，比較p與q的大小.,【解析】p-q=loga(a3+1)-loga(a2+1) 當(dāng)a1時(shí)，a3+1a2+1，所以 1，所以loga 0； 當(dāng)00. 總之，p-q0，所以pq.,【延伸探究

11、】 1.(變換條件)本題條件改為a1，p= 和 q= 結(jié)果如何？ 【解析】因?yàn)閜-q=,因?yàn)閍1，所以0a-10， 所以p-q0.即pq.,2.(變換條件、改變問(wèn)法)本題條件改為a0，p=aa，q=3a，且pq，試求a的取值范圍.,【解析】因?yàn)閝=3a0，且pq. 所以 當(dāng)03時(shí)， 1，則 1，即pq. 綜上知，a3.,類(lèi)型三 利用不等式的性質(zhì)求取值范圍 【典例】1.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3xy28，4 9， 則 的取值范圍是_. 2.已知-6a8，2b3，分別求2a+b，a-b， 的范圍.,【解題探究】 1.典例1中， 與 的關(guān)系是什么？求范圍的步驟 是什么？ 提示：由 可先求 和 的范圍，再求

12、的范圍.,2.典例2中，求2a+b，a-b， 的取值范圍的基本步驟 分別是什么？ 提示：對(duì)于2a+b的范圍可先求2a的取值范圍，再求2a+b 的取值范圍；對(duì)于a-b的范圍可先求-b的取值范圍，再 求a-b的取值范圍；對(duì)于 的范圍可先求 的取值范圍， 再求 的取值范圍.,【解析】1. ，由4 9，3xy28， 得16( )281， 得2 27. 答案：2，27,2.因?yàn)?6a8，所以-122a16. 又2b3，所以-102a+b19. 因?yàn)?b3，所以-3-b-2. 又-6a8，所以-9a-b6. 因?yàn)?b3，所以,(1)當(dāng)0a8時(shí)，0 4； (2)當(dāng)-6a0時(shí)，-3 0. 綜合(1)(2)得-

13、3 4.,【延伸探究】本典例2條件改為12a60，15b36，結(jié)果如何？ 【解析】因?yàn)?2a60，所以242a120. 又因?yàn)?5b36，所以392a+b156， 即2a+b的取值范圍是(39，156). 因?yàn)?5b36，所以-36-b-15.,又因?yàn)?2a60， 所以12-36a-b60-15，所以-24a-b45， 即a-b的取值范圍是(-24，45). 即 的取值范圍是,【方法技巧】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略 (1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍. (2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果

14、在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.,【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(1)=0，且abc，求 的取值范圍.,【解析】因?yàn)閒(1)=0，所以a+b+c=0， 所以b=-(a+c).又因?yàn)閍bc， 所以a-(a+c)c，且a0，c0. 所以 即,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx，且1f(-1)2， 2f(1)4，求f(-2)的取值范圍.,【解析】 所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又因?yàn)?f(-1)2，2f(1)4， 所以53f(-1)+f(1)10，故5f(-2)10.,易錯(cuò)案例 利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 【典例】(2015寧波高一檢測(cè))若- ， 則-的取值范圍是( ) A.(-，)B.(0，) C.(-，0)D.0,【失誤案例】,【錯(cuò)解分析】分析解題過(guò)程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：錯(cuò)誤的根本原因是忽略了這個(gè)條件