1、3.3幾何概型 3.3.1幾何概型,【知識(shí)提煉】 1.幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_(_或_) 成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型. 2.幾何概型的特點(diǎn) (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有_. (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性_.,長(zhǎng)度,面積,體積,無(wú)限多個(gè),相等,3.幾何概型的概率公式 P(A)=_,【即時(shí)小測(cè)】 1.思考下列問(wèn)題： (1)幾何概型的概率計(jì)算一定與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)? 提示：幾何概型的概率只與它的長(zhǎng)度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān). (2)在射擊中，運(yùn)動(dòng)員擊中靶心的概率是在(0，1)內(nèi)嗎? 提示：不是.根

2、據(jù)幾何概型的概率公式，一個(gè)點(diǎn)的面積為0，所以概率為0.,2.如圖所示，在地面上放置著一個(gè)等分為8份的塑料圓盤(pán)，若將一粒玻璃球丟在該圓盤(pán)中，則玻璃球落在A區(qū)域內(nèi)的概率是() A.B.C.D.1,【解析】選A.玻璃球丟在該圓盤(pán)內(nèi)，玻璃球落在各個(gè)區(qū)域內(nèi)是隨機(jī) 的，并且落在該圓盤(pán)內(nèi)的任何位置是等可能的 ，因此該問(wèn)題是幾何 概型.由于A區(qū)域占整個(gè)圓形區(qū)域面積的，所以玻璃球落入A區(qū)域的概 率為 .,3.在1000mL水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是. 【解析】由幾何概型知，P= . 答案：,4.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a-10”發(fā)生

3、的概率為. 【解析】由題意，得0a ，所以根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得事件“3a-10”發(fā)生的概率為 . 答案：,5.在(x，y)|0 x1，0y1中，滿足yx的事件的概率為. 【解析】由0 x1且0y1得到的正方形面積為S=1， 而y=x恰把其面積二等分，故P= . 答案：,【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn) 幾何概型的概念及公式 觀察圖形，回答下列問(wèn)題：,問(wèn)題1：幾何概型與古典概型有何區(qū)別? 問(wèn)題2：如何求得幾何概型中事件A發(fā)生的概率?,【總結(jié)提升】 幾何概型與古典概型的異同點(diǎn),【題型探究】 類(lèi)型一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 【典例】1.取一根長(zhǎng)為5m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于

4、2m的概率為() A.B.C.D.,2.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為 ，則 =() A.B.C.D.,【解題探究】1.典例1中，剪得兩段的長(zhǎng)都不小于2m，應(yīng)將繩子幾等分? 提示：五等分 2.典例2中如何確定點(diǎn)P的位置? 提示：在矩形ABCD中，分別以A，B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧交CD分別于E，F(xiàn)，點(diǎn)P在線段EF上時(shí)滿足題意.,【解析】1.選D.如圖所示.記“剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于2m”為事件A. 把繩子五等分， 于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度 等于繩長(zhǎng)的 ，所以事件A發(fā)生的概率P(A)= .,2.選D.如

5、圖，在矩形ABCD中， 分別以B，A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧交CD分別于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在 線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足題設(shè)要求，所以E，F(xiàn)為CD的四等分點(diǎn)，設(shè) AB=4，則DF=3，AF=AB=4，在直角三角形ADF中， 所以,【方法技巧】求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的步驟 (1)找到試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段， (2)找到事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過(guò)程中，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率. (3)利用幾何概型概率的計(jì)算公式P= 計(jì)算.,【變式訓(xùn)練】平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑ra的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，

6、求硬幣不與任一條平行線相碰的概率. 【解析】設(shè)事件A：“硬幣不與任一條平行線相碰”.為了確定硬幣的 位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，這樣線 段OM長(zhǎng)度(記作|OM|)的取值范圍是0，a，只有當(dāng)r|OM|a時(shí)，硬 幣不與平行線相碰，其長(zhǎng)度范圍是(r，a.所以,答案：,類(lèi)型二 與面積有關(guān)的幾何概型 【典例】1.(2014遼寧高考)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(),2.(2015蚌埠高一檢測(cè))如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)

7、取自陰影部分的概率是.,【解題探究】1.典例1中要求質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率，需要先求什么? 提示：需要求長(zhǎng)方形ABCD的面積及以AB為直徑的半圓的面積. 2.典例2中，如何求陰影部分的面積? 提示：利用“割補(bǔ)法”.,【解析】1.選B.由題意AB2，BC1，可知長(zhǎng)方形ABCD的面積S 212，以AB為直徑的半圓的面積 故質(zhì)點(diǎn)落在以AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率 2.如圖所示，,設(shè)OAOBr，則兩個(gè)以 為半徑的半圓的公共部分面積為 兩個(gè)半圓外部的陰影部分面積為 所以所求概率為 答案：,【方法技巧】處理面積型幾何概型的策略 設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點(diǎn)，若落在區(qū)域g上

8、的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比，而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，則點(diǎn)落在區(qū)域g上的概率為,【變式訓(xùn)練】（2015福建高考）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù) 的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（ ）,【解題指南】求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型的概率計(jì) 算. 【解析】選B.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，B(1,0)且點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在直 線y=x+1和 上，所以C(1,2)和D(-2,2)，所以陰影部分三角 形的面積 S矩形=32=6，故此點(diǎn)取自陰影部分的概 率,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015衡水調(diào)研)在面積為S的矩形

9、ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) P，則PAB的面積不大于 的概率是_. 【解析】如圖，作PEAB，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)ABa，BCb，PEh，,由題意得， 所以 由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率 答案：,類(lèi)型三 與體積有關(guān)的幾何概型 【典例】1.(2015成都高一檢測(cè))一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1.稱(chēng)其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為 (),2.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為.,【解題探究】1.典例1中，滿足題意的區(qū)域是什么? 提示：滿足

10、題意的點(diǎn)區(qū)域?yàn)椋何挥谠撜襟w中心的一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體. 2.典例2中，求解與體積有關(guān)的幾何概型關(guān)鍵是什么? 提示：解與體積有關(guān)的幾何概型關(guān)鍵是確定基本事件構(gòu)成的體積與所求基本事件構(gòu)成的體積.,【解析】1.選C.依題意，在棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)任意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn) 到各面的距離均大于1，所以滿足題意的點(diǎn)區(qū)域?yàn)椋何挥谠撜襟w中 心的一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體.由幾何概型的概率公式，可得滿足題意 的概率為,2.先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱 1222，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積 則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率為： 故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為： 答

11、案：,【延伸探究】 1.（改變問(wèn)法）若典例1中條件不變，求這個(gè)蜜蜂飛到正方體某一頂 點(diǎn)A的距離小于 的概率 【解析】到A點(diǎn)的距離小于 的點(diǎn)，在以A為球心，半徑為 的球內(nèi) 部，而點(diǎn)又必須在已知正方體內(nèi)，則滿足題意的A點(diǎn)的區(qū)域體積為 所以,2.（變換條件）若典例2中的條件變?yōu)樵诶忾L(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，結(jié)果如何？ 【解析】與點(diǎn)O距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球面， 半球體積為： “點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1”事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為 則點(diǎn)P與點(diǎn)O 距離大于1的概率是,【方法技巧】 1.與體積有關(guān)的幾何概型概率的求法

12、 如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為 2.解決與體積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn) 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長(zhǎng)度有關(guān)，不要將二者混淆.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取 點(diǎn)M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于 的概率為_(kāi). 【解析】正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)M-ABCD的高為h，則 又S四邊形ABCD1， 所以h 若體積小于,則h 即點(diǎn)M在正方體的下半部分， 所以 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】（2015臨沂高一檢測(cè)）如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A，連接AA

13、，得到一條弦，則此弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為( ),【解析】選C.如圖所示，要使弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度，只要點(diǎn)A在劣弧A1A2上. AA1=AA2=R， 所以AOA1=AOA2= 故由幾何概型的概率公式得,【拓展延伸】與角度有關(guān)的幾何概型的概率求法 (1)如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示，那么事件A的概率的計(jì)算公式為 (2)解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域角度內(nèi)是均勻的，進(jìn)而判定事件的發(fā)生是等可能的.,易錯(cuò)案例 求解幾何概型問(wèn)題 【典例】在等腰RtABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則|AM|AC|的概率為( ),【失誤案例】,【錯(cuò)解分析】分析解題過(guò)程，你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示：錯(cuò)誤的根本原因是錯(cuò)誤的選擇觀察角度，將等可能取點(diǎn)看作等可能作射線.,【自我矯正】選D.在ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在任何位置都是等可能的. 在AB上取AC=AC