1、第三章 整式及其加減,初中數(shù)學(xué)（北師大版） 七年級(jí) 上冊(cè),例(2016吉林長春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)期中)如圖3-5-1,觀察圖形,尋找規(guī)律,在“?”處應(yīng)填的數(shù)是. 圖3-5-1,解析題圖中第2個(gè)數(shù)為21,第3個(gè)數(shù)為-22,第4個(gè)數(shù)為23,按此規(guī)律,“?”處應(yīng)填的數(shù)為-28=-256.,題型一等式中的規(guī)律探索 例1(2014廣西百色中考)觀察下列等式: 32-12=8, 52-12=24, 72-12=48, 92-12=80, 由以上規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為.,解析通過觀察發(fā)現(xiàn),等號(hào)的左邊中被減數(shù)是連續(xù)奇數(shù)的平方,減數(shù)是12,等號(hào)的右邊是兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的乘積.所以第n個(gè)等式為(2n+1)2-12=

2、2n(2n+2),即(2n+1)2-12=4n(n+1).,題型二幾何圖形的規(guī)律探索 例2(2014重慶中考B卷)如圖3-5-2,下列圖形都是按照一定規(guī)律組成的,第一個(gè)圖形中共有2個(gè)三角形,第二個(gè)圖形中共有8個(gè)三角形,第三個(gè)圖形中共有14個(gè)三角形,依此規(guī)律,第五個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是() 圖3-5-2 A.22B.24C.26D.28,答案C 點(diǎn)撥本題考查了圖形的規(guī)律探究,解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律,從第一個(gè)圖形開始分析,然后依次計(jì)數(shù)、列表分析,有助于獲得規(guī)律.,探索規(guī)律中的數(shù)學(xué)抽象 典例剖析,例將正方形ABCD(如圖3-5-3)作如下劃分: 第1次劃分:分別連接正方形ABCD對(duì)邊的中點(diǎn)

3、(如圖3-5-3),得線段HF和EG,它們交于點(diǎn)M,此時(shí)圖3-5-3中共有5個(gè)正方形; 第2次劃分:將圖3-5-3左上角的正方形AEMH再作劃分,得圖3-5-3,則圖3-5-3中共有9個(gè)正方形. (1)若每次都把左上角的正方形依次劃分下去,則第3次劃分后,圖中共有個(gè)正方形; (2)繼續(xù)劃分下去,第n次劃分后,圖中共有多少個(gè)正方形?,解析(1)13. (2)觀察可得,第n次劃分后,圖中共有(4n+1)個(gè)正方形. (3)1-. 提示: =+ =1-+-+-+- =1-.,知識(shí)點(diǎn)探索規(guī)律的一般方法 1.(2015山東德州中考)一組數(shù)1,1,2,x,5,y,滿足“從第三個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)都等于它前面的兩個(gè)

4、數(shù)之和”,那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為() A.8B.9C.13D.15,答案A根據(jù)“從第三個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)都等于它前面的兩個(gè)數(shù)之和”,得x=2+1=3,y=3+5=8,故選A.,2.用正三角形和正六邊形按如圖3-5-1所示的規(guī)律拼圖案,則第n個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為. 圖3-5-1,答案2n+2,解析第一個(gè)圖案共有4個(gè)正三角形, 第二個(gè)圖案比第一個(gè)圖案增加了2個(gè)正三角形, 第三個(gè)圖案比第二個(gè)圖案增加了2個(gè)正三角形, 第n個(gè)圖案共有4+2(n-1)=(2n+2)個(gè)正三角形.,3.將連續(xù)奇數(shù)1,3,5,7,9,排成如圖3-5-2所示的數(shù)陣:, 圖3-5-2 觀察數(shù)陣,回答下列問題. (1)“十字架”中

5、的五個(gè)數(shù)的和與正中間的數(shù)19有什么關(guān)系? (2)若用a表示正中間的數(shù),請(qǐng)用代數(shù)式表示五個(gè)數(shù)的和.,解析(1)“十字架”中的五個(gè)數(shù)的和為5+17+19+21+33=95,是正中間的數(shù)19的5倍. (2)如圖,用a表示正中間的數(shù),則“十字架”中的五個(gè)數(shù)分別為(a-14),(a-2),a,(a+2),(a+14),則這五個(gè)數(shù)的和為(a-14)+(a-2)+a+(a+2)+(a+14)=5a.,1.(2016湖南邵陽中考)如圖所示,下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律,根據(jù)此規(guī)律,最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系是() A.y=2n+1B.y=2n+n C.y=2n+1+nD.y=2n+n+1,

6、答案B根據(jù)3=1+21,6=2+22,11=3+23,總結(jié)規(guī)律,y與n之間的關(guān)系式為y=n+2n,故選B.,2.如圖所示,按這種規(guī)律堆放圓木,則第10堆有圓木() A.50根B.60根 C.65根D.55根,答案D第1堆有圓木1根,第2堆有圓木(1+2)根,第3堆有圓木(1+2+3)根,故第10堆有圓木1+2+3+10=55(根).,3.觀察下面的數(shù)的排列規(guī)律,寫出后面的數(shù): 2,4,6,8,10,則第n個(gè)數(shù)為; 3,5,7,9,則第n個(gè)數(shù)為; 3,9,27,81,則第n個(gè)數(shù)為; 1,6,11,16,21,26,則第n個(gè)數(shù)為; 1,則第n個(gè)數(shù)為.,答案2n2n+13n5n-4;,解析這列數(shù)為2

7、1,22,23,則第n個(gè)數(shù)為2n. 這列數(shù)為21+1,22+1,23+1,則第n個(gè)數(shù)為2n+1. 這列數(shù)為31,32,33,34,則第n個(gè)數(shù)為3n. 這列數(shù)為1,1+5,1+25,1+35,則第n個(gè)數(shù)為1+5(n-1)=5n-4. 分子為1,3,5,7,則第n個(gè)數(shù)的分子為2n-1, 分母為1,4,9,16,則第n個(gè)數(shù)的分母為n2, 故第n個(gè)數(shù)為.,1.圖3-5-3都是用同樣大小的棋子按一定規(guī)律擺成的,其中第1幅圖有4枚棋子,第2幅圖有9枚棋子,第3幅圖有14枚棋子,第4幅圖有19枚棋子,依此規(guī)律,第n幅圖棋子的枚數(shù)是() 圖3-5-3 A.4n+1B.4n+2C.5n-1D.6n-2,答案C第

8、1幅圖有4=(51-1)枚棋子,第2幅圖有9=(52-1)枚棋子,第3幅圖有14=(53-1)枚棋子,第n幅圖有(5n-1)枚棋子.,2.小明媽媽買了一塊正方形地毯,地毯上有由“”組成的圖案(如圖3-5-4).觀察局部有如此規(guī)律:小明數(shù)“”的個(gè)數(shù)的方法是用“L”來劃分的,從右上角的1個(gè)開始,一層一層往外數(shù),第一層1個(gè),第二層3個(gè),第三層5個(gè),這樣他發(fā)現(xiàn)了連續(xù)奇數(shù)求和的方法. 圖3-5-4 通過閱讀上段材料,請(qǐng)完成下列問題: (1)1+3+5+7+9+27+29=;,(2)13+15+17+197+199=; (3)1+3+5+(2n-1)+(2n+1)=.,答案(1)225(2)9 964(3

9、)(n+1)2,解析(1)由題中的規(guī)律知,1+3+5+27+29=152=225. (2)1+3+5+197+199=1002=10 000, 1+3+5+7+9+11=36, 13+15+17+197+199=10 000-36=9 964. (3)1+3+5+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)2.,1.(2015廣西崇左中考)如圖是將正三角形按一定規(guī)律排列的,則第4個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)為() A.160B.161C.162D.163,答案B題圖中第1個(gè)圖形中有正三角形1+4=5個(gè),第2個(gè)圖形中有正三角形1+4+34=17個(gè),第3個(gè)圖形中有正三角形1+4+34+334=53個(gè),故第

10、4個(gè)圖形中有正三角形1+4+34+334+3334=161個(gè).故選B.,2.(2015貴州黔南州中考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù),規(guī)定:甲、乙、丙、丁首次報(bào)出的數(shù)依次為1、2、3、4,接著甲報(bào)5,乙報(bào)6,后一位同學(xué)報(bào)出的數(shù)比前一位同學(xué)報(bào)出的數(shù)大1,按此規(guī)律,當(dāng)報(bào)到的數(shù)是50時(shí),報(bào)數(shù)結(jié)束;若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù),則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.在此過程中,甲同學(xué)需要拍手的次數(shù)為.,答案4,解析因?yàn)?04=122,所以甲共報(bào)數(shù)13次,分別為1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,其中是3的倍數(shù)的有9,21,33,45,所以甲同學(xué)應(yīng)拍手4次,故答案為4.,答案

11、B根據(jù)排列規(guī)律,知10下面的數(shù)是12,10右面的數(shù)是14,8=24-0,22=46-2,44=68-4,m=1214-10=158.,2.(2018廣東梅州實(shí)驗(yàn)中學(xué)第二次質(zhì)檢,7,)在一列數(shù):a1,a2,a3,an中,a1=3,a2=7,從第三個(gè)數(shù)開始,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)之積的個(gè)位數(shù)字,則這一列數(shù)中的第2 017個(gè)數(shù)是() A.1B.3C.7D.9,答案B因?yàn)閍1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7,所以周期為6, 因?yàn)? 0176=3361,所以a2 017=a1=3.故選B.,解析(1)第一個(gè)圖形中正方形有1=12個(gè),周長為4=(4+60)cm

12、, 第二個(gè)圖形中正方形有4=22個(gè),周長為10=(4+61)cm, 第三個(gè)圖形中正方形有9=32個(gè),周長為16=(4+62)cm, 故第四個(gè)圖形中正方形有42=16個(gè),周長為4+63=22 cm. (2)根據(jù)規(guī)律可知,第n個(gè)圖形由n2個(gè)正方形組成, 周長為4+6(n-1)=(6n-2)cm. (3)由題意可知,6n-2=58,所以n=10,此時(shí)正方形有102=100個(gè).,1.(2017山東棗莊臺(tái)兒莊期中,10,)下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的,其中第個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈,第個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈,第個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈,按此規(guī)律排列,則第個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為()

13、A.21B.24C.27D.30,答案B觀察圖形可以看出,從第個(gè)圖形開始,每個(gè)圖形比前一個(gè)多3個(gè)小圓圈,故第個(gè)圖形有6+3(n-1)個(gè)小圓圈.當(dāng)n=7時(shí),6+3(n-1)=6+3 (7-1)=24,即第個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為24.,2.(2017廣東湛江二十七中期中,10,)如圖所示,將一個(gè)圓依次二等分、三等分、四等分、五等分、,并按圖中規(guī)律在半徑上擺入黑色棋子,則第1幅圖中有5個(gè)棋子,第2幅圖中有10個(gè)棋子,第3幅圖中有17個(gè)棋子,第4幅圖中有26個(gè)棋子,依此規(guī)律,則第6幅圖中所含棋子數(shù)目為() A.51B.20C.49D.50,答案D第1幅圖中有22+1=5個(gè)棋子,第2幅圖中有32+1=1

14、0個(gè)棋子,第3幅圖中有42+1=17個(gè)棋子,第n幅圖中有(n+1)2+1個(gè)棋子,故第6幅圖中有(6+1)2+1=50個(gè)棋子.,3.(2016河北保定十七中期末,20,)將一列有理數(shù)-1,2,-3,4,-5,6,按如圖所示有序排列.如:“峰1”中峰頂C的位置是有理數(shù)4;“峰2”中峰頂C的位置是有理數(shù)-9,根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知,“峰6”中峰頂C的位置是有理數(shù),2 016應(yīng)排在A、B、C、D、E中的位置.,答案-29;E,解析“峰n”中峰頂C位置的有理數(shù)的絕對(duì)值為5n-1,且該有理數(shù)奇數(shù)為負(fù),偶數(shù)為正.故“峰6”中峰頂C位置的有理數(shù)的絕對(duì)值為56-1=29,因?yàn)?9為奇數(shù),所以“峰6”中峰頂C位置

15、的有理數(shù)為-29.每五個(gè)位置一循環(huán),(2 016-1)5=403,故2 016應(yīng)排在E位置.,4.(2018廣東深圳錦華實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中,23,)觀察下列等式: 第1個(gè)等式:a1=; 第2個(gè)等式:a2=; 第3個(gè)等式:a3=; 第4個(gè)等式:a4=; 請(qǐng)解答下列問題: (1)按以上規(guī)律列出第6個(gè)等式:a6=; (2)若n是正整數(shù),請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式,an=; (3)求a1+a2+a3+a100的值.,解析(1)a6=. (2)an=. (3)a1+a2+a3+a100 =+ = =.,答案C第個(gè)圖形中有3=(12+2)個(gè)菱形, 第個(gè)圖形中有7=(22+3)個(gè)菱形, 第個(gè)圖形中有13=(3

16、2+4)個(gè)菱形, 第個(gè)圖形中有92+10=91個(gè)菱形, 故選C.,答案9n+3,解析由圖形及數(shù)字規(guī)律可知,第n個(gè)圖中正方形的個(gè)數(shù)為5n+1,等邊三角形的個(gè)數(shù)為4n+2,所以正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為5n+1+4n+2=9n+3.,圖3-5-9 【規(guī)律探究】 將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖3-5-10所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n-1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一個(gè)位置上三個(gè)圓圈中,數(shù)的和均為.由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+n2)=.因此,12+22+32+n2=. 圖3-5-

17、10 【解決問題】 根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算的結(jié)果為.,1.(2017四川綿陽中考,12,)如圖所示,將形狀、大小完全相同的“”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形.第1幅圖中“”的個(gè)數(shù)為a1,第2幅圖中“”的個(gè)數(shù)為a2,第3幅圖中“”的個(gè)數(shù)為a3,以此類推,則+的值為() A.B.C.D.,2.(2014湖北十堰中考,7,)根據(jù)下圖中箭頭的指向規(guī)律,從2 013到2 014再到2 015,箭頭的方向是以下選項(xiàng)中的(),答案D由題圖可知,每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組,又因?yàn)? 0134=5031,所以2 013是第504個(gè)循環(huán)組的第2個(gè)數(shù),所以從2 013到2 014再到2 015,箭頭的方向是.,3.(2016

18、黑龍江綏化中考,19,)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21,叫做三角形數(shù),它有一定的規(guī)律性.若把第一個(gè)三角形數(shù)記為a1,第二個(gè)三角形數(shù)記為a2,第n個(gè)三角形數(shù)記為an,計(jì)算a1+a2,a2+a3,a3+a4,由此推算a399+a400=.,答案1.6105,解析a1+a2=4=22,a2+a3=9=32,a3+a4=16=42,a399+a400=4002=1.6105,故答案為1.6105.,4.(2015廣東深圳中考,15,)觀察如圖所示的圖形,它們是按一定規(guī)律排列的,依照此規(guī)律,第5個(gè)圖形有個(gè)太陽.,答案21,解析每個(gè)圖形第一行的規(guī)律是1,2,3,4,故第5個(gè)圖形的第一行有5個(gè)太陽;每個(gè)圖形第二行的規(guī)律是1,2,4,8,故第5個(gè)圖形的第二行有16個(gè)太陽,第5個(gè)圖形共有21個(gè)太陽.,1.有一個(gè)數(shù)學(xué)游戲,其規(guī)則是:對(duì)一個(gè)“數(shù)串”中任意相鄰的兩個(gè)數(shù),都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù),所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間,產(chǎn)生一個(gè)新“數(shù)串”,這稱為一次操作.例如:對(duì)于數(shù)串2,7,6,第一次操作后產(chǎn)生的新數(shù)串為2,5,7,-1,6;對(duì)產(chǎn)生的新數(shù)串進(jìn)行同樣的操作,第二次操作后產(chǎn)生的新數(shù)串為2,3,5,2,7,-8,-1,7,6;對(duì)數(shù)串3,1,6也進(jìn)行這樣的操作,第30次操作后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串中所有數(shù)的和是.,答案100,解析根據(jù)題