1、第4章曲線和曲面,4.1 曲線和曲面基礎(chǔ) 4.2 二次插值樣條曲線 4.3 三次插值樣條曲線 4.4 Bezier曲線和曲面 4.5 B樣條曲線,曲線或曲面分為兩大類： 規(guī)則曲線或曲面：可以用一個(gè)確切的曲線或曲面方程式來(lái)表示。 比如，圓和球面、橢圓和橢球面、拋物線和拋物面、正弦曲線、擺線、螺線等。 不規(guī)則曲線或曲面：不能確切給出描述整個(gè)曲線或曲面的方程，是由實(shí)際測(cè)量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)用擬合方法來(lái)逼近的。一般采用分段的多項(xiàng)式參數(shù)方程來(lái)表示，由此形成一條光滑連續(xù)的曲線或曲面，稱為樣條曲線或曲面。比如Hermite樣條曲線或曲面、Bezier樣條曲線或曲面、B樣條曲線或曲面等。,4.1 曲線和

2、曲面基礎(chǔ),一、直角坐標(biāo)表示 1、顯式：y = f(x)，如y = sin(x)。 2、隱式：f(x, y) = 0，如 x2 + y2 = 1。 3、轉(zhuǎn)換成參數(shù)坐標(biāo)表示： 一般形式：,x = x(t) y = y(t), 顯式表示y = f(x) 的曲線轉(zhuǎn)換成參數(shù)坐標(biāo)表示：,x = x y = f(x),4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法,隱式表示f(x, y) = 0的曲線轉(zhuǎn)換成參數(shù)坐標(biāo)表示：,常用的重要曲線基本上都能用參數(shù)坐標(biāo)表示。例如，星形線的直角坐標(biāo)表示（隱式）： x2/3 + y2/3 = R2/3 （R正常數(shù)）,寫成參數(shù)坐標(biāo)表示： x = Rcos3 y = Rsin3 （02）,

3、4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法,二、極坐標(biāo)表示 對(duì)任意極坐標(biāo)曲線=()，可利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)變換關(guān)系式： x =cos y =sin,將此曲線轉(zhuǎn)換成參數(shù)坐標(biāo)表示為： x =()cos y =()sin,4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)變換關(guān)系式為： x =cos y =sin,將=a代入上面兩式，阿基米德螺線用參數(shù)坐標(biāo)表示為： x =acos y =asin,例如，重要曲線阿基米德螺線的極坐標(biāo)表示： =a （a正常數(shù)）,4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法,三、參數(shù)坐標(biāo)表示 曲線的參數(shù)坐標(biāo)一般表示為： x = x(t) y = y(t),例如，彈道曲線： x =V0tc

4、os y =V0tsingt2/2 （0t2V0Sin/g） 式中V0、g、均為常數(shù)，t 為參數(shù)變量。,4.1.1 規(guī)則曲線或曲面的表示法,4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術(shù)語(yǔ),常用的二次或三次參數(shù)樣條曲線或曲面形式如下： 二次參數(shù)樣條曲線： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次參數(shù)樣條曲線： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3,1型值點(diǎn)： 是指通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。,2控制點(diǎn)： 是指用來(lái)控制或調(diào)整曲線或曲面形狀的特殊點(diǎn)，曲線或曲面本身不一定通過(guò)該控制點(diǎn)。,3插值與逼近 插值方法要求建立的曲線或曲面數(shù)學(xué)模型，嚴(yán)

5、格通過(guò)已知的每一個(gè)型值點(diǎn)。而逼近方法建立的曲線或曲面數(shù)學(xué)模型只是近似地接近已知的型值點(diǎn)。,4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術(shù)語(yǔ),4擬合 是指在曲線或曲面的設(shè)計(jì)過(guò)程中，用插值或逼近的方法使生成的曲線或曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求，如在允許的范圍內(nèi)貼近原始的型值點(diǎn)或控制點(diǎn)序列，或曲線看上去很光滑等。擬合是插值與逼近兩種設(shè)計(jì)方法的統(tǒng)稱。,5參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性 設(shè)計(jì)一條復(fù)雜曲線時(shí)，經(jīng)常通過(guò)多段曲線組合而成，這需要解決曲線段之間光滑連接的問(wèn)題。為保證分段參數(shù)曲線從一段到另一段平滑過(guò)渡，可以在連接點(diǎn)處要求各種參數(shù)連續(xù)性條件。,4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術(shù)語(yǔ),0階參數(shù)連續(xù)性：記作C0連續(xù)，是指曲線

6、相連，即前一個(gè)曲線段的終點(diǎn)與后一個(gè)曲線段的起點(diǎn)相同。P(1)=Q(0) 一階參數(shù)連續(xù)性：記作C1連續(xù)，是指兩個(gè)相鄰曲線段在連接點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)。P(1)=Q(0) 二階參數(shù)連續(xù)性：記作C2連續(xù)，是指兩個(gè)相鄰曲線段在連接點(diǎn)處有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。P(1)=Q(0)且P(1)=Q(0),4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術(shù)語(yǔ),連接兩個(gè)相鄰曲線段的另一個(gè)方法是指定幾何連續(xù)性條件。這種情況下，只需相鄰兩個(gè)曲線段在連接點(diǎn)處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例而不是相等。,0階幾何連續(xù)性：記為G0連續(xù)，與C0連續(xù)相同，即前一個(gè)曲線段的終點(diǎn)與后一個(gè)曲線段的起點(diǎn)相同。P(1)=Q(0),4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常

7、用術(shù)語(yǔ),一階幾何連續(xù)性：記為G1連續(xù)，指兩個(gè)相鄰曲線段在連接點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比例但不一定相等。P(1)=Q(0) (0) 二階幾何連續(xù)性：記為G2連續(xù)，指兩個(gè)相鄰曲線段在連接點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均成比例但不一定相等。P(1)=Q(0)且P(1)=Q(0) (0，0),4.1.2 參數(shù)樣條曲線或曲面的常用術(shù)語(yǔ),4.2 二次插值樣條曲線,在擬合生成樣條曲線的眾多方法中，首先來(lái)討論用插值方法生成通過(guò)給定離散型值點(diǎn)的二次樣條曲線，即拋物樣條曲線。,二次插值樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成 二次插值樣條曲線的端點(diǎn)條件 二次插值樣條曲線的性質(zhì),4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,

8、已知不在同一直線上的三點(diǎn)P1、P2、P3，要求通過(guò)給定的這三點(diǎn)定義一條拋物線。,二次樣條曲線的參數(shù)化表達(dá)式為： P(t) = A1 + A2t + A3t2 (0t1) (4-1),A1、A2、A3為表達(dá)式的系數(shù)，且是向量形式。若是二維平面曲線，則為二維向量；若是三維空間曲線，則為三維向量。,確定系數(shù)A1、A2、A3的三個(gè)獨(dú)立條件：,該曲線過(guò)P1、P2、P3三個(gè)點(diǎn)，并且： 曲線段以P1點(diǎn)為始點(diǎn)。即當(dāng)參變量t = 0時(shí)，曲線過(guò)P1點(diǎn)； 曲線段以P3點(diǎn)為終點(diǎn)。即當(dāng)參變量t = 1時(shí)，曲線過(guò)P3點(diǎn)； 當(dāng)參變量t = 0.5時(shí)，曲線過(guò)P2點(diǎn)，且切矢量等于P3P1。,4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學(xué)表

9、達(dá)式,根據(jù)以上設(shè)定的三個(gè)獨(dú)立條件，可以列出方程組： t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 (4-2) t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2,解得三個(gè)系數(shù)A1、A2、A3分別為：,4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,A1 = P1 A2 = 4P2 P3 3P1 (4-3) A3 = 2P1+ 2P3 4P2,把求出的三個(gè)系數(shù)代入到式(4-1)中，可得： P(t)= A1 + A2t + A3t2 = P1 +(4P2 P3 3P1)t + (2P1+2P3 4P2)t2 (0t1) =

10、 (2t2 3t + 1)P1 + (4t2 + 4t)P2 + (2t2 t)P3 (4-4),把式(4-4)改寫成矩陣形式為：,4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,式(4-5)中的P(t)是一個(gè)點(diǎn)向量，在二維平面上它包含了兩個(gè)坐標(biāo)值x(t), y(t)，故式(4-5)的直觀形式可以寫成如下形式：,4.2.1 二次插值樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,例題：已知平面三點(diǎn)P1(10,5)，P2(20,20)，P3(40,15)，求這3點(diǎn)確定的二次插值樣條曲線。 解：曲線方程為：,4.2.2 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成,設(shè)有一個(gè)離散型值點(diǎn)列Pi(i = 1, 2, ,n)，可以按式(4-5) 每經(jīng)過(guò)相

11、鄰三點(diǎn)作一段拋物線，由于有n個(gè)型值點(diǎn)，所以像這樣的拋物線段一共可以作出n2條。,第i條拋物線段經(jīng)過(guò)Pi、Pi+1、Pi+2三點(diǎn)，其表達(dá)式為： Si(ti)=(2ti23ti+1)Pi+(4ti4ti2)Pi+1+(2ti2ti)Pi+2 (0ti1) (4-7),第i+1條拋物線段經(jīng)過(guò)Pi+1、Pi+2、Pi+3三點(diǎn)，其表達(dá)式為： Si+1(ti+1)=(2ti+123ti+1+1)Pi+1+(4ti+14ti+12)Pi+2+(2ti+12ti+1)Pi+3 (0ti+11) (4-8),4.2.2 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成,一般來(lái)說(shuō)，每?jī)啥吻€之間的搭接區(qū)間，兩條拋物線是不可能重合的。S

12、i和Si+1兩條拋物線在Pi+1和Pi+2兩點(diǎn)之間為搭接區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)，Si和Si+1不太可能自然地重合成一條曲線。,對(duì)于擬合曲線來(lái)說(shuō)，整個(gè)型值點(diǎn)列必須只能用一條光滑曲線連接起來(lái)。因此，在Si和Si+1兩條曲線的搭接區(qū)間內(nèi)，必須有一個(gè)方法能夠讓它們按照一定的法則結(jié)合成一條曲線，這樣結(jié)合的方法就是加權(quán)合成。,4.2.2 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成,在加權(quán)合成過(guò)程中，首先要選擇兩個(gè)合適的權(quán)函數(shù)。這里選擇的兩個(gè)權(quán)函數(shù)分別設(shè)為f(T)和g(T)，加權(quán)合成后的曲線用Pi+1(t)表示，則： Pi+1(t) = f(T)Si(ti) + g(T)Si+1(ti+1) (4-9),4.2.2 二次插值樣條

13、曲線的加權(quán)合成,在拋物樣條曲線中，權(quán)函數(shù)f(T)和g(T)都是簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，且它們之間存在互補(bǔ)性。它們分別為： f(T) = 1T g(T) = T (0T1),這樣，式(4-9)可改寫為： Pi+1(t) = (1T)Si(ti) +TSi+1(ti+1) (4-10),式(4-10)中包含了三個(gè)參變量T、ti、ti+1，必須要統(tǒng)一這三個(gè)參變量：,4.2.2 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成,這里選擇 t 作為統(tǒng)一后的參變量，把原有的三個(gè)參變量T、ti、ti+1都化成唯一含有t的形式，并給t 規(guī)定一個(gè)合適的取值范圍。假設(shè)t的取值范圍為：0t0.5，則三個(gè)參變量可統(tǒng)一形式為：,4.2.2 二次插值

14、樣條曲線的加權(quán)合成,T = 2t ti = 0.5 + t 0t0.5 ti+1 = t,則式(4-10)可根據(jù)新的參變量t 改寫成如下形式： Pi+1(t) = (12t)Si(t + 0.5) + 2tSi+1(t) (4-11),其中： Si(t+0.5) = (2t2t)Pi+(14t2)Pi+1+(2t2+t)Pi+2 Si+1(t) = (2t23t+1)Pi+1+(4t4t2)Pi+2+(2t2t)Pi+3,4.2.2 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成,把以上兩式代入式(4-11)，展開(kāi)、整理后可得： Pi+1(t) = (4t3 + 4t2 t)Pi + (12t310t2 +1)P

15、i+1 + (12t3 + 8t2 + t)Pi+2 + (4t3 2t2)Pi+3 (i = 1，2， n3) (0t0.5) (4-12),假如一個(gè)離散點(diǎn)列Pi具有n個(gè)型值點(diǎn)，即i=1，2，n。那么根據(jù)式(4-12)，加權(quán)合成后可以生成n3段拋物樣條曲線。即式(4-12)中的i的取值范圍為：i =1n3。,4.2.2 二次插值樣條曲線的加權(quán)合成,4.2.3 二次插值樣條曲線的端點(diǎn)條件,根據(jù)式(4-12)，在全部型值點(diǎn)列 Pi (i=1，2，n) 中，只能得到n3段曲線。但n個(gè)型值點(diǎn)之間應(yīng)該有n1個(gè)區(qū)段。主要是因?yàn)辄c(diǎn)列的首、尾兩段曲線P1P2和Pn1Pn段，由于缺乏連續(xù)相鄰的四點(diǎn)這樣的條件而

16、無(wú)法產(chǎn)生。,為了要產(chǎn)生首尾兩段曲線，可以在原點(diǎn)列的兩端各增加一個(gè)輔助點(diǎn)P0和Pn+1。,增加點(diǎn)P0和點(diǎn)Pn+1的三種方法： 已知兩端的切矢P1和Pn 在由P1、P2、P3三點(diǎn)所確定的拋物線中，過(guò)P2點(diǎn)曲線的切矢 P 2 = P3P1 即：P1 = P3P 2 根據(jù)上面的原理可得： P1 = P2P0 P0 = P2P1 Pn = Pn+1Pn1 Pn+1 = Pn1+ Pn,這種端點(diǎn)情況，一般適用于所求的曲線要和已經(jīng)存在的曲線或直線相連接。,4.2.3 二次插值樣條曲線的端點(diǎn)條件, 自由端條件 讓補(bǔ)點(diǎn)P0 和Pn+1與原兩端點(diǎn)P1 和Pn分別重合，即： P0 = P1 Pn+1 = Pn,這種

17、補(bǔ)點(diǎn)方法稱為自由端條件，該方法一般適用于對(duì)曲線的兩端沒(méi)有特殊要求。,4.2.3 二次插值樣條曲線的端點(diǎn)條件, 形成封閉曲線 在n個(gè)型值點(diǎn)之間形成封閉曲線，要生成n個(gè)曲線段，而不是原來(lái)的n1段。所以在補(bǔ)點(diǎn)中要增加3個(gè)點(diǎn)，首先讓首尾兩點(diǎn)重合，然后各向前后延長(zhǎng)一點(diǎn)，即： Pn+1 = P1 P0 = Pn Pn+2 = P2,4.2.3 二次插值樣條曲線的端點(diǎn)條件,4.2.4 二次插值樣條曲線的性質(zhì),二次插值樣條曲線的連續(xù)性問(wèn)題： 1、相鄰兩曲線段Pi+1(t)和Pi+2(t)在型值點(diǎn)P處相連。并且Pi+1(t)在P點(diǎn)處的參變量t =0.5，而Pi+2(t)在P點(diǎn)處的參變量t =0。 2、滿足C1連

18、續(xù)，即Pi+1(0.5) = Pi+2(0) = Pi+3-Pi+1,4.2.4 二次插值樣條曲線的性質(zhì),Pi+1(t) = (-4t3 + 4t2 t)Pi + (12t3 10t2 + 1)Pi+1 + (-12t3 + 8t2 + t)Pi+2 + (4t3 2t2)Pi+3 (0t0.5),Pi+1(t) = (-12t2 + 8t 1)Pi + (36t2 20t)Pi+1 +(-36t2 + 16t + 1)Pi+2 + (12t2 4t)Pi+3 當(dāng)t = 0.5時(shí)：Pi+1(0.5) = Pi+3 Pi+1,Pi+2(t) = (-12t2 + 8t 1)Pi+1 + (36t

19、2 20t)Pi+2 +(-36t2 + 16t + 1)Pi+3 + (12t2 4t)Pi+4 當(dāng)t = 0時(shí)：Pi+2(0) = Pi+3 Pi+1,因此得出Pi+1(0.5) = Pi+2(0) ，說(shuō)明可以達(dá)到C1連續(xù)。,4.3 三次插值樣條曲線,三次插值樣條曲線在靈活性和計(jì)算速度之間進(jìn)行了合理的折中。與更高次樣條相比，三次插值樣條只需較少的計(jì)算和存儲(chǔ)，且較穩(wěn)定。與二次插值樣條相比，三次插值樣條在模擬任意形狀時(shí)顯得更靈活。,三次插值樣條曲線由分段的三次多項(xiàng)式來(lái)描述。設(shè)其參變量為t，則分段三次插值樣條曲線表達(dá)式的一般形式為： P(t) = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 (

20、0ttm) (4-13),其中，P(ti) = x(ti) y(ti) z(ti)可以看作三次插值樣條曲線上某一點(diǎn)的位置向量，ti是該點(diǎn)的參變量，x(ti)、y(ti)、z(ti)可以看作是該點(diǎn)的坐標(biāo)值。,式(4-13)中的B1、B2、B3、B4為四個(gè)待定系數(shù)。必須確定這四個(gè)系數(shù)，這需要設(shè)定四個(gè)獨(dú)立條件。,n+1個(gè)型值點(diǎn)產(chǎn)生n 段曲線，每段曲線都需要確定四個(gè)系數(shù)。確定系數(shù)的不同方法導(dǎo)致不同的三次插值樣條曲線： 三次自然樣條曲線 Hermite樣條曲線 Cardinal樣條曲線,4.3 三次插值樣條曲線,4.3.1 三次自然樣條曲線,三次自然樣條曲線是最早用于圖形應(yīng)用的三次插值樣條曲線。 三次自

21、然樣條曲線具有C2連續(xù)性。 n+1個(gè)型值點(diǎn)（P0、P1、P2Pn）插值產(chǎn)生n段曲線，每段曲線有4個(gè)系數(shù)，共有4n個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)需要確定。,4.3.1 三次自然樣條曲線,4n個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)的確定： 對(duì)于每個(gè)內(nèi)型值點(diǎn)(P1、P2Pn-1，共n-1個(gè))有4個(gè)邊界條件：在該型值點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)相鄰曲線段在該點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)，并且兩個(gè)曲線段都要通過(guò)該點(diǎn)。4(n-1)個(gè)方程 曲線起點(diǎn)為第一個(gè)型值點(diǎn)P0，曲線終點(diǎn)為最后一個(gè)型值點(diǎn)Pn。2個(gè)方程 在P0 和 Pn兩點(diǎn)處設(shè)二階導(dǎo)數(shù)為0。2個(gè)方程,三次自然樣條曲線能夠做到曲線通過(guò)所有型值點(diǎn)。 缺點(diǎn)： 必須解方程組。 整條曲線受所有型值點(diǎn)控制，如果型值點(diǎn)中有任何

22、一個(gè)改動(dòng)，則整條曲線都受影響。因此，不允許“局部控制”。 在實(shí)際應(yīng)用中很少采用三次自然樣條曲線。,4.3.1 三次自然樣條曲線,4.3.2 Hermite樣條曲線,Hermite樣條曲線是以法國(guó)數(shù)學(xué)家Charles Hermite命名的，它是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式，并且在每個(gè)型值點(diǎn)處有給定的切線。 與三次自然樣條曲線不同，Hermite樣條曲線可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束。 整條曲線通過(guò)所有的型值點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)曲線段來(lái)說(shuō)，它通過(guò)兩個(gè)相鄰的型值點(diǎn)。,4.3.2 Hermite樣條曲線,Hermite樣條曲線段的確定： 已知：設(shè)曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為P0和P1，并且曲線段在兩端點(diǎn)處的切

23、矢量分別為P0和P1。參變量t是在兩個(gè)端點(diǎn)取值0和1之間變化。,對(duì)于每個(gè)三次曲線段，有了四個(gè)獨(dú)立條件：兩個(gè)端點(diǎn)的位置向量以及曲線段在兩端點(diǎn)處的切矢量。根據(jù)這四個(gè)條件可以得到方程組，求出分段表達(dá)式(4-13)中的四個(gè)系數(shù)：,P0 = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 = B1 (當(dāng)t=0) P1 = B1 + B2t + B3t2 + B4t3 = B1 + B2 + B3 + B4 (當(dāng)t=1) P0 = B2 + 2B3t + 3B4t2 = B2 (當(dāng)t=0) (4-14) P1 = B2 + 2B3t + 3B4t2 = B2 + 2B3 + 3B4 (當(dāng)t=1),4.3.2

24、 Hermite樣條曲線,式(4-14)寫成矩陣形式：,求解上述方程組中的B1、B2、B3、B4，可得Hermite樣條曲線的矩陣表達(dá)式：,4.3.2 Hermite樣條曲線,將式(4-16)展開(kāi)，得到第k段Hermite樣條曲線的表達(dá)式： P(t) = Pk(2t3-3t2+1) + Pk+1(-2t3+3t2) + Pk(t3-2t2+t) + Pk+1(t3-t2) (4-17),Hermite樣條曲線能局部修改，對(duì)某些數(shù)字化應(yīng)用有用。但對(duì)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的大部分問(wèn)題而言，除了型值點(diǎn)坐標(biāo)外，更好的做法是不需要輸入曲線斜率值或其它幾何信息就能生成樣條曲線。因此，出現(xiàn)了Cardinal樣條，它

25、不需要輸入控制點(diǎn)上的曲線導(dǎo)數(shù)值，而是采用控制點(diǎn)的坐標(biāo)位置來(lái)計(jì)算導(dǎo)數(shù)。,4.3.2 Hermite樣條曲線,4.3.3 Cardinal樣條曲線,Cardinal樣條曲線也是分段三次插值曲線，并且每個(gè)曲線段端點(diǎn)處均指定切線，但不一定要給出端點(diǎn)處的切線值。 一個(gè)Cardinal樣條曲線段由四個(gè)連續(xù)控制點(diǎn)給出。中間兩個(gè)控制點(diǎn)是曲線段的端點(diǎn)，另外兩個(gè)控制點(diǎn)用來(lái)計(jì)算端點(diǎn)斜率。,設(shè)P(t)是兩個(gè)控制點(diǎn)Pk和Pk+1間的參數(shù)三次函數(shù)式，則從Pk-1到Pk+2間的4個(gè)控制點(diǎn)用于建立Cardinal樣條曲線段的邊界條件：,P0 = Pk P1 = Pk+1 P0 = 1/2(1- ts)(Pk+1- Pk-1)

26、 (4-18) P1 = 1/2(1- ts)(Pk+2- Pk),控制點(diǎn)Pk和Pk+1處的斜率分別與弦Pk-1Pk+1和PkPk+2成正比。 參數(shù)ts：稱為張力參數(shù)，它控制Cardinal樣條曲線與輸入控制點(diǎn)之間的松緊程度。,4.3.3 Cardinal樣條曲線,張力參數(shù) ts 在Cardinal曲線形狀中的作用：,4.3.3 Cardinal樣條曲線,其中，s = (1-ts)/2。,將矩陣形式(4-19)展開(kāi)，得Cardinal樣條曲線多項(xiàng)式形式： P(t) = Pk-1(-st3 + 2st2 - st) + Pk(2-s)t3 + (s-3)t2 + 1 + Pk+1(s-2)t3

27、+ (3-2s)t2 + st + Pk+2(st3 - st2) (4-20),可以將邊界條件式(4-18)轉(zhuǎn)換成矩陣形式：,4.3.3 Cardinal樣條曲線,4.4 Bezier曲線和曲面,Bezier曲線的形狀是通過(guò)一組多邊折線（也稱Bezier多邊形或特征多邊形）唯一定義出來(lái)的。,在多邊折線的各頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)是在曲線上，其余頂點(diǎn)用來(lái)定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀。第一條邊和最后一條邊分別與曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處相切。曲線形狀趨于多邊折線的形狀。改變多邊折線的頂點(diǎn)位置和曲線形狀的變化有直觀的聯(lián)系。,4.4.1 Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義,n+1個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次多項(xiàng)式，其

28、參數(shù)向量表達(dá)式為：,式(4-21)中，Pi為各頂點(diǎn)的位置向量，Bi,n(t)為伯恩斯坦基函數(shù)，即Bezier多邊形的各頂點(diǎn)位置向量之間的調(diào)和函數(shù)。該函數(shù)的表達(dá)式為：,若規(guī)定：00和0！均為1，則當(dāng) t=0時(shí)： P(0) = P0B0, n(0) + P1B1, n(0) + P2B2, n(0) + PnBn, n(0),(4-21),(4-22),當(dāng)t=0時(shí)，除第一項(xiàng)外其余各項(xiàng)均為0，即：,當(dāng)t =1時(shí)： P(1) = P0B0, n(1) + P1B1, n(1) + P2B2, n(1) + PnBn, n(1),當(dāng)t =1時(shí)，除最后一項(xiàng)外其余各項(xiàng)均為0，即：,得出結(jié)論：Bezier曲線

29、通過(guò)多邊折線的起點(diǎn)和終點(diǎn)。,4.4.1 Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義,(4-23),(4-24),4.4.1 Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義,得出結(jié)論：Bezier曲線在點(diǎn)P0處與邊P0P1相切，在點(diǎn)Pn處與邊Pn-1Pn相切。,4.4.1 Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式定義,在起點(diǎn)t =0，式(4-25)中只有i=0, 1兩項(xiàng)有效，即：,(4-26),4.4.2 Bezier曲線的性質(zhì),1、伯恩斯坦基函數(shù)的性質(zhì)： 非負(fù)性： 權(quán)性： 對(duì)稱性： 遞推性： 導(dǎo)函數(shù)：,4.4.2 Bezier曲線的性質(zhì),2、Bezier曲線的性質(zhì)： 端點(diǎn)的位置矢量： 由式(4-23)和式(4-24)得：P(0)

30、=P0，P(1)=Pn 端點(diǎn)處的切矢量： 由式(4-26)和式(4-27)得：P(0)=n(P1-P0) P(1)=n(Pn-Pn-1) 對(duì)稱性： 若保持全部頂點(diǎn)的位置不變，只是把次序顛倒過(guò)來(lái)，則新的Bezier曲線形狀不變，但方向相反。（表明同一特征多邊形定義的Bezier曲線是唯一的）,4.4.2 Bezier曲線的性質(zhì),2、Bezier曲線的性質(zhì)（續(xù)）： 凸包性： Bezier曲線完全被包容在由特征多邊形形成的凸包內(nèi)。 幾何不變性： Bezier曲線的形狀僅取決于特征多邊形的頂點(diǎn)，而與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。,4.4.3 一次Bezier曲線,當(dāng)n=1時(shí)，頂點(diǎn) P0、P1可定義一條一次(n=1

31、)Bezier曲線。此時(shí)式(4-21)可改寫成：,顯然，一次Bezier曲線是一條點(diǎn)P0到點(diǎn)P1的直線段。,4.4.4 二次Bezier曲線,當(dāng)n=2時(shí)，頂點(diǎn)P0、P1、P2可定義一條二次(n=2)Bezier曲線。此時(shí)式(4-21)可改寫成： P(t) = (1t)2P0 + 2t(1t)P1 + t2P2 (0t1) (4-28),寫成矩陣形式為：,P(t) = t2 t 1,該式說(shuō)明，二次Bezier曲線經(jīng)過(guò)P0P1P2中的一條中線P1Pm的中點(diǎn)P。并且可以看出二次Bezier曲線是一條拋物線。,4.4.4 二次Bezier曲線,由式(4-28) ，二次Bezier曲線（n=2）在起點(diǎn)P

32、0處有切向量 P0=P(0)=2(P1P0)；在終點(diǎn)P2處有切向量P2=P(1) = 2(P2P1)。同時(shí)，當(dāng)t =1/2時(shí)：,4.4.5 三次Bezier曲線,當(dāng)n=3時(shí)，頂點(diǎn)P0、P1、P2、P3四點(diǎn)可定義一條三次(n=3) Bezier曲線。此時(shí)式(4-21)可改寫為： P(t) = (1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3 = (13t+3t2-t3)P0 + (3t6t2+3t3)P1 + (3t23t3)P2 + t3P3 (0t1) (4-29),寫成矩陣表達(dá)式為：,P(t) = t3 t2 t 1,4.4.5 三次Bezier曲線,控制點(diǎn)相同但順序不同的

33、三次Bezier曲線,4.4.5 三次Bezier曲線,移動(dòng)控制點(diǎn)P2的Bezier曲線的不同效果,4.4.6 Bezier曲線的控制頂點(diǎn)反求,已知Bezier曲線上給定參數(shù)處的位置矢量和參數(shù)階次，利用Bezier曲線的定義和端點(diǎn)特性，可列出一組方程，求解方程組，可得到相應(yīng)的控制頂點(diǎn)。,例如：已知三次Bezier曲線上的4個(gè)點(diǎn)分別為Q0(120, 0)，Q1(45, 0)，Q2(0, 45)，Q3(0, 120), 它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為0， 1/3，2/3，1，反求三次Bezier曲線的控制頂點(diǎn)。 由已知條件可得方程組： Q0 = P0 (t=0) Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P

34、1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3) Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3) Q3 = P3 (t=1),4.4.6 Bezier曲線的控制頂點(diǎn)反求,分別將Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐標(biāo)代入方程組求解，可得： P0(120, 0) P1(35, -27.5) P2(-27.5, 35) P3(0, 120),4.4.7 Bezier曲線的幾何作圖法,以控制點(diǎn)數(shù)為4，邊數(shù)為3的控制多邊形P0P1P2P3為例： 分別在邊P0P1、P1P2 、P2P3上找到一點(diǎn)P0,1、P1,1 、P2,1，該點(diǎn)將所在的邊

35、分成 t:(1-t) 兩部分，比如設(shè) t =2/3。 然后，將3個(gè)分割點(diǎn)構(gòu)成新的控制多邊形P0,1P1,1P2,1，其控制點(diǎn)數(shù)為3，邊數(shù)為2；再以同樣的方法及同樣的比例，對(duì)邊P0,1P1,1和邊P1,1P2,1進(jìn)行分割，得到分割點(diǎn)P0,2和P1,2。 最后，對(duì)邊P0,2P1,2進(jìn)行相同比例的分割，得到點(diǎn)P0,3。P0,3即為由原控制多邊形P0P1P2P3所確定的三次Bezier曲線上的參數(shù)為t 的點(diǎn)P(t)。 若讓參數(shù) t 在0, 1變動(dòng)，并且讓t 取一個(gè)較小的增量，如t =0.1。循環(huán)多次即可作出三次Bezier曲線。,4.4.7 Bezier曲線的幾何作圖法,Bezier曲線的幾何作圖法示

36、意圖 以及分割點(diǎn)的遞推關(guān)系,4.4.7 Bezier曲線的幾何作圖法,Bezier曲線的幾何作圖法總結(jié)： 對(duì)于任意控制多邊形，在以PiPi+1為端點(diǎn)的第 i 條邊上，找一點(diǎn)Pi,1(t)，把該邊分成 t:(1-t) 比例，則分割點(diǎn)Pi,1(t)=(1-t)Pi + tPi+1 (i=0,1,n-1)，這n個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)新的n-1邊形，對(duì)該多邊形重復(fù)上述操作，得到一個(gè)新的n-2邊形的頂點(diǎn)Pi,2(t) (i=0,1,n-2)，依次類推，連續(xù)作n次后，得到一個(gè)單點(diǎn)Pi,n(t)，該點(diǎn)就是Bezier曲線上參數(shù)為t 的點(diǎn)P(t)，讓 t 在0, 1變動(dòng)，就得到Bezier曲線。,4.4.8 Bezie

37、r曲線的拼接,設(shè)有兩條Bezier曲線P(u)和Q(w)，P(u)由P0P1P2Pm定義，Q(w)由Q0Q1Q2Qn定義：,考慮兩條Bezier曲線的一階連續(xù)性（C1和G1）拼接設(shè)計(jì)： 由端點(diǎn)切矢量條件： P(1)=m(Pm-Pm-1) Q(0)=n(Q1-Q0),4.4.8 Bezier曲線的拼接,若曲線P(u)與Q(w)首尾拼接達(dá)到G1連續(xù)，必有Pm與Q0重合，并且Q(0)=P(1) ( 0)，即： Q0=Pm Q1=Q0+(m/n)*(Pm-Pm-1) 上式的幾何意義：P(u)與Q(w)兩條Bezier曲線拼接達(dá)到G1連續(xù)時(shí)，控制點(diǎn)Pm-1、Pm(=Q0)和Q1在一條直線上。 當(dāng)=1時(shí)，

38、P(u)與Q(w)兩條Bezier曲線拼接可達(dá)到C1連續(xù)。,4.4.8 Bezier曲線的拼接,兩條Bezier曲線的拼接示意圖,4.4.9 Bezier曲面,設(shè)Pij (i=0,1,m; j=0,1,n)為(m+1)(n+1)個(gè)空間點(diǎn)列，則mn次Bezier曲面定義為：,其中， 和 是Bernstein基函數(shù)。 依次用線段連接點(diǎn)陣 Pij 中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格，稱為特征網(wǎng)格。,4.4.9 Bezier曲面,Bezier曲面的矩陣表示為：,1、雙線性Bezier曲面 當(dāng)m=n=1時(shí)，定義一張雙線性Bezier曲面：,4.4.9 Bezier曲面,2、雙二次Bezier曲面 當(dāng)m=n=2時(shí)

39、，定義一張雙二次Bezier曲面，其邊界曲線及參數(shù)坐標(biāo)曲線均為拋物線：,3、雙三次Bezier曲面 當(dāng)m=n=3時(shí)，定義一張雙三次Bezier曲面，它由16個(gè)頂點(diǎn)定義，參數(shù)曲線u、v都是三次Bezier曲線，該曲面只通過(guò)4個(gè)角點(diǎn)P00、P30、P03、P33：,4.5 B樣條曲線,由Gordon，Riesenfeld和Forrest等人拓展了Bezier曲線，用n次B樣條基函數(shù)替換伯恩斯坦基函數(shù)，構(gòu)造了B樣條曲線。 B樣條曲線除了保持了Bezier曲線所具有的優(yōu)點(diǎn)之外，還增加了可以對(duì)曲線進(jìn)行局部修改，對(duì)特征多邊形更加逼近，多項(xiàng)式階次較低等優(yōu)點(diǎn)。 因此，B樣條曲線在外形設(shè)計(jì)中得到廣泛的重視和應(yīng)用。,4.5.1 B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,通常，給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)Pi (i =0, 1, 2, , m+n)，可定義m+1段n次的參數(shù)曲線為：,其中：Pk,n(t)為第k段n次B樣條曲線段(k=0,1