1、,極限與連續(xù),定義2.1 無窮多個(gè)數(shù)按如下順序排列 稱為數(shù)列, 簡記為 。 數(shù)列又可記為 , 并稱為下標(biāo)函數(shù)。,數(shù)列的極限,一些數(shù)列的例子 1. 2. 3.,數(shù)列的極限,4. 5. 不難看出 第 1、2、3項(xiàng)數(shù)列當(dāng)時(shí)趨于某常數(shù)。 而 第4、5、6項(xiàng)數(shù)列不存在這樣的情形。,數(shù)列的極限,對于數(shù)列 我們不難看出隨著下標(biāo) n 趨于無窮，數(shù)列的元素?zé)o限趨于 0 （一個(gè)常數(shù)）。 具有類似性質(zhì)的數(shù)列，我們認(rèn)為它存在極限（或稱收斂）。 如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫（界定）存在極限的數(shù)列 ? 使用定義（Cauchy & Weierstrass） 這個(gè)定義對微積分的基礎(chǔ)很重要，但對計(jì)算極限幫助不大。,數(shù)列的極限,定義 2

2、.2 設(shè)有數(shù)列和常數(shù)，如果對任意給定的，存在正整數(shù)，使當(dāng)時(shí)，恒有 成立，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限 (或稱收斂到)，記為 若數(shù)列沒有極限，則稱其發(fā)散。,數(shù)列的極限,定義的核心思想 為了描述無限趨于常數(shù)，我們引入一個(gè)用于比較的正數(shù)。既然隨著而無限趨于常數(shù)，則與常數(shù)的距離必定也無限趨于0，也就是說無論有多小， 從某個(gè)開始（），會比更?。ㄒ簿褪牵?數(shù)列的極限,一些數(shù)列極限,數(shù)列的極限,主要分兩種情況討論： 情形一：時(shí)函數(shù)的極限。 情形二：時(shí)函數(shù)的極限。 每種情形還可分別討論其左右極限。,函數(shù)的極限,情形一：時(shí)函數(shù)的極限。 例如： 又如：,函數(shù)的極限,我們看到： 當(dāng)代入到就得到所求極限。 而 卻不能直接將

3、 代入計(jì)算。,函數(shù)的極限,觀察函數(shù) 與 的異同。,函數(shù)的極限,定義 2.4 設(shè)有函數(shù)和常數(shù). 如果對任意給定的正數(shù)，總存在，使當(dāng)時(shí)，恒有 則稱常數(shù)為時(shí)函數(shù)的極限，記作,函數(shù)的極限,注意： 1. 函數(shù)在時(shí)是否存在極限與在處有無定義無關(guān)。 例如:,函數(shù)的極限,注意： 2. 定義中的方式是任意的，既可從的左側(cè)趨于，也可從的右側(cè)趨于。 有時(shí)需要用到單側(cè)極限（ 僅從的左/右側(cè)趨于） 例如：,函數(shù)的極限,計(jì)算左/右極限 設(shè) 計(jì)算：，,函數(shù)的極限,定理 2.1 的充分必要條件是 即：,函數(shù)的極限,情形二：時(shí)函數(shù)的極限。 例如： 又如：,函數(shù)的極限,證明： 證：,函數(shù)的極限,定義 2.5 設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，為

4、常數(shù)。如果對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使當(dāng)時(shí)，恒有 則稱常數(shù)為時(shí)函數(shù)的極限，記為,函數(shù)的極限,定理 2.2 的充分必要條件是 即：,函數(shù)的極限,定義 2.6 極限為零的變量稱為無窮小量。 例如： ，所以當(dāng) 時(shí)， 是無窮小量。 辨析： 并不總是無窮小量，例如當(dāng) 時(shí)就不是。 注意：無窮小量與極限過程()相關(guān)。,無窮?。ù螅┝?定理 2.3 ：極限的充分必要條件是，函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)可表示為，即 其中為時(shí)的無窮小量，即,無窮?。ù螅┝?無窮小量的性質(zhì) 1. 有限個(gè)無窮小量的和或差仍為無窮小量。 2. 任意多個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量。 3. 無窮小量與有界量之積仍為無窮小量。,無窮?。ù螅┝?例

5、子 1.,無窮小（大）量,定義 2.7 設(shè)和是同一變化過程()中的兩個(gè)無窮小量，且. 1) 若，則稱是的高階無窮小量。 2) 若，則稱是的同階無窮小量。 特別當(dāng)時(shí)，稱是的等價(jià)無窮小量。 記作：,無窮小（大）量,例如當(dāng)時(shí)，都是無窮小量。 1. 是的高階無窮小量。 2. 與是同階無窮小量。 3. 與是等價(jià)無窮小量。,無窮?。ù螅┝?性質(zhì) 2.5（無窮小量等價(jià)替換定理） 如果，且極限存在，則有 注意該方法的適用范圍。,無窮?。ù螅┝?定義 2.8 在自變量的某一變化過程中，若變量的絕對值無限增大，則稱為無窮大量。 即若有，則稱為無窮大量。 例如：當(dāng)時(shí)，是無窮大量。,無窮?。ù螅┝?不是無窮大量的例子

6、 解釋: 因?yàn)楫?dāng)時(shí) 而當(dāng)時(shí),無窮?。ù螅┝?既不趨于常數(shù)，也不趨于無窮,無窮大量與無窮小量的關(guān)系 1.無窮大量的倒數(shù)為無窮小量。 2.無窮小量的倒數(shù)為無窮大量。 3. 任意多個(gè)無窮大量的乘積為無窮大量。,無窮?。ù螅┝?基本性質(zhì) 性質(zhì) 2.6 若極限存在，則極限值唯一。 性質(zhì) 2.7 若極限存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界。 性質(zhì) 2.8 若極限，則在的某空心鄰域內(nèi)恒大于零。 性質(zhì) 2.9 若， ，且在的某空心鄰域內(nèi)恒有，則。,極限的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則,極限的四則運(yùn)算法則 定理 2.4 若極限與都存在，則有 ， 。,極限的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則,定理 2.4 推論 1. 2. 3. 4.,極限的基本性

7、質(zhì)與運(yùn)算法則,定理 2.6 設(shè)與構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 若，且，則有,極限的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則,推論 2.5 (冪指函數(shù)的極限) 設(shè)， ，則有 證明：利用等式，再結(jié)合極限運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的極限。,極限的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則,計(jì)算極限 1. 2. 3. 已知，求的值。 4.,極限的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則,計(jì)算極限 5. 6. 7. 8.,極限的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則,解： 設(shè) 則 不難得到,解：設(shè) 則： 故：,解:,解：,解： 當(dāng)時(shí)，分子 故若要使極限值為常數(shù) 1，則必須有 即： 得到 代入原式,已知，求。,解： 分析：若，則極限趨于無窮 。所以。 當(dāng)時(shí)，原極限,已知,求。,定理 2.7 假設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)，

8、恒有 其中，且有 則極限存在，且有,極限的存在性定理,定理 2.7 示意圖,極限的存在性定理,定義 2.9 設(shè)有數(shù)列. (1) 如果，則稱數(shù)列是有界的。 (2) 如果，則稱數(shù)列是單調(diào)增加的；反之稱其單調(diào)減少。 定理 2.8 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,極限的存在性定理,例1：計(jì)算 解：注意到 不難得出原式等價(jià)于,極限的存在性定理,解：設(shè) 則 而 故,解：設(shè) 則 而 故,例題2.20 設(shè)，求 解： 1. 先證存在極限，即證單調(diào)有界。 易見，由此，并利用數(shù)學(xué)歸納法可證 ，故單調(diào)遞增。 - 利用不等式，可得 ，故 有上界。 綜合以上兩點(diǎn)，存在極限。,極限的存在性定理,例題2.20 設(shè)，求 解： 2. 不

9、妨設(shè)的極限為 則由，并對其兩邊分別求極限，不難得到： 即 解得,極限的存在性定理,例題：計(jì)算 解：本題使用定理2.7的方法計(jì)算。 設(shè)，則 取極限后有： 故,極限的存在性定理,1.,兩個(gè)重要極限,證明: 按面積從小到大順序排列 三角形OPA 扇形OPA 三角形OTA,兩個(gè)重要極限,即有： 等價(jià)于: 同除以后: 再取倒數(shù):,兩個(gè)重要極限,再對上式取極限 由Sandwich定理: 再由:,兩個(gè)重要極限,由導(dǎo)出的等價(jià)命題 1. 2. 3.,兩個(gè)重要極限,證明： 證：令，則當(dāng)時(shí)。 由定理2.6復(fù)合函數(shù)的極限定理 同理可證：,兩個(gè)重要極限,2. 先證明： 證明思路：證明單調(diào)遞增有上界。,兩個(gè)重要極限,首先

10、證明：單調(diào)遞增 利用平均不等式 即：,兩個(gè)重要極限,利用平均值不等式 說明 單調(diào)遞增。,兩個(gè)重要極限,其次證明：有上界。 證明方法：構(gòu)造 易見： 我們來證明： 單調(diào)遞減。,兩個(gè)重要極限,所以的最大值為4，因此 4 也是的上界。,證明： 即證： 等價(jià)于:,兩個(gè)重要極限,利用不等式 可證： 故命題：成立. 因此： 是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列。,兩個(gè)重要極限,記： 將 稱為自然常數(shù)。 下面證明：,兩個(gè)重要極限,證明： 證：設(shè) , 則 時(shí) , 。 故: 又：,兩個(gè)重要極限,解釋：,兩個(gè)重要極限,綜合與 我們有： 推廣到實(shí)數(shù)域：,兩個(gè)重要極限,證明： 證： 1. 當(dāng)時(shí), , 等式成立。 2.當(dāng)時(shí),兩個(gè)重要極限,由 導(dǎo)出的等價(jià)命題. 1. 2. 3.,兩個(gè)重要極限,取 x 的倒數(shù),等式兩邊取對數(shù) ln,令 并代入,3. 證明：令 并代入左式，得到 所以:,兩個(gè)重要極限,4.,兩個(gè)重要極限,令 ，原式取倒數(shù)。,當(dāng)時(shí)的等價(jià)無窮小量 1. 2. 3. 4.,等價(jià)無窮小量,1. 計(jì)算 解：易見 故：,習(xí) 題,2. 計(jì)算 解：