1、3.4生活中的優(yōu)化問題舉例,一、如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？,f(x)為增函數(shù),f(x)為減函數(shù),設(shè)函數(shù)y=f(x)在 某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),二、如何求函數(shù)的極值與最值？,求函數(shù)極值的一般步驟：,（3）求f(x)=0的根.,（4）列表.,（5）判斷.,求f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：,(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值.,(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值.,生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，通過前面的學(xué)習(xí)，知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸竟?jié)我們運用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問

2、題.,1了解導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用. 2對給出的實際問題，如使利潤最大、效率最高、用料最省等問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用. 3利用導(dǎo)數(shù)知識解決實際中的最優(yōu)化問題.（重點） 4將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型.（難點）,探究點1 海報版面尺寸的設(shè)計 【例1】學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？,因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值點，也是最小值點.所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小.,解法二：

3、由解法一得,2在實際應(yīng)用題目中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點x0 ，則不需與端點比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.,1設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；確定出定義域；所得結(jié)果符合問題的實際意義.,(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間),【提升總結(jié)】,用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四個角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?,【即時訓(xùn)練】,解答：設(shè)容器的高為xcm,容器的容積為V(x)cm3, 則V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320 x(0x2

4、4). V(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360) =12(x-10)(x-36)(0x24). 令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).,【解題關(guān)鍵】 直接列出體積關(guān)于高的函數(shù)解析式,再利用導(dǎo)數(shù)求解.,當(dāng)00,V(x)是增函數(shù); 當(dāng)10x24時,V(x)0,V(x)是減函數(shù). 因此,在定義域(0,24)內(nèi),只有當(dāng)x=10時函數(shù)V(x)取得最大值,其最大值為 V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3), 故當(dāng)容器的高為10cm時,容器的容積最大,最大容積是19 600cm3.,【規(guī)律總結(jié)】 與面積、容(體)積有關(guān)最值問題的解決策略

5、解決面積、容積(體積)的最值問題,要正確引入變量,將面積或容積(體積)表示為變量的函數(shù),結(jié)合實際問題的定義域,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.,探究點2 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 【例2】下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如下表所示，則 （1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？ （2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？,某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位：cm,已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm， 問題： ()瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？ (）瓶子半徑多大時，每

6、瓶飲料的利潤最小？,解：由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤為,-,+,減函數(shù),增函數(shù),-1.07p,當(dāng)r2時，f(r)0,它表示f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低.,（1）半徑為2cm時，利潤最小.這時f(2)0,表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值；,（2）半徑為6cm時，利潤最大.,因此，當(dāng)r2時，f(r)0,它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；,從圖中，你還能看出什么嗎？,當(dāng)0r3時，利潤為負值；當(dāng)r3時，利潤為零；當(dāng)r3時，利潤為正值，并隨著瓶子半徑的增大利 潤也相應(yīng)增大.,【規(guī)律總結(jié)】求解利潤最大問題的兩個注意點 (1)注意定義域:在求解利潤最大問

7、題時,一定要注意所列函數(shù)的定義域.并且能夠正確列出函數(shù)的解析式,這是求解利潤最大問題的前提. (2)實際聯(lián)系:在求解利潤最大問題時,一定要注意所得的結(jié)果是否和現(xiàn)實情況相符合,因此,在求得結(jié)果之后,要進行檢驗.,已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為,若受到產(chǎn)能影響，該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品， 則要使平均成本最低，每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢？,解析：設(shè)平均成本為y元，每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則,【即時訓(xùn)練】,因為函數(shù)在（0，1000）上是減函數(shù) 又因為0x1000有意義，即當(dāng)x=800時，y取最小值,【例3】磁盤的最大存儲量問題 計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上.磁盤是帶有磁性介質(zhì) 的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格

8、式化成磁道和扇區(qū). 磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被 圓心角分割所成的扇形區(qū)域.磁道上的定長弧段 可作為基本存儲單元， 根據(jù)其磁化與否可分別 記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本 單元通常被稱為比特（bit）.,為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必須大于m， 每比特所占用的磁道長度不得小于n.為了數(shù)據(jù)檢索 便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù). 問題：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于 r與R之間的環(huán)形區(qū)域 是不是r越小，磁盤的存儲量越大？ r為多少時，磁盤具有最大存儲量 （最外面的磁道不存儲任何信息）？,解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù). 設(shè)存儲區(qū)的半徑介

9、于r與R之間，由于磁道之間的 寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲任何信息， 故磁道數(shù)最多可達 .由于每條磁道上的比特數(shù) 相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿， 即每條磁道上的比特數(shù)可達 ， 所以磁盤總存儲量,(1)它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以 判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越大 (2)為求 的最大值，計算 令 ，解得 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 因此 時，磁盤具有最大存儲量, 此時最大存儲量為,已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=5 000+200 x+ x2(元), 若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 件.,【即時訓(xùn)練】,【解題關(guān)鍵】 根據(jù)題意,直接列出利潤的

10、函數(shù)關(guān)系式.再求利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解.,【自主解答】利潤f(x)=500 x-(5 000+200 x+ x2) =- x2+300 x-5 000, f(x)=- x+300=0,解得x=6 000. 當(dāng)x0;當(dāng)x6 000時,f(x)0, 所以,當(dāng)x=6 000時,利潤最大. 答案:6 000,解決優(yōu)化問題的方法之一：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具，其基本思路如以下流程圖所示:,優(yōu)化問題,用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題,用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題,優(yōu)化問題的答案,建立數(shù)學(xué)模型,解決數(shù)學(xué) 模型,

11、作答,1函數(shù)f(x)x33bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值， 則 ( ) A00 Db,A,2.已知圓柱的表面積為定值S，求當(dāng)圓柱的容積V最大時圓柱的高h的值 解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h， 則S圓柱底2r2，S圓柱側(cè)2rh，,D,答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元 點評建立數(shù)學(xué)模型后，注意找準(zhǔn)函數(shù)的定義域，這是此類題解答過程中極易出錯的地方,5.在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？,解：設(shè)箱高為xcm，則箱底邊長為(602x)cm，則得箱子容積V是

12、x的函數(shù)， V(x)(602x)2x(00， 當(dāng)10x30時，V(x)0. 所以當(dāng)x10時，V(x)取極大值，這個極大值就是V(x)的最大值V(10)16 000(cm3),答：當(dāng)箱子的高為10cm，底面邊長為40cm時， 箱子的體積最大，最大容積為16 000cm3. 點評在解決實際應(yīng)用問題中，如果函數(shù)在 區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只需根據(jù)實際意義 判定是最大值還是最小值,不必再與端點的函數(shù) 值進行比較,1.解決優(yōu)化問題的基本思路：,優(yōu)化問題,用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題,優(yōu)化問題的答案,用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題,2導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用方向：主要是 解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要 有以下幾個方面： (1)與幾何有關(guān)的最值問題. (2)與物理學(xué)有關(guān)的最值問題. (3)與利潤及