1、3.2立體幾何中的向量方法 第1課時空間向量與平行關(guān)系,【自主預(yù)習(xí)】 1.用向量表示點(diǎn)的位置 (1)基點(diǎn)：在空間中，我們?nèi)作為基點(diǎn). (2)向量表示：空間中任意一點(diǎn)P的位置可以用_ 來表示. (3)點(diǎn)的位置向量：點(diǎn)P的位置向量為_.,一定點(diǎn)O,2.用向量表示直線的位置,方向向量,位置,一點(diǎn),3.用向量表示平面的位置 (1)通過平面上的一個定點(diǎn)O和兩個向量a和b來確定：,(2)通過平面上的一個定點(diǎn)A和法向量來確定：,方向向量a,4.用向量描述空間平行關(guān)系 設(shè)空間兩條直線l，m的方向向量分別為a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，兩個平面，的法向量分別為u=(u1，u2，u3)，v

2、=(v1，v2，v3)，則有如下結(jié)論：,ab,a=kb，kR,au,au=0,a1u1+a2u2,+a3u3=0,uv,【即時小測】 1.若點(diǎn)A(3，4，-6)，B(2，7，1)在直線l上，則直線l的一個方向向量為() A.(-2，6，14)B.(5，11，-5) C.(1，3，-7) D.(2，-6，14),【解析】選A.由已知得 =(-1，3，7)，只有(-2， 6，14)與 共線.,2.若平面的法向量u=(1，2，-1)，平面的法向量v=(-3，-6，3)，則與的關(guān)系為() A. B.與相交但不垂直 C. D.以上均不正確 【解析】選A.由已知得uv，所以.,3.給出下列說法：一個平面的

3、法向量是唯一的； 一個平面的所有法向量都是同向的；平面的法向 量與該平面內(nèi)的任一向量都是垂直的；與一個平面 的法向量共線的所有非零向量都是該平面的法向量.其 中正確的說法是_.,【解析】根據(jù)平面法向量的意義知錯誤，正確. 答案：,4.已知平面外一直線l的方向向量u=(1，3，-4)，平面的法向量n=(2，-2，-1)，則l與的位置關(guān)系為_. 【解析】nu=2-6+4=0，所以nu.又l在外，所以l. 答案：l,【知識探究】 探究點(diǎn)1點(diǎn)、直線、平面的位置的向量表示 1.直線的方向向量一定是單位向量嗎？ 提示：不一定.直線的方向向量是與直線平行的一個非零向量，長度不一定是1.,2.空間兩個不共線向

4、量一定共面嗎？ 提示：一定共面.,【歸納總結(jié)】 1.點(diǎn)、直線、平面位置確定的關(guān)鍵 (1)確定點(diǎn)：用向量確定空間中的任意一個點(diǎn)，關(guān)鍵是確定一個基點(diǎn). (2)確定直線：用向量確定一條直線，關(guān)鍵是確定一個點(diǎn)和一個方向向量.,(3)確定平面： 一個定點(diǎn)兩個向量：用向量確定一個平面，關(guān)鍵是 理解平面向量基本定理，即存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)使 得 =xa+yb，這樣點(diǎn)O與向量a，b不僅能確定一個平 面，而且還能具體表示出平面內(nèi)的一個點(diǎn).,一個點(diǎn)一個向量：給定一個點(diǎn)和一個向量，過這個點(diǎn)，以這個向量為法向量的平面惟一確定.,2.對直線方向向量的兩點(diǎn)說明 (1)方向向量的選取：在直線上任取兩點(diǎn)P，Q，可得到 直

5、線的一個方向向量 . (2)方向向量的不惟一性：直線的方向向量不是惟一 的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向 量.解題時，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量.,3.對平面法向量的兩點(diǎn)說明 (1)平面法向量的選取：平面的一個法向量垂直于與平面共面的所有向量.即只需作一條垂直于平面的直線，選取該直線的方向向量.,(2)平面法向量的不惟一性：一個平面的法向量不是惟一的，一個平面的所有法向量共線.在應(yīng)用時，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取. 特別提醒：直線的方向向量是非零向量.,探究點(diǎn)2用向量法解決空間中的平行問題 1.兩條平行直線的方向向量方向相同嗎？ 提示：不一定.兩條平行直線的方向向量方向相同或相反.,2

6、.一個平面的法向量有幾個？它們之間有什么關(guān)系？ 提示：一個平面的法向量有無數(shù)多個，它們都是共線向量.,【歸納總結(jié)】 1.直線與直線平行的解決策略 (1)幾何法：若lm，ln，則mn；若l，m，則lm；若l，l，=n，則ln. (2)向量法：若直線l，m的方向向量共線，則lm.,2.直線與平面平行的解決策略 (1)幾何法：若m，mn，n，則n；若m，n，mn，則m. (2)向量法：若直線l的方向向量與平面的法向量垂直且l，則l.,3.平面與平面平行的解決策略 (1)幾何法：若l，m，l，m，且lm=A，則；若l，l，則. (2)向量法：若平面，的法向量共線，則.,類型一求直線的方向向量、平面的法

7、向量 【典例】(2014新課標(biāo)全國卷改編)如圖， 四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平 面ABCD，E為PD的中點(diǎn).AB=AP=1，AD= ，試建立恰當(dāng) 的空間直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個法向量.,【解題探究】本例中為建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系要 依據(jù)哪個條件確定z軸的位置？平面ACE的法向量應(yīng)滿 足什么條件？ 提示：依據(jù)PA平面ABCD，確定z軸的位置，平面ACE 的法向量與 垂直.,【解析】因?yàn)镻A平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以 AB，AD，AP兩兩垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的 正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0， ，0)，E ，B(1，0，0)，

8、C(1， ，0)，于是 =(1， ，0).,設(shè)n=(x，y，z)為平面ACE的法向量， 則 即 所以 令y=-1，則x=z= . 所以平面ACE的一個法向量為n=( ，-1， ).,【延伸探究】 1.本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.,【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 則P(0，0，1)，C(1， ，0)，所以 =(1， ，-1) 即直線PC的一個方向向量.,設(shè)平面PCD的法向量為n=(x，y，z). 因?yàn)镈(0， ，0)，所以 =(0， ，-1). 由 即 所以 令y=1，則z= . 所以平面PCD的一個法向量為(0，1， ).,2.若把本例的條件改為：

9、平面PAB平面ABCD，PAB是邊長為1的正三角形，ABCD是菱形.ABC=60，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面DEF的法向量.,【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是依據(jù)平面PAB平面ABCD，尋找并證明平面ABCD的垂線，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.,【解析】因?yàn)镻A=PB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以PFAB， 又因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PF平面PAB. 所以PF平面ABCD，因?yàn)锳B=BC，ABC=60， 所以ABC是等邊三角形，所以CFAB.,以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示). 由題意得F(0，0，0)， 所以,設(shè)平面D

10、EF的法向量為m=(x，y，z). 則 即 所以 令y=2，則x= ，z=-2. 所以平面DEF的一個法向量為( ，2，-2).,【方法技巧】 1.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟 (1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n=(x，y，z). (2)選向量：在平面內(nèi)選取兩不共線向量,(3)列方程組：由 列出方程組. (4)解方程組：,(5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取1). (6)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.,2.求平面法向量的三個注意點(diǎn) (1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量. (2)取特值：在求n的坐標(biāo)時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量.,

11、(3)注意0：提前假定法向量n=(x，y，z)的某個坐標(biāo)為某特定值時一定要注意這個坐標(biāo)不為0.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD BC，BAD=90，BC=1，AD=AA1=3，AB= . 試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACD1的一個法 向量.,【解析】易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則A(0，0，0)，C( ，1，0)， D1(0，3，3).,=(0，3，3)， =(，1，0)，設(shè)n=(x，y，z)是平 面ACD1的法向量. 則 即 令x=1，則n=(1，- ， ).

12、 所以平面ACD1的一個法向量為(1，- ， ).,【延伸探究】 1.本例條件不變，試求直線B1D的一個方向向量和平面B1CD的一個法向量.,【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x 軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B1( ，0， 3)，C( ，1，0)，D(0，3，0)，所以 =(- ， 3，-3)， =(0，1，-3).,設(shè)平面B1CD的法向量為n=(x，y，z)， 則 即 所以 令z=1，則x=2 ，y=3. 所以直線B1D的一個方向向量為(- ，3，-3)，平面 B1CD的一個法向量為(2 ，3，1).,2.若把本例的條件BAD=90改為CAD=90，其他條件不變，則

13、結(jié)果又是什么？ 【解析】建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).,則A(0，0，0)，C( ，0，0)，D1(0，3，3). 所以 =(0，3，3)， =( ，0，0).,設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x，y，z). 則 即 所以 令z=1，則y=-1. 所以平面ACD1的一個法向量為(0，-1，1).,類型二利用空間向量證明空間平行關(guān)系 【典例】1.已知直線l平面ABC，且l的一個方向向量為a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，則實(shí)數(shù)m的值是_.,2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是 CC1，B1C1，C1D1的中點(diǎn).求證：平面A1BD

14、平面MNP.,【解題探究】1.典例1中直線l的方向向量與平面ABC的法向量之間有什么關(guān)系？ 提示：直線l的方向向量與平面ABC的法向量互相垂直.,2.典例2中可轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量有什么關(guān)系？ 提示：轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量互相平行.,【解析】1.因?yàn)锳(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1， 0). 所以 =(1，0，-1)， =(0，1，-1).,設(shè)平面ABC的法向量為n=(x，y，z). 則 即 所以 令z=1，則x=y=1. 所以平面ABC的一個法向量為(1，1，1). 因?yàn)橹本€l平面ABC，l的一個方向向量為a=(2，m，1).,所以an=0，即2+m+1=0，解得m=-3. 答案

15、：-3,2.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.,設(shè)正方體的棱長為2，則D(0，0，0)，B(2，2，0)， A1(2，0，2)，M(0，2，1)，N(1，2，2)，P(0，1， 2)，所以,設(shè)平面A1BD的法向量n1=(x1，y1，z1)， 則 即 解得 令z1=1，則n1=(-1，1，1).,設(shè)平面MNP的法向量n2=(x2，y2，z2)， 則 即 解得 令z2=1，則n2=(-1，1，1)， 可見n1n2，所以平面A1BD平面MNP.,【方法技巧】 1.向量法處理空間平行問題的兩個應(yīng)用 (1)求參數(shù)的值：通過線線、線面、面面平行轉(zhuǎn)化為向

16、量的共線、垂直的關(guān)系，再利用向量關(guān)系構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的等量關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的值.,(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)：可設(shè)出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)與向量的關(guān)系，寫出對應(yīng)向量，利用空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量的位置關(guān)系，進(jìn)而建立與所求點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的等式.,2.應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. (2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線. (3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個不共線的向量表示.即用平面向量基本定理證明線面平行.,3.證明面面平行的方法 設(shè)平面的法向量為n1=(a1，b1，c1)，平面的法向量為n2=(a2，b2，c2)，則n1

17、n2(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2)(kR).,易錯警示：求平面法向量時的兩個注意點(diǎn)： (1)合理在平面上選取兩個不共線向量. (2)準(zhǔn)確計算，合理對坐標(biāo)賦值.,【變式訓(xùn)練】如圖所示，平面PAD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn). 求證：PB平面EFG.,【證明】因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD且四邊形ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)， F(0，1，1)，G(1，2，0).,所以 設(shè) 即(2，0，-2)=s(0，-1，0)+t(1，1，-1)， 所以 解得s=t=2. 所以,又因?yàn)?不共線， PB平面EFG，所以PB平面EFG.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示，V為矩形ABCD所在平面外一 點(diǎn)，且VA=VB=VC=VD， 求證：VA平面PMN.