第 1 頁（共 16 頁） 2015年河北省邯鄲市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的 . 1如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（ ） A D 2 “ x R， 2 0”的否定是（ ） A x R， 2 0 B x R， 2 0 C R， x 2 0 D R， x 2 0 3在等差數(shù)列 ， ， 5，則 ） A 20 B 25 C 45 D 75 4在 ，角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c， a=3， A=45， B=60，則 b=（ ） A B C D 5函數(shù) y=x 在點(diǎn)（ 1， 1）處的切線方程是（ ） A 2x y 1=0 B 2x+y 1=0 C x 2y+1=0 D x+2y 1=0 6 “m 0”是 “x2+x+m=0 無實(shí)根 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 7函數(shù) f（ x）的定義 域?yàn)?R，其導(dǎo)函數(shù) f（ x）的圖象如圖，則 f（ x）的極值點(diǎn)有（ ）A 3 個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè) 8已知數(shù)列 遞增的等比數(shù)列， a1+7， 6，則公比 q=（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 9經(jīng)過點(diǎn)（ 3， ）的雙曲線 =1，其一條漸近線方程 為 y= x，該雙曲線的焦距為（ ） A B 2 C 2 D 4 10若函數(shù) f（ x） =1 在 x=1 處有極值，則 9a+3b 的最小值為（ ） A 4 B 9 C 18 D 81 11在正方體 ，直線 平面 成角的余弦值是（ ） A B C D 第 2 頁（共 16 頁） 12設(shè)橢圓 + =1（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 P 是橢圓上一點(diǎn)， | 2）， ，則橢圓離心率的取值范圍為（ ） A（ 0， B ， C ， D ， 1） 二、填空題：本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分 .、共 20 分 . 13已知 =（ 2， 3， 1）， =（ x， y， 2），若 ，則 x+y= 14若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最小值為 15已知在觀測點(diǎn) P 處測得在正東方向 A 處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經(jīng)過 1 小時(shí)后在觀測點(diǎn) P 測得輪船位于北偏東 60方向 B 處，又經(jīng)過 t 小時(shí)發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東 45方向 C 處，則 t= 16對于正整數(shù) n，設(shè)曲線 y=2 x）在 x=2 處的切線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知等差數(shù)列 公差為 2，的前 n 項(xiàng)和為 等比數(shù)列， （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公 式； （ 2）設(shè) （ n N*），求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18 ，角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c已知（ a+c） 2 1）求角 B； （ 2）當(dāng) b=6， ，求 面積 19已知拋物線 C： p 0）的焦點(diǎn)為 F， C 上一點(diǎn)（ 3， m）到焦點(diǎn)的距離為 5 （ 1）求 C 的方程； （ 2）過 F 作直線 l，交 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，若線段 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1，求直線 l 的方程 20如圖，在多面體 ， 0， C=2， ， 底面 F 為 中點(diǎn) （ ）求證： 第 3 頁（共 16 頁） （ ）求二面角 A D 的余弦值 21已知函數(shù) f（ x） = x=1 處取得極值 2 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若（ m+3） x f（ x）對于任意的 x （ 0， +）成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 22曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) F（ 1， 0）的距離和它到定直線 x=3 的距離之比是 1： （ ）求曲線 C 的方程； （ ）過點(diǎn) F（ 1， 0）的直線 l 與 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，當(dāng) 積為 時(shí)，求直線 第 4 頁（共 16 頁） 2015年河北省邯鄲市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的 . 1如果 a b 0，那么下列不等式成立的是（ ） A D 【分析】 利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： a b 0， ， 故選： A 【點(diǎn)評】 本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查 了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 2 “ x R， 2 0”的否定是（ ） A x R， 2 0 B x R， 2 0 C R， x 2 0 D R， x 2 0 【分析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題， 即 R， x 2 0， 故選： D 【點(diǎn)評】 本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ) 3在等差數(shù)列 ， ， 5，則 ） A 20 B 25 C 45 D 75 【分析】 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的第 15項(xiàng) 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ， ， 5， ， 解得 3， d=2， 3+14 2=25 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查等差數(shù)列的第 15 項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要 認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用 第 5 頁（共 16 頁） 4在 ，角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c， a=3， A=45， B=60，則 b=（ ） A B C D 【分析】 由已知利用正弦定理即可求值得解 【解答】 解： a=3， A=45， B=60， 由正弦定理可得： b= = = 故選： B 【點(diǎn)評】 本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 5函數(shù) y=x 在點(diǎn)（ 1， 1）處的切線方程是（ ） A 2x y 1=0 B 2x+y 1=0 C x 2y+1=0 D x+2y 1=0 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可 【解答】 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） = +1， 則 f（ 1） =1+1=2， 即切線斜率 k=2， 則函數(shù) y=x 在點(diǎn)（ 1， 1）處的切線方程是 y 1=2（ x 1）， 即 2x y 1=0， 故選： A 【點(diǎn)評】 本題主要考查函數(shù)的切線的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關(guān)鍵 6 “m 0”是 “x2+x+m=0 無實(shí)根 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【分析】 x2+x+m=0 無實(shí)根 0，即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： x2+x+m=0 無實(shí)根 =1 4m 0， m “m 0”是 “x2+x+m=0 無實(shí)根 ”的必要不充分條件， 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 7函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?R，其導(dǎo)函數(shù) f（ x）的圖象如圖，則 f（ x）的極值點(diǎn)有（ ）A 3 個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè) 第 6 頁（共 16 頁） 【分析】 結(jié)合圖象，根 據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零，即導(dǎo)函數(shù)的圖象在 x 軸上方，說明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增，否則為減函數(shù)，極大值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，從左往右，符號相反，因此根據(jù)圖象即可求得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 【解答】 解：結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)極值的定義可知在該點(diǎn)處從左向右導(dǎo)數(shù)符號相反， 從圖象上可看出符合條件的有 3 點(diǎn)， 故選： A 【點(diǎn)評】 本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，以及學(xué)生的識圖能力屬于基礎(chǔ)題 8已知數(shù)列 遞增的等比數(shù)列， a1+7， 6，則公比 q=（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【分析】 設(shè)等 比數(shù)列 公比為 q 的遞增的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，求得 ，6，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比即可 【解答】 解：設(shè)等比數(shù)列 公比為 q 的遞增的等比數(shù)列， 由 6，可得 6， 又 a1+7，解得 或 （不合題意，舍去）， 即有 6，解得 q=2（負(fù)的舍去） 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題 9經(jīng)過點(diǎn)（ 3， ）的雙曲線 =1，其一條漸近線方程為 y= x，該雙曲線的焦距為（ ） A B 2 C 2 D 4 【分析】 將點(diǎn)（ 3， ）代入雙曲線的方程，由漸近線方程可得 = ，解得 a， b，可得 c=2，進(jìn)而得到焦距 2c=4 【解答】 解：點(diǎn)（ 3， ）在雙曲線 =1 上，可得 =1， 又漸近線方程為 y= x，一條漸近線方程為 y= x， 可得 = ， 解得 a= ， b=1， 可得 c= =2， 即有焦距為 2c=4 故選： D 第 7 頁（共 16 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查 雙曲線的焦距的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題 10若函數(shù) f（ x） =1 在 x=1 處有極值，則 9a+3b 的最小值為（ ） A 4 B 9 C 18 D 81 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到 2a+b=4，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可 【解答】 解： f（ x） =42b， 若 f（ x）在 x=1 處有極值， 則 f（ x） =4 2a b=0， 2a+b=4， 9a+3b=32a+3b 2 =18， 當(dāng)且僅當(dāng) 9a=3b 時(shí) “=”成立， 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題 11在正方體 ，直線 平面 成角的余弦值是（ ） A B C D 【分析】 以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線 平面 成角的余弦值 【解答】 解：以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體 棱長為 1， 則 D（ 0， 0， 0）， 0， 1， 1）， 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 0）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， 設(shè)直線 平面 成角為 ， 則 = = ， = 直線 平面 成角的余弦值為 故選： C 第 8 頁（共 16 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用 12設(shè)橢圓 + =1（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 P 是橢圓上一點(diǎn)， | 2）， ，則橢圓離心率的取值范圍為（ ） A（ 0， B ， C ， D ， 1） 【分析】 設(shè) c， 0）， c， 0），運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理，求得 ，令 m=+1，可得 =m 1，即有 = =2（ ） 2+ ，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，解不等式可得所求范圍 【解答】 解：設(shè) c， 0）， c， 0），由橢圓的定義可得， |2a， 可設(shè) |t，可得 |t， 即有（ +1） t=2a 由 ，可得 |+|=4 即為（ 2+1） 由 2，可得 ， 令 m=+1，可得 =m 1， 即有 = =2（ ） 2+ ， 由 2，可得 m 3，即 ， 第 9 頁（共 16 頁） 則 m=2 時(shí)，取得最小值 ； m= 或 3 時(shí)，取得最大值 即有 ，解得 e 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的范圍，同時(shí)考查不等式的解法，屬于中檔題 二、填空題：本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分 .、共 20 分 . 13已知 =（ 2， 3， 1）， =（ x， y， 2），若 ，則 x+y= 10 【分析】 根據(jù)向量的共線定理，列出方程組求出 x、 y 的值，再計(jì)算 x+y 的值 【解答】 解： =（ 2， 3， 1）， =（ x， y， 2），且 ， = = ， 解得 x=4， y=6； x+y=10 故答案為： 10 【點(diǎn)評】 本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題 14若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最小值為 2 【分析】 作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)，平移直線 y= x 可得結(jié)論 【解答 】 解：作出約束條件 所對應(yīng)的可行域（如圖 變形目標(biāo)函數(shù)可得 y= x z，平移直線 y= x 可知， 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) A（ ， ）時(shí)，直線的截距最大， z 取最小值 2， 故答案為： 2 第 10 頁（共 16 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查簡單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題 15已知在觀測點(diǎn) P 處測得在正東方向 A 處一輪船正在沿正北方向勻速航行，經(jīng)過 1 小時(shí)后在觀測點(diǎn) P 測得輪船位于北偏東 60方向 B 處，又經(jīng)過 t 小時(shí)發(fā)現(xiàn)該輪船在北偏東 45方向 C 處，則 t= 【分析】 設(shè)輪船的速度為 v，求出 可得出結(jié)論 【解答】 解：設(shè)輪船的速度為 v，則 AB=v， C= v， 1） v， t= = 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題 16對于正整數(shù) n，設(shè)曲線 y=2 x）在 x=2 處的切線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 2n+2 4 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程為 y= 2n（ x 2），從而得到 n+1，利用等比數(shù)列的求和公式能求出 【解答】 解： y=2 x）， y=21（ n+1） 曲線 y=2 x）在 x=2 處的切線的斜率為 k= n+1） 2n= 2n， 切點(diǎn)為（ 2， 0）， 切線方程為 y= 2n（ x 2）， 令 x=0 得 n+1， 第 11 頁（共 16 頁） =2n+2 4， 故答案為： 2n+2 4 【點(diǎn)評】 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力，以及利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行數(shù)列求和的能力 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知等差數(shù)列 公差為 2，的前 n 項(xiàng)和為 等比數(shù)列， （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) （ n N*），求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【分析】 （ 1）由 等比數(shù)列得 化簡解得 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出； （ 2）利用 “裂項(xiàng)求和 ”即可得出 【解答】 解：（ 1）由 等比數(shù)列得 化簡得 ，又 d=2，解得 ， 故數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2） 由（ 1）得 ， = 【點(diǎn)評】 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、 “裂項(xiàng)求和 ”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 18 ，角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c已知（ a+c） 2 1）求角 B； （ 2）當(dāng) b=6， ，求 面積 【分析】 （ 1）由余弦定理變形已知式子可得 值，可得 B 值； （ 2）由題意和正弦 定理可得 c=2a，代入 b2=ac+得 a 和 c 的值，可得三角形為直角三角形，由面積公式可得 【解答】 解：（ 1） （ a+c） 2 b2=ac+ ac=a2+ B （ 0， ）， ； （ 2） 由正弦定理可得 c=2a， 第 12 頁（共 16 頁） 代入 b2=ac+得 36=2 解得 ， ，滿足 a2+b2= 直角三角形， 面積 S= 2 6=6 【點(diǎn)評】 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題 19已知拋物線 C： p 0）的焦點(diǎn)為 F， C 上一點(diǎn)（ 3， m）到焦點(diǎn)的距離為 5 （ 1）求 C 的方程； （ 2）過 F 作直線 l，交 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，若線段 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1，求直線 l 的方程 【分析】 （ 1）利用拋物線的定義，求出 p，即可求 C 的方程； （ 2）利用點(diǎn)差法求出直線 l 的斜率，即可求直線 l 的方程 【解答】 解：（ 1）拋物線 C： p 0）的準(zhǔn)線方程為 ， 由拋物線的定義可知 解得 p=4 C 的方程為 x （ 2）由（ 1）得拋物線 C 的方程為 x，焦點(diǎn) F（ 2， 0） 設(shè) A， B 兩點(diǎn)的坐 標(biāo)分別為 A（ B（ 則 兩式相減整理得 線段 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1 直線 l 的斜率 直線 l 的方程為 y 0= 4（ x 2）即 4x+y 8=0 【點(diǎn)評】 本題考查拋物線的定義與方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題 20如圖，在多面體 ， 0， C=2， ， 底面 F 為 中點(diǎn) （ ）求證： （ ）求二面角 A D 的余弦值 第 13 頁（共 16 頁） 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 而 而 面 此能證明 （ 2）以 A 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 A D 的余弦值 【解答】 證明：（ 1） C， F 為 中點(diǎn)， 底面 面 C=C，且 面 解：（ 2）以 A 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖， B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 2）， E（ 0， 0， 1）， ， ， 設(shè)面 一個(gè)法向量為 ， 則 ，令 z=2 得 x=1， y= 1， ， 又面 一個(gè)法向量為 ， ， 二面角 A D 的平面角是銳角， 二面角 A D 的余弦值為 第 14 頁（共 16 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用 21已知函數(shù) f（ x） = x=1 處取得極值 2 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若（ m+3） x f（ x）對于任意的 x （ 0， +）成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【分析】 （ ）根據(jù)極值的定義得到關(guān)于 a， b 的方程組，求出 a， b 的值，從而求出 f（ x）的表達(dá)式； （ ）問題等價(jià)于 m 2x 于任意的 x （ 0， +）成立，設(shè) h（ x） =2x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 m 的范圍即可 【解答】 解：（ ） 函數(shù) f（ x） = x=1 處取得極值 2， ，解得 ， f（ x） = x （ ） （ m+3） x f（ x）對于任意的 x （ 0， +