閱讀理解、圖表信息 (包括新定義 ,新運算 ) 一、 選擇題 1. （ 2016四川宜賓） 規(guī)定： a 0， a1， b 0）表示 a， b 之間的一 種運算 現(xiàn)有如下的運算法則： lo gn n = （ a 0， a1， N 0， N1，M 0） 例如： 3 =3， = ，則 = 【考點】 實數(shù)的運算 【分析 】 先 根據(jù) lo = （ a 0， a1， N 0， N1， M 0）將所求式子化成以 10 為底的對數(shù)形式，再利用公式 進行計算 【解答】 解： 00 = = = 故答案為： 2. （ 2016浙江省湖州市 3 分 ） 定義：若點 P（ a， b）在函數(shù) y= 的圖象上，將以 a 為二次項系數(shù)， b 為一次項系數(shù)構(gòu)造的二次函數(shù) y=為函數(shù) y= 的一個 “派生函數(shù) ”例如：點（ 2， ）在函數(shù) y= 的圖象上，則函數(shù) y=2稱為函數(shù) y= 的一個 “派生函數(shù) ”現(xiàn)給出以下兩個命題： （ 1）存在函數(shù) y= 的一個 “派生函數(shù) ”，其圖象的對稱軸在 y 軸的右側(cè) （ 2）函數(shù) y= 的所有 “派生函數(shù) ”，的圖象都進過同一點，下列判斷 正確的是（ ） A命題（ 1）與命題（ 2）都是真命題 B命題（ 1）與命題（ 2）都是假命題 C命題（ 1）是假命題，命題（ 2）是真命題 D命題（ 1）是真命題 ，命題（ 2）是假命題 【考點】 命題與定理 【分析】 （ 1）根據(jù)二次函數(shù) y=性質(zhì) a、 b 同號對稱軸在 y 軸左側(cè)， a、 b 異號對稱軸在 y 軸右側(cè)即可判斷 （ 2）根據(jù) “派生函數(shù) ”y=x=0 時， y=0，經(jīng)過原點，不能得出結(jié)論 【解答】 解：（ 1） P（ a， b）在 y= 上， a 和 b 同號，所以對稱軸在 y 軸左側(cè)， 存在函數(shù) y= 的一個 “派生函數(shù) ”，其圖象的對稱軸在 y 軸的右側(cè)是假命題 （ 2） 函數(shù) y= 的所有 “派生函數(shù) ”為 y= x=0 時， y=0， 所有 “派生函數(shù) ”為 y=過原點， 函數(shù) y= 的所有 “派生函數(shù) ”，的圖象都進過同一點，是真命題 故選 C 3. （ 2016浙江省紹興市 4 分 ） 我國古代易經(jīng)一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即 “結(jié)繩計數(shù) ”如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天 數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ） A 84 B 336 C 510 D 1326 【考點】 用數(shù)字表示事件 【分析】 類比于現(xiàn)在我們的十進制 “滿十進一 ”，可以表示滿七進一的數(shù)為：千位上的數(shù) 7 3+百位上的數(shù) 7 2+十位上的數(shù) 7+個位上的數(shù) 【解答】 解： 173+372+27+6=510， 故選 C 二、 解答題 1. （ 2016江西 10 分 ） 如圖，將正 n 邊形繞點 0后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點 O，連接 們稱 “疊弦 ”；再將 “疊弦 ”逆時針旋轉(zhuǎn) 60后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點 P，連接 們稱 疊弦角 ”， “疊弦三角形 ” 【探究證明】 （ 1）請在圖 1 和圖 2 中選擇其中一個證明： “疊弦三角形 ”（ 等邊三角形； （ 2）如圖 2，求證： 【歸納猜想】 （ 3）圖 1、圖 2 中的 “疊弦角 ”的度數(shù)分別為 15 ， 24 ； （ 4）圖 n 中， “疊弦三角形 ” 是 等邊三角形（填 “是 ”或 “不是 ”） （ 5）圖 n 中， “疊弦角 ”的度數(shù)為 60 80n （用含 n 的式子表示） 【考點】 幾何變換綜合題 【分析】 （ 1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再判斷出 最后用旋轉(zhuǎn)角計算即可； （ 2）先判斷出 判斷出 可； （ 3）先判斷出 利用正方形，正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，計算即可； （ 4）先判斷 出 ，再用旋轉(zhuǎn)角為 60，從而得出 等邊三角形； （ 5）用（ 3）的方法求出正 n 邊形的， “疊弦角 ”的度 數(shù) 【解答】 解：（ 1）如圖 1， 四 正方形， 由旋轉(zhuǎn)知： D， D= D=90， 0， D O， 0， 等邊三角形， （ 2）如圖 2， 作 M，作 N 五 正五邊形， 由 旋轉(zhuǎn)知： E， E= E=108， 0 E 在 ， 2， B N 在 ， O， N （ 等量代換） （ 3）由（ 1）有， D 在 和 ， ， D 由旋轉(zhuǎn)得 ， 60， 0， D 30， D D5， 同理可得 ， E4， 故答案為： 15， 24 （ 4）如圖 3， 六邊形 六邊形 ABCEF是正六邊形， F=F=120， 由旋轉(zhuǎn)得， F， F， ， E 由旋轉(zhuǎn)得， 60， O 0， 等邊三角形 故答案為：是 （ 5）同（ 3）的方法得， O （ n 2） 180n 602=60 故答案： 60 2. （ 2016重慶市 10 分 ） 我們知道，任意一個正整數(shù) n 都可以進行這樣的分解： n=pq（ p， q 是正整數(shù)，且 pq），在 n 的所有這種分解中，如果 p， q 兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱 pq 是 n 的最佳分解并規(guī)定： F（ n） = 例如 12 可以分解成 112， 26 或 34，因為 12 1 6 2 4 3，所有 34 是 12 的最佳分解，所以 F（ 12） = （ 1）如果一個正整數(shù) a 是另外一個正整數(shù) b 的平方，我們稱正整數(shù) a 是完全平方數(shù)求證：對任意一個完全平方數(shù) m，總有 F（ m） =1； （ 2）如果一個兩位正整數(shù) t， t=10x+y（ 1xy9， x， y 為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為 18，那么我們稱這個數(shù) t 為 “吉祥數(shù) ”，求所有 “吉祥數(shù) ”中 F（ t）的最大值 【分析】（ 1）根據(jù)題意可設(shè) m=最佳分解定義可得 F（ m） = =1； （ 2）根據(jù) “吉祥數(shù) ”定義知（ 10y+x）（ 10x+y） =18，即 y=x+2，結(jié)合 x 的范圍可得 2 位數(shù)的 “吉祥數(shù) ”，求出每個 “吉祥數(shù) ”的 F（ t），比較后可得最大值 【解答】解：（ 1）對任意一個完全平方數(shù) m，設(shè) m=n 為正整數(shù)）， |n n|=0， nn 是 m 的最佳分解， 對任意一個完全平方數(shù) m，總有 F（ m） = =1； （ 2）設(shè)交換 t 的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為 t，則 t=10y+x， t 為 “吉祥數(shù) ”， t t=（ 10y+x）（ 10x+y） =9（ y x） =18， y=x+2， 1xy9， x， y 為自然數(shù)， “吉祥數(shù) ”有： 13， 24， 35， 46， 57， 68， 79， F（ 13） = ， F（ 24） = = ， F（ 35） = ， F（ 46） = ， F（ 57） = ， F（ 68） = ，F(xiàn)（ 79） = ， ， 所有 “吉祥數(shù) ”中， F（ t）的最大值是 【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，理解最佳分解、 “吉祥數(shù) ”的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵 3. （ 2016重慶市 10 分 ） 我們知道，任意一個正整數(shù) n 都可以進行這樣的分解： n=pq（ p， q 是正整數(shù)，且 pq），在 n 的所有這種分 解中，如果 p， q 兩因數(shù)之差 的絕對值最小，我們就稱 pq 是 n 的最佳分解并規(guī)定： F（ n） = 例如 12 可以分解成 112， 26 或 34，因為 12 1 6 2 4 3，所有 34 是 12 的最佳分解，所以 F（ 12） = （ 1）如果一個正整數(shù) a 是另外一個正整數(shù) b 的平方，我們稱正整數(shù) a 是完全平方數(shù)求證：對任意一個完全平方數(shù) m，總有 F（ m） =1； （ 2）如果一個兩位正整數(shù) t， t=10x+y（ 1xy9， x， y 為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為 18，那么我們稱這個數(shù) t 為 “吉祥數(shù) ”，求所有 “吉祥數(shù) ”中 F（ t）的最大值 【考點】 實數(shù)的運算 【專題】 新定義 【分析】 （ 1）根據(jù)題意可設(shè) m=最佳分解定義可得 F（ m） = =1； （ 2）根據(jù) “吉祥數(shù) ”定義知（ 10y+x）（ 10x+y） =18，即 y=x+2，結(jié)合 x 的范圍可得 2 位數(shù)的 “吉祥數(shù) ”，求出每個 “吉祥數(shù) ”的 F（ t），比較后可得最大值 【解答】 解：（ 1）對任意一個完全平方數(shù) m，設(shè) m= n 為正整數(shù)）， |n n|=0， nn 是 m 的最佳分解， 對任意一個完全平方數(shù) m，總有 F（ m） = =1； （ 2）設(shè)交換 t 的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為 t，則 t=10y+x， t 為 “吉祥數(shù) ”， t t=（ 10y+x）（ 10x+y） =9（ y x） =18， y=x+2， 1xy9， x， y 為自然數(shù)， “吉祥數(shù) ”有： 13， 24， 35， 46， 57， 68， 79， F（ 13） = ， F（ 24） = = ， F（ 35） = ， F（ 46） = ， F（ 57） = ， F（ 68） = ，F(xiàn)（ 79） = ， ， 所有 “吉祥數(shù) ”中， F（ t）的最大值是 【點評】 本題主要考查實數(shù)的運算，理解最佳分解、 “吉祥數(shù) ”的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵 4 （ 2016山東省濟寧市 3 分 ） 已知點 P（ 直線 y=kx+b，則點 P 到直線 y=kx+d= 計算 例如：求點 P（ 1， 2）到直線 y=3x+7 的距離 解：因為直線 y=3x+7，其中 k=3， b=7 所以點 P（ 1， 2）到直線 y=3x+7 的距離為： d= = = 根據(jù)以上材料，解答下列問題： （ 1）求點 P（ 1， 1）到直線 y=x 1 的距離； （ 2）已知 Q 的圓心 Q 坐標為（ 0， 5），半徑 r 為 2，判斷 Q 與直線 y= x+9 的位置關(guān)系并說明理由； （ 3）已知直線 y= 2x+4 與 y= 2x 6 平行，求這兩條直線之間的距離 【考點】 一次函數(shù)綜合題 【分析】 （ 1）根據(jù)點 P 到直線 y=kx+b 的距離公式直接計算 即可； （ 2）先利用點到直線的距離公式計算出圓心 Q 到直線 y= x+9，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷 Q 與直線 y= x+9 相切； （ 3）利用兩平行線間的距離定義，在直線 y= 2x+4 上任意取一點，然后計算這個點到直線 y= 2x 6 的距離即可 【解答】 解：（ 1）因為直線 y=x 1，其中 k=1， b= 1， 所以點 P（ 1， 1）到直線 y=x 1 的距離為： d= = = ； （ 2） Q