第 1 頁（共 19 頁） 2015年湖南省東部六校高三（上） 12 月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科） 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求 . 1已知集合 M= 2， 1， 0， 1， N=x| 2x 4， x Z，則 MN=（ ） A M= 2， 1， 0， 1， 2 B M= 1， 0， 1， 2 C M= 1， 0， 1 D M=0， 1 2已知 i 是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù) +i， +2i，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函數(shù) y=lg|x|（ ） A是偶函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞增 B是偶函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞減 C是奇函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞增 D是奇函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞減 4設(shè)向量 ， =（ 2， 若 ，則 ）等于（ ） A B C 3 D 3 5將函數(shù) y=x+ ）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）6已知 公差不為 0 的等差數(shù)列 前項(xiàng)和，且 等比數(shù)列，則 =（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 7已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率 ，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 4x 的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為（ ） A B C D 第 2 頁（共 19 頁） 8某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的面積是（ ）A 4 B 8 C 4 D 8 9實(shí)數(shù) x， y 滿足 （ a 1），且 z=2x+y 的最大值是 最小值的 4 倍，則 a 的值是（ ） A B C D 10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n 的值為 8，則輸出 S 的值為（ ） A 4 B 8 C 10 D 12 11已知 P、 Q 是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn) O 的單位圓上的兩點(diǎn)，分別位于第一 象限和第四象限，且P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ， Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 則 ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =x） x）恰有 6 個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ） A（ 0， 3） B（ 1， 3） C（ 2， 3） D（ 0， 2） 二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分 13如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在 10 場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這 10場(chǎng)比賽中得分的中位數(shù)為 第 3 頁（共 19 頁） 14若曲線 y=x2+ax+b 在點(diǎn)（ 0， b）處的切線方程是 x y+1=0，則 15已知雙曲線 （ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 物線 的準(zhǔn)線過雙曲線 焦點(diǎn)，若雙曲線 拋物線 交點(diǎn) P 滿足 雙曲線 離心率為 16在 ， a， b， c 分別為角 A， B， C 的對(duì)邊，且滿足 4 B+C） = ，若 a=2，則 面積的最大值是 三、解答題（共 6 小題，總計(jì) 70 分） 17 2012 年 “雙節(jié) ”期間，高速公路車輛較多某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔 50 輛就抽取一輛的抽樣方法抽取 40 名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲?km/t）分成六段：（ 60， 65）， 65， 70）， 70， 75）， 80， 85），85， 90）后得到如圖的頻率分布直方圖 （ 1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？ （ 2）求這 40 輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值 （ 3）若從車速 在 60， 70）的車輛中任抽取 2 輛，求車速在 65， 70）的車輛至少有一輛的概率 18已知等比數(shù)列 足 2a1+ 是 等差中項(xiàng) （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）若 bn=an+ Sn=b1+使 2n+1+47 0 成立的正整數(shù) n 的最小值 19如圖 1，在直角梯形 ， D= 現(xiàn)以 后沿邊 矩形 折，使平面 平面 （ 1）求證： 平面 第 4 頁（共 19 頁） （ 2）若點(diǎn) D 到平面 距離為 ，求三棱錐 F 體積 20已知直線 l： 4x+3y+10=0，半徑為 2 的圓 C 與 l 相切，圓心 C 在 x 軸上且在直線 l 的上方 （ 1）求圓 C 的方程； （ 2）設(shè)過點(diǎn) P（ 1， 1）的直線 圓 C 截得的弦長(zhǎng)等于 2 ，求直線 方程； （ 3）過點(diǎn) M（ 1， 0）的直線與圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)（ A 在 x 軸上方），問在 x 軸正半軸上是否存在點(diǎn) N，使得 x 軸平分 存在，請(qǐng)求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 21設(shè)函數(shù) f（ x） = 2x2+a R）， g（ x） = +3 （ I）若函數(shù) f（ x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 對(duì)任意 x （ 0， e），都有唯一的 e 4， e，使得 g（ x） =f（ +2立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 22已知直線 l 的參數(shù)方程為： （ t 為參數(shù)），曲線 C 的極坐標(biāo)方程為： 2 （ 1）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若求直線，被曲線 c 截得的弦長(zhǎng)為 2 ，求 m 的值 第 5 頁（共 19 頁） 2015年湖南 省東部六校高三（上） 12 月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求 . 1已知集合 M= 2， 1， 0， 1， N=x| 2x 4， x Z，則 MN=（ ） A M= 2， 1， 0， 1， 2 B M= 1， 0， 1， 2 C M= 1， 0， 1 D M=0， 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合 N，然后直接利用交集 運(yùn)算求解 【解答】 解： N=x| 2x 4， x Z=x Z| 1 x 2= 1， 0， 1， 2， 集合 M= 2， 1， 0， 1， MN= 1， 0， 1 故： C 2已知 i 是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù) +i， +2i，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【 分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出 【解答】 解： = = = 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 在第四象限 故選： D 3函數(shù) y=lg|x|（ ） A是偶函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞增 B是偶函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞減 C是奇函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞增 D是奇函數(shù)，在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞減 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判定，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法進(jìn)行判定即可 【解答】 解：函數(shù) y=lg|x|定義域?yàn)?x|x 0， 而 x|=lg|x|，所以該函數(shù)為偶函數(shù)， |x|在（ ， 0）上單調(diào)遞減，在（ 0， +）上單調(diào)遞增， 第 6 頁（共 19 頁） 函數(shù) y=lg|x|在（ ， 0）上單調(diào)遞減，在（ 0， +）上單調(diào)遞增； 故選 B 4設(shè)向量 ， =（ 2， 若 ，則 ）等于（ ） A B C 3 D 3 【考點(diǎn)】 數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；兩角和與差的正切函數(shù) 【分析】 利用 ，即可得出 利用兩角差的正切公式即可得出 【解答】 解： ， 2，即 = ， 故選 B 5將函數(shù) y=x+ ）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓 縮為原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律求得 g（ x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得 y=g（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間 【解答】 解：將函數(shù) y=x+ ）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 （縱坐標(biāo)不變），得到函 數(shù) y=2x+ ）的圖象； 令 2 2x+ 2，求得 x ， 可得函數(shù) g（ x）的增區(qū)間為 ， ， k z， 當(dāng) k=0 時(shí)，可得函數(shù)在區(qū)間（ ， ）單調(diào)遞增 故選： A 6已知 公差不為 0 的等差數(shù)列 前項(xiàng)和，且 等比數(shù)列，則 =（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 由等比中項(xiàng)的性質(zhì)列 出 ，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式，用 d 表示出來，求出 d 的關(guān)系，進(jìn)而求出式子的比值 第 7 頁（共 19 頁） 【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，且 d 0， 等比數(shù)列， ， =， =22d）， 得 d=2 d=0（舍去）， = = =8， 故選 C 7已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率 ，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 4x 的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由離心率求得半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，從而得到短半軸長(zhǎng)的平方，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【解答】 解：拋物線 4x 的焦點(diǎn)為（ 1， 0）， c=1， 由離心率 可得 a=2， b2=， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1， 故選 A 8某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的面積是（ ）A 4 B 8 C 4 D 8 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖分析出幾何體的圖形，利用三視圖中的數(shù)據(jù)求出四 個(gè)面的面積中的最大值 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體底面是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形，高為 4 的三棱錐， 第 8 頁（共 19 頁） 且側(cè)棱垂直于底面三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，如圖所示； 則兩個(gè)垂直底面的側(cè)面面積為 S 4 4=8； 底面面積為 S 42 4 ； 另一個(gè)側(cè)面的面積為 S 4 =4 ； 所以四個(gè)面中面積的最大值為 4 故選： C 9實(shí)數(shù) x， y 滿足 （ a 1），且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，則 a 的值是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直線 y= 2x+z， 由圖象可知當(dāng)直線 y= 2x+z 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，直線的截距最大， 此時(shí) z 最 大， 由 ，解得 即 A（ 1， 1），此時(shí) z=2 1+1=3， 當(dāng)直線 y= 2x+z 經(jīng)過點(diǎn) B 時(shí)，直線的截距最小， 此時(shí) z 最小， 由 ，解得 ， 即 B（ a， a），此時(shí) z=2 a+a=3a， 目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍， 3=4 3a， 即 a= 故選： B 第 9 頁（共 19 頁） 10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n 的值為 8，則輸出 S 的值為（ ） A 4 B 8 C 10 D 12 【考點(diǎn)】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 由已知中的程序框圖及已知中輸入 8，可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為 i 8，即 i=2， 4，6， 8模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的 S 值 【解答】 解：當(dāng) i=2 時(shí)， S= （ 1 2） =2， i=2+2=4， k=2； 當(dāng) i=4 時(shí)， S= （ 2 4） =4， i=4+2=6， k=3； 當(dāng) i=6 時(shí)， S= （ 4 6） =8， i=6+2=8， k=4； 當(dāng) i=8 時(shí)，不滿足 i 8，退出循環(huán)，輸出 S=8 故選 B 第 10 頁（共 19 頁） 11已知 P、 Q 是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn) O 的單位圓上的兩點(diǎn)，分別位于第一象限和第四象限，且P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ， Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 則 ） A B C D 【考點(diǎn)】 兩角和與差的余弦函數(shù)；任意角的三角函數(shù)的定義 【分析】 由條件利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得 值， 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 利用兩角和的余弦公式求得 的值 【解答】 解：由題意可得， ， ； 再根據(jù) ，可得 = ， 故選： D 12已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =x） x）恰有 6 個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ） A（ 0， 3） B（ 1， 3） C（ 2， 3） D （ 0， 2） 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 問題轉(zhuǎn)化為：方程 f（ x） =0，或 f（ x） ，共有 6 個(gè)不同的解，其中前一方程有 3 解，所以后一方程有三解，故采用數(shù)形結(jié)合法求解 【解答】 解：令 g（ x） =x） x） =0， 則 f（ x） =0，或 f（ x） ， 當(dāng) f（ x） =0 時(shí)，即 3x+1=0 或 4x+1=0， 解得 x= ， x=2 ， x=2+ ，即有三個(gè)零點(diǎn)， 第 11 頁（共 19 頁） 當(dāng) f（ x） ，即 f（ x） = x=0 時(shí)， f（ 0） =1 0，即 x 0， 方程 =a 有三個(gè)根， 當(dāng) x 0 時(shí)， =3+ ， 當(dāng) x 0 時(shí)， =|x+ 4|， 分別畫出 y= （紫線）與 y=a 的圖象，如右圖所示， 由圖可知，當(dāng) a （ 2， 3）時(shí)，兩函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)， 綜合以上討論得，當(dāng) a （ 2， 3）時(shí)，原函數(shù) g（ x）有六個(gè)零點(diǎn) 故答案為： C 二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分 13如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在 10 場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這 10場(chǎng)比賽中得分的中位數(shù)為 15 【考點(diǎn)】 莖葉圖 【分析】 根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可 【解答】 解：根據(jù)莖葉圖將數(shù)據(jù)從小到大排列之后，對(duì)應(yīng)的第 5 個(gè)數(shù)為 14，第 6 個(gè)數(shù)為 16， 則對(duì)應(yīng)的中位數(shù)為 =15， 故答案為： 15 14若曲線 y=x2+ax+b 在點(diǎn)（ 0， b）處的切線方程是 x y+1=0，則 1 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù) y 在 x=0 處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立等量關(guān)系求出 a，再根據(jù)點(diǎn) （ 0， b）在切線 x y+1=0 上求出 b 即可 【解答】 解： y=2x+a|x=0=a， a=1，（ 0， b）在切線 x y+1=0， 第 12 頁（共 19 頁） b=1 則 故答案為： 1 15已知雙曲線 （ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 物線 的準(zhǔn)線過雙曲線 焦點(diǎn)，若雙曲線 拋物線 交點(diǎn) P 滿足 雙曲線 離心率為 +1 【考點(diǎn)】 雙曲 線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 先設(shè)出拋物線方程，進(jìn)而根據(jù)題意可得 p 與 a 和 c 的關(guān)系，把拋物線方程與雙曲線方程聯(lián)立，把 x=c， 入整理可得答案 【解答】 解：設(shè)拋物線方程為 題意可知 =c， p=2c， 拋物線方程與雙曲線方程聯(lián)立得 =1， 把 x=c，代入整理得 6=0 解得 e= +1， 故答案為： +1 16在 ， a， b， c 分別為角 A， B， C 的對(duì)邊，且滿足 4 B+C） = ，若 a=2，則 面積的最大值是 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用三角形的內(nèi)角和，結(jié)合已知條件等式，可得關(guān)于 A 的三角方 程，從而可以求得 A 的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得 而可求 面積的最大值 【解答】 （本題滿分為 10 分） 解： A+B+C=， 4 B+C） =2（ 1+ 2= ， 22=0 0 A ， A= a=2，由余弦定理可得： 4=b2+2bc=當(dāng)且僅當(dāng) b=c=2，不等式等號(hào)成立） 4 S = 故答案為： 第 13 頁（共 19 頁） 三、解答題（共 6 小題，總計(jì) 70 分） 17 2012 年 “雙節(jié) ”期間，高速公路車輛較多某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔 50 輛就抽取一輛的抽樣方法抽取 40 名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲?km/t）分成六段：（ 60， 65）， 65， 70）， 70， 75）， 80， 85），85， 90）后得到如圖的頻率分布直方圖 （ 1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？ （ 2）求這 40 輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的 估計(jì)值 （ 3）若從車速在 60， 70）的車輛中任抽取 2 輛，求車速在 65， 70）的車輛至少有一輛的概率 【考點(diǎn)】 等可能事件的概率；用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 【分析】 （ 1）這個(gè)抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔 50 輛就抽取一輛的抽樣方法抽取 40 名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個(gè)具有相同間隔的抽樣，并且總體的個(gè)數(shù)比較多，這是一個(gè)系統(tǒng)抽樣； （ 2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為 應(yīng)的橫軸的左邊即為中位數(shù)； 利用各個(gè)小矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)矩形的底邊的中點(diǎn)的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù) （ 3）從圖中可知，車速在 60， 65）的車輛數(shù)和車速在 65， 70）的車輛數(shù)從車速在（ 60，70）的車輛中任抽取 2 輛，設(shè)車速在 60， 65）的車輛設(shè)為 a， b，車速在 65， 70）的車輛設(shè)為 c， d， e， f，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應(yīng)的概率即可 【解答】 解：（ 1）由題意知這個(gè)抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔 50 輛就抽取一輛的抽樣方法抽取 40 名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個(gè)具有相同間隔的抽樣，并且總體的個(gè)數(shù)比較多，這是一個(gè)系統(tǒng)抽樣 故調(diào)查公司 在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣， （ 2）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于 設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為 x，則中位數(shù)的估計(jì)值為： 5+5+5+（ x 75） = 解得 x=中位數(shù)的估計(jì)值為 （ 3）從圖中可知，車速在 60， 65）的車輛數(shù)為： 5 40=2（輛）， 車速在 65， 70）的車輛數(shù)為： 5 40=4（輛） 設(shè)車速在 60， 65）的車輛設(shè)為 a， b，車速在 65， 70）的車輛設(shè)為 c， d， e， f， 則所有基本事件有：（ a， b），（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ a， f），（ b， c），（ b， d），（ b， e），（ b， f），（ c， d），（ c， e），（ c， f），（ d， e），（ d， f），（ e， f）共 15 種 第 14 頁（共 19 頁） 其中車速在 65， 70）的車輛至少有一輛的事件有：（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ a， f），（ b，c），（ b， d），（ b， e），（ b， f），（ c， d），（ c， e），（ c， f），（ d， e），（ d， f），（ e， f）共 14 種 所以，車速在 65， 70）的車輛至少有一輛的概率為 18已知等比數(shù)列 足 2a1+ 是 等差中項(xiàng) （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）若 bn=an+ Sn=b1+使 2n+1+47 0 成立的正整數(shù) n 的最小值 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列與不等 式的綜合 【分析】 （ ）設(shè)等比數(shù)列 首項(xiàng)為 比為 q，根據(jù) 2a1+ 是 立方程組，從而可求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ） =2n n，求出 Sn=b1+利用 ，建立不等式，即可求得使 成立的正整數(shù) n 的最小值 【解答】 解：（ ）設(shè)等比數(shù)列 首項(xiàng)為 比為 q， 依題 意， 2a1+ 是 等差中項(xiàng) 由 得 3q+2=0，解得 q=1 或 q=2 當(dāng) q=1 時(shí)，不合題意舍； 當(dāng) q=2 時(shí)，代入（ 2）得 ，所以 n （ ） =2n n 所以 Sn=b1+ 2+22+2n）（ 1+2+n） =2n+1 2 因?yàn)?，所以 2n+1 2 2n+1+47 0， 即 n2+n 90 0，解得 n 9 或 n 10 故使 成立的正整數(shù) n 的最小值為 10 第 15 頁（共 19 頁） 19如圖 1，在直角梯形 ， D= 現(xiàn)以 后沿邊 矩形 折，使平面 平面 （ 1）求證： 平面 （ 2）若點(diǎn) D 到平面 距離為 ，求三棱錐 F 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）證明 D=D，即可證明 平面 （ 3）由（ 1）知，平面 平面 平面 出高 換底面即可求三棱錐 F 體積 【解答】 （ 1）證明：在正方形 ， 又 平面 平面 平面 面 D， 平面 在直角梯形 ， D=1， ， 5，可得 在 ， C= ， ， 故 平面 （ 2）解：由（ 1）知，平面 平面 平面 ， ，由等面積可得 ， B = 20已知直線 l： 4x+3y+10=0，半徑為 2 的圓 C 與 l 相切，圓心 C 在 x 軸上且在直線 l 的上方 （ 1）求圓 C 的方程； 第 16 頁（共 19 頁） （ 2）設(shè)過點(diǎn) P（ 1， 1）的直線 圓 C 截得的弦長(zhǎng)等于 2 ，求直線 方程； （ 3）過點(diǎn) M（ 1， 0）的直線與圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)（ A 在 x 軸上方），問在 x 軸正半軸上是否存在點(diǎn) N，使得 x 軸平分 存在，請(qǐng)求出 點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 【考點(diǎn)】 直線和圓的方程的應(yīng)用 【分析】 （ 1）設(shè)出圓心 C 坐標(biāo)，根據(jù)直線 l 與圓 C 相切，得到圓心到直線 l 的距離 d=r，確定出圓心 C 坐標(biāo)，即可得出圓 C 方程； （ 2）根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由過點(diǎn) P（ 1， 1）的直線 圓 C 截得的弦長(zhǎng)等于 2 ，分直線 率存在與不存在兩種情況求出直線 方程即可； （ 3）當(dāng)直線 x 軸，則 x 軸平分 直線 率存在時(shí)，設(shè) 直線 程為 y=k（ x 1），聯(lián)立圓與直線方程，消去 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，由若 x 軸平分 出 t 的值，確定出此時(shí) N 坐標(biāo)即可 【解答】 解：（ 1）設(shè)圓心 C（ a， 0）（ a ）， 直線 l： 4x+3y+10=0，半徑為 2 的圓 C 與 l 相切， d=r，即 =2， 解得： a=0 或 a= 5（舍去）， 則圓 C 方程為 x2+； （ 2）由題 意可知圓心 C 到直線 距離為 =1， 若直線 率不存在，則直線 x=1，圓心 C 到直線 距離為 1； 若直線 率存在，設(shè)直線 y 1=k（ x 1），即 y+1 k=0， 則有 =1，即 k=0，此時(shí)直線 y=1， 綜上直線 方程為 x=1 或 y=1； （ 3）當(dāng)直線 x 軸，則 x 軸平分 若 x 軸平分 + =0， + =0， 整理得： 2 t+1）（ x1+2t=0，即 +2t=0， 解得： t=4， 第 17 頁（共 19 頁） 當(dāng)點(diǎn) N（ 4， 0），能使得 成立 21設(shè)函數(shù) f（ x） = 2x2+a R）， g（ x） = +3 （ I）若函數(shù) f（ x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 對(duì)任意 x （ 0， e），都有唯一的 e 4， e，使得 g（ x） =f（ +2立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）根據(jù)題意即可得出 4 0 在（ 0， +）上恒成立，從而有 0 或者，這樣便可解出實(shí)數(shù) a 的取值范圍；