2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（山東卷，解析版）第卷(共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)若復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位)，則為 (A)3+5i (B)35i (C)3+5i(D)35i【解析】.故選A.【答案】A (2)已知全集，集合，則為 (A)1,2,4 (B)2,3,4 (C)0,2,4 (D)0,2,3,4【解析】,所以,選C.【答案】C (3)函數(shù)的定義域?yàn)?(A) (B) (C) (D)【解析】要使函數(shù)有意義則有，即，即或，選B.【答案】B (4)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是 (A)眾數(shù)(B)平均數(shù)(C)中位數(shù)(D)標(biāo)準(zhǔn)差【解析】設(shè)A樣本的數(shù)據(jù)為變量為，B樣本的數(shù)據(jù)為變量為，則滿足，根據(jù)方差公式可得，所以方差相同，標(biāo)準(zhǔn)差也相同，選D.【答案】D(5)設(shè)命題p：函數(shù)的最小正周期為；命題q：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.則下列判斷正確的是 (A)p為真(B)為假(C)為假(D)為真【解析】函數(shù)的周期為，所以命題為假；函數(shù)的對稱軸為,所以命題為假，所以為假，選C.【答案】C (6)設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是 (A)(B)(C)(D)【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖，由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線的截距最小，此時最大為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線截距最大，此時最小，由，解得，此時，所以的取值范圍是，選A.【答案】A(7)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入4，那么輸出的n的值為 (A)2(B)3(C)4(D)5【解析】當(dāng)時，第一次，第二次，第三次，此時不滿足，輸出，選B.【答案】B(8)函數(shù)的最大值與最小值之和為 (A)(B)0(C)1(D)【解析】因?yàn)?，所以，即，所以?dāng)時，最小值為，當(dāng)時，最大值為，所以最大值與最小值之和為，選A.【答案】A (9)圓與圓的位置關(guān)系為 (A)內(nèi)切(B)相交(C)外切(D)相離【解析】兩圓的圓心分別為，半徑分別為，兩圓的圓心距離為，則，所以兩圓相交，選B.【答案】B (10)函數(shù)的圖象大致為【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A,令得，所以，函數(shù)零點(diǎn)有無窮多個，排除C,且軸右側(cè)第一個零點(diǎn)為，又函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，所以函數(shù)，排除B，選D.【答案】D (11)已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) (B) (C)(D)【解析】拋物線的焦點(diǎn) ，雙曲線的漸近線為，不妨取，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，即，所以雙曲線的離心率為，所以，所以，所以拋物線方程為，選D.【答案】D (12)設(shè)函數(shù)，.若的圖象與的圖象有且僅有兩個不同的公共點(diǎn)，則下列判斷正確的是 (A)(B)(C)(D)【解析】方法一：在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象，要想滿足條件，則有如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)C,則C點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象知即，故答案選B.方法二：設(shè)，則方程與同解，故其有且僅有兩個不同零點(diǎn).由得或.這樣，必須且只須或，因?yàn)?，故必有由此?不妨設(shè)，則.所以，比較系數(shù)得，故.，由此知，故答案為B.【答案】B第卷(共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.(13)如圖，正方體的棱長為1，E為線段上的一點(diǎn)，則三棱錐的體積為.【解析】以為底面，則易知三棱錐的高為1，故.【答案】(14)右圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是20.5，26.5，樣本數(shù)據(jù)的分組為，.已知樣本中平均氣溫低于22.5的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5的城市個數(shù)為.【解析】最左邊兩個矩形面積之和為0.101+0.1210.22，總城市數(shù)為110.2250，最右面矩形面積為0.1810.18，500.189.【答案】9(15)若函數(shù)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a.【解析】當(dāng)時，有，此時，此時為減函數(shù)，不合題意.若，則，故，檢驗(yàn)知符合題意.【答案】（16)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2，1)時，的坐標(biāo)為. 【解析】因?yàn)閳A心移動的距離為2，所以劣弧，即圓心角,則,所以，所以，所以.另解：根據(jù)題意可知滾動制圓心為（2,1）時的圓的參數(shù)方程為，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即.【答案】三、解答題：本大題共6小題，共74分.(17)(本小題滿分12分)在ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.()求證：成等比數(shù)列；()若，求的面積S.【答案】(17)(I)由已知得：，再由正弦定理可得：，所以成等比數(shù)列.(II)若，則，的面積.(18)(本小題滿分12分)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1，2.()從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率；()現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.【答案】(18)(I)從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有3種情況，故所求的概率為.(II)加入一張標(biāo)號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，除上面的10種情況外，多出5種情況：紅1綠0，紅2綠0，紅3綠0，藍(lán)1綠0，藍(lán)2綠0，即共有15種情況，其中顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有8種情況，所以概率為.(19) (本小題滿分12分)如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，.()求證：；()若，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：平面.【答案】(19)(I)設(shè)中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由知 ，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分線，所以.(II)取AB中點(diǎn)N，連接，M是AE的中點(diǎn)，是等邊三角形，.由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即，所以NDBC，所以平面MND平面BEC，故DM平面BEC.(20) (本小題滿分12分)已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105，且.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()對任意，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和.【答案】 (I)由已知得：解得,所以通項(xiàng)公式為.(II)由，得，即.，是公比為49的等比數(shù)列，.(21) (本小題滿分13分)如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.()求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；() 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時m的值.【答案】(21)(I)矩形ABCD面積為8，即由解得：，橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(II)，設(shè)，則，由得.當(dāng)過點(diǎn)時，當(dāng)過點(diǎn)時，.當(dāng)時，有，其中，由此知當(dāng)，即時，取得最大值.由對稱性，可知若，則當(dāng)時，取得最大值.當(dāng)時，由此知，當(dāng)時，取得最大值.綜上可知，當(dāng)和0時，取得最大值.(22) (本小題滿分13分)已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.()求k的值；()求的單調(diào)區(qū)間；()