山東省新人教B版2020屆高三單元測試18選修2-1第三章3.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答題時間120分鐘一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)（每小題5分，共50分）1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（ ）A60B90C105D75圖2如圖，ABCDA1B1C1D1是正方體，B1E1D1F1，則BE1與DF1所成角的余弦值是（ ）A B圖CD3如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ）ABCD4正四棱錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離（ ）A BC DAA1DCBB1C1圖5已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點點到平面的距離（ ）A BCD6在棱長為的正方體中，則平面與平面間的距離（ ）A BC D7在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC，則直線OD與平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D8在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，D，E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是的重心G則與平面ABD所成角的余弦值（ ）A B CD9正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點，且，則二面角的大?。?）A B C D10正四棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為4，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則三棱錐的體積V（ ）A B C D二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）11在正方體中，為的中點，則異面直線和間的距離 12 在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，求點到截面的距離 13已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點，點A1到平面DBEF的距離 14已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共76分）15（12分）已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角的大小16（12分）已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分別是A1C1、A1D和B1A上任一點，求證：平面A1EF平面B1MC17（12分）在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD與底面成30角（1）若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值18（12分）已知棱長為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點（1）求證：E、F、D、B共面；（2）求點A1到平面的BDEF的距離；（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角19（14分）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點，求：（）D1E與平面BC1D所成角的大小；（）二面角DBC1C的大?。唬ǎ┊惷嬷本€B1D1與BC1之間的距離20（14分）如圖5：正方體ABCD-A1B1C1D1，過線段BD1上一點P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分別交過D1的三條棱于E、F、G(1)求證：平面EFG平面A CB1，并判斷三角形類型；(2)若正方體棱長為a，求EFG的最大面積，并求此時EF與B1C的距離參考答案一、1B；2A；3A；4C；分析：建立如圖所示的直角坐標系，則ABCDOS圖， ，令向量，且，則，異面直線和之間的距離為：5A；分析：為正方形，又平面平面，面，是平面的一個法向量，設(shè)點到平面的距離為，則= 6B；分析：建立如圖所示的直角坐標系，ABCDA1B1C1D1E圖設(shè)平面的一個法向量，則，即，平面與平面間的距離7D；8B；解 以C為坐標原點，CA所在直線為軸，CB所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系， 設(shè)，則 ， ， ， ， 點E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 ， ， 平面ABD， 為平面ABD的一個法向量由 與平面ABD所成的角的余弦值為評析 因規(guī)定直線與平面所成角，兩向量所成角，所以用此法向量求出的線面角應(yīng)滿足9A；取BC的中點O，連AO由題意 平面平面，平面，以O(shè)為原點，建立如圖6所示空間直角坐標系，則 ， ， ， ，由題意 平面ABD， 為平面ABD的法向量設(shè) 平面的法向量為 ，則 ， ， ，即 不妨設(shè) ，由 ， 得 故所求二面角的大小為評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”10C；解 以D為坐標原點，建立如圖10所示的直角坐標系，則 ， ， ， 圖10 ， ，所以 ，設(shè) 平面的方程為：，將點代入得， ， 平面的方程為：，其法向量為， 點到平面的距離， 即為所求評析 （1）在求點到平面的距離時，有時也可直接利用點到平面的距離公式 計算得到（2） 法向量在距離方面除應(yīng)用于點到平面的距離、多面體的體積外，還能處理異面直線間的距離，線面間的距離，以及平行平面間的距離等二、11分析：設(shè)正方體棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)和公垂線段上的向量為，則，即，又，所以異面直線和間的距離為12分析：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)EA1DCBB1C1D1F圖則，；設(shè)面的法向量為，則有：，又，所以點到截面的距離為=131；解：如圖建立空間直角坐標系，（1，1，0） ，（0，1）， （1，0，1） zxBA1yFEB1C1D1DCA 設(shè)平面DBEF的法向量為（x，y，z），則有： 即 xy0 yz0令x1, y=1, z=, ?。?，1，），則A1到平面DBEF的距離EzxD1yAC1B1A1BDC14解：如圖建立空間直角坐標系，（0，1，0），（1，0，1），（0，1）設(shè)平面ABC1D1的法向量為（x，y，z）,由 可解得（1，0，1） 設(shè)直線AE與平面ABC1D1所成的角為，則， 三、15 zyxD1A1DB1C1CBA解：如圖建立空間直角坐標系，（1，1，0），（0，1，1） 設(shè)、分別是平面A1BC1與平面ABCD的法向量， 由 可解得（1，1，1）易知（0，0，1），所以，F(xiàn)yEMxzD1C1B1A1CDBA所以平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角大小為arccos或 arccos注：用法向量的夾角求二面角時應(yīng)注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同求 出來的角度當然就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個二面角的實際形態(tài)確定其大小16證明：如圖建立空間直角坐標系， 則（1，1，0），（1，0，1） （1，0，1）， （0，1，1）設(shè)，（、 ，且均不為0） 設(shè)、分別是平面A1EF與平面B1MC的法向量， 由 可得 即 解得：（1，1，1） 由 可得 即 解得（1，1，1），所以， ， 所以平面A1EF平面B1MC注：如果求證的是兩個平面垂直，也可以求出兩個平面的法向量后，利用來證明17（1）證明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解：以A為原點，AB、AD、AP所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則點C、D的坐標分別為（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD與底面ABCD所成的角，PDA=30于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a過E作EFAD，垂足為F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0設(shè)與的夾角為，則由cos=AE與CD所成角的余弦值為評述：第（2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標及數(shù)量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段18解：（1）略（2）如圖，建立空間直角坐標系Dxyz,則知B（1，1，0），設(shè)得則令設(shè)點A1在平面BDFE上的射影為H，連結(jié)A1D，知A1D是平面BDFE的斜線段即點A1到平面BDFE的距離為1A1B1C1D1ABCDExyz（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，則A1HD為等腰直角三角形，19解：建立坐標系如圖，則、，（）不難證明為平面BC1D的法向量， D1E與平面BC1D所成的角的大小為 （即）（）、分別為平面BC1D、BC1C的法向量， ， 二面角DBC1C的大小為（） B1D1平面BC1D， B1D1與BC1之間的距離為20(證明（1）用純粹的幾何方法要輾轉(zhuǎn)證明EFAC，EGB1C，F(xiàn)GAB1來證明，而我們借用向量法使問題代數(shù)化，運算簡潔，思路簡單明了)(1)分析：要證平面EFG平面ACB1，由題設(shè)知只要證BD1垂直平面ACB1即可證明：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖5，不妨設(shè)正方體棱長為a，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F(xiàn)（0，yF，a），G（0，0，zG）=（a，a，a），=（0，a，a），（xE，yF，0），=（a，a，0），=（a，0，a），=(a，a，a)(0，a，a)=0， ，同理 ，而與不共線且相交于點A，平面ACB1，又已知平面EFG， 平面EFG平面ACB1；又因為平面EFG，所以 ，則=0， 即 (a，a，a)(xE，yF，0)=0，化簡得 xEyF=0；同理 xEzG=0, yFzG=0，易得 =， EFG為正三角形(2)解：因為EFG是正三角形，顯然當EFG與A1C1D重合時，EFG的邊最長，其面積也最大，此時，=A1C1=a， = = sin600 = (a)2 =a2 此時EF與B1C的距離即為A1C1與B1C的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉(zhuǎn)化為求點B1到平面 A1C1D的距離，記A1C1與B1D1交于點O1，作O1HD1B并交BB1于點H，則O1H平面A1C1D，垂足為O1，則O1(，a)，H(a，a，)，而作為平面A1