1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、 有關(guān)外接球的問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面 體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球 .有關(guān)多面體外接 球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.考查 學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要 運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的 有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在 解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面 積為.例2一個正方體的各頂點均在同一球

2、的球面上，若該正方體的表 面積為24 ,則該球的體積為.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ,則此球的表面積為.例4已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為（）.A. 16 B. 20 C. 24D. 323.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5一個六棱柱的底面是正六邊形， 其側(cè)棱垂直于底面，已知該 六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長 為3,則這個球的體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長為x ,高為h ,則有h 31 x26x 39 會 3 2.6 x h84正六棱柱的底面圓的

3、半徑接球的半徑R、：產(chǎn)%2.體積:1a，球心到底面的距離dR3.小結(jié)本題是運用公式R23d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構(gòu)造法（補形法）1、構(gòu)造正方體例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 V3 ,則其外 接球的表面積是.例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為V3 ,則其外 接球的表面積是.故其外接球的表面積S 4 r2 9 .小結(jié)：一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分 別為a,b,c ,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體， 于是長方體的體 對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R ,則 有2R va2 b2 c2.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)

4、利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c,則體對角線長為l Ja2 b2 c2 ,幾何體的外接球直徑為2R體對角線長l即 r a2 b2 c2 2練習(xí)：在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1,76,3,若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面 積。球的表面積為S 4 R2 16例6一個四面體的所有棱長都為72,四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A. 3B. 4C. 3,3 D. 6例7已知球。的面上四點 A、B、C、D, DA 平面ABC, AB BC, DA AB BC 3 ,則球O的體積等于.解析：本題同樣用一

5、般方法時，需要找出球心，求出球的半徑 .而利 用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于 DA平面ABC , AB BC , 聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖 4所示的長方體，又因為DA AB BC 3 ,則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD圖4CD2、例8 （2008年安徽高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上,AB 平面BCD, DC BC,若AB 6, AC 2v13,AD 8,則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例7,構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的 直徑，O為球心，OB OC 4為半徑，要求B、C兩點間的球面距離, 只要求出 BOC即可，在Rt ABC

6、中，求出BC 4,所以 BOC 60 , 故B、C兩點間的球面距離是4 .（如圖5）3本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法例.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A. 16B. 20C.24D.32 .小結(jié):本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直 徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為V2,點 S,A,B,C,D都在同一球面上，則此球的體積為 解:設(shè)正四棱錐的底面中心為Oi,外接球的球心為0 如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得001平面ABCD.又SQ

7、平面ABCD，.二球心0必在SQ所在的直線上.ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接 圓的半徑就是外接球的半徑.在 ASC中，由 SA SC 局,AC 2,得SA2 SC2 AC2,ASC是以AC為斜邊的直角三角形 .處1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球-. 23小結(jié):根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半 徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方 法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們 學(xué)習(xí).五.確定球心位

8、置法例5 在矩形ABCD中，AB 4,BC 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為A.12512B.125 125 C.6解:設(shè)矩形對角線的交點為O,則由矩形對角線互相平分, 可知OA OB OC OD.,點O到四面體的四個頂點A,B,C,D的距離相 等，即點O為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑R OA 5.故 V球 4 R3 125 . 236出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點?！纠}】：已知三棱錐的四個頂點都在球。的球面上，AB BC且PA 7, PB 5

9、, PC 51, AC 10 求球 O 的體積。解： AB BC 且 PA 7,PB 5, PC ,AC 10因為 72 (751)2 102 所以知：AC2 PA2 PC2所以AP PC所以可得圖形為:在Rt ABC中斜邊為AC在Rt APC中斜邊為AC取斜邊的中點O ,在 Rt ABC 中 OA OB OC所以在幾何體中OPOB OC OA,即為該四面體的外接球的球心5所以該外接球的體積為V 4 R3 50033在 Rt APC 中 OP OB OC【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。1 .（陜西理？ 6） 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點

10、在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A 3*3B 在C吏 dJ3答案 B2 .直三棱柱ABC A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,則此球的表面積等于 。解:在 ABC中AB AC 2, BAC 120，可得BC 2萬，由正弦定理，可 得ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O ,球心為。，在RT OBO中，易得 球半徑R娓,故此球的表面積為4 R2 20 .3 .正三棱柱ABC AB1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為.答案 84 .表面積為2/3的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球 的體積為A.逅

11、B . 1C -D 也3333答案 A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8上25知，4a 1 ,則此球的直徑為72 ,故選A。5 .已知正方體外接球的體積是32 ,那么正方體的棱長等于（）3A.2 24.2可D.4_2 3答案 D6. （2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A. 1 : 3B. 1 ： 3C. 1 ： 373D. 1 ： 9答案 C7. （ 2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長為3,則這個球的體積為8答案4- 38. （2007天津理？ 12） 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1, 2, 3,則此球的表面積為.答案 14九9. （2007全國II理？ 15） 一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1 cm,那么該棱柱的表面積為 cm2.答案 2 4、, 210. （2006遼寧）如圖，半徑為 2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P ABCDEF ,貝U止匕正六棱錐的側(cè)面積是,答案6,711. （遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第